向量行列式矩阵与线性方程组实验Mathematica.docx

1、向量行列式矩阵与线性方程组实验Mathematica13.4 向量、行列式、矩阵与线性方程组实验学习目标1 会用Mathematica进行向量的计算；2 能用Mathematica进行行列式的计算；3 会利用Mathematica进行矩阵的运算与初等变换；4 能利用Mathematica解线性方程组。 线性代数的数值计算程序并不稀奇，早有大量的算法和软件。然而这里是进行准确的符号运算，学习了本节以后，就可以摆脱冗繁的矩阵运算了。本节介绍用Mathematica实现线性代数运算的各种专用函数，它们基本上满足了线性代数计算的需求。读者将会看到，以下的一些计算功能是十分出色的。但从我国的教材来看，还

2、有个别计算功能没有涉及，留有继续开发的余地。一、 矩阵的输入与输出 在Mathematica中向量和矩阵就是一个表。 a1，a2，an 表示一个向量。a11，a12，a1n，a21，a22，a2n，am1，am2，amn 表示一个m行n列的矩阵，其中每一个子表表示矩阵的一行。1 直接输入矩阵 直接输入矩阵的方法有3种，如下所述。（1） 按表的形式输入矩阵 既然矩阵和向量都是表，表的一般操作对于矩阵和向量仍然适用。但是，按表的格式键入矩阵和向量，会让人很不习惯。因此，Mathematica也提供了矩阵和向量的常规形式的输入、输出方法。（2） 由模板输入矩阵 基本输入模板中有输入2阶方阵的模板，单

3、击该模板输入一个空白的2阶方阵。按“Ctrl +”使矩阵增加一列，按“Ctrl + Enter”使矩阵增加一行。如果矩阵不大，此法较方便。（3） 由菜单输入矩阵 如果输入行、列数较多的矩阵，可以打开主菜单的Input项，其中Create Table/Matrix/Palette可用于建立一个矩阵，单击该项出现一个的对话框。选择Make：Matrix，再输入行数和列数，单击OK按钮，于是一个空白矩阵被输入到工作区窗口。 空白矩阵的每个小方块代表一个元素的位置，光标所在的小方块与众不同，可以用Tab键将光标从一个方块跳到下一个方块，也可以用鼠标选中一个方块。2 以矩阵形式输出矩阵 不管用何种方法输

4、入矩阵，矩阵总是按表的形式输出。这既违背常规，又难于阅读。因此，Mathematica提供了以矩阵形式输出矩阵的函数： MatrixFormlist 将表list按矩阵的形式输出。例1 观察下面矩阵的输出。 In1：= a=1，2，3，4，5，6 Out1= 1，2，3，4，5，6 In2：=MatrixForma Out2 / / MatrixForm= In3：= a=1，2，3，4，5，6 / / MatrixForm Out3 / / MatrixForm= In4：= Out4=1，2，3，4，5，6 In5：= % / MatrixForm Out5 / / MatrixForm=

5、 说明：由上例可以看出，不管输入的形式是否为矩阵，必须使用MatrixForm才能使输出为矩阵形式。这不合习惯且费事，解决的方法是自制一个模板：/ MatrixForm，以便快速输入。 使用函数MatrixForm又会出现另一个问题，可以通过以下例子来说明。例2 观察下面矩阵的输出。 In1：= a= Out1=1，2，3，4 In2：= b= / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：=Inversea / / MatrixForm Out3 / / MatrixForm= In4：=Inverseb / MatrixForm Out4 / / MatrixFo

6、rm= Inverse 说明：以上In3和In4是求逆矩阵，Mathematica求出a的逆矩阵，对b却失败！变量a形式上是表，但能被Mathematica作为矩阵处理。而变量b虽然表示常规形式的矩阵，但不能对b进行各种矩阵计算，务必注意。 技巧：使用括号能够改变表达式的含义，解决上述问题。例3 观察下面矩阵的输出 In1：=/ MatrixForm Out1 / MatrixForm= In2：=Inverseb / MatrixForm Out2 / MatrixForm= 应该特别注意Mathematica不区分行向量与列向量，在运算时会自动处理。可以通过函数ColumnFormlist

7、将一个向量显示成列向量。3 用函数建立矩阵 也可以通过函数建立一些有规律的矩阵，除了在讲表时已经介绍过的函数Table外，还有以下专用函数： Arraya，m，n 创建一个m行、n列的矩阵，元素为ai，j。 IdentityMatrixn 创建一个n阶单位矩阵。 DiagonalMatrixlist 创建一个对角线上为表list的元素的方阵。例4 观察下面矩阵的输出。 In1：=Arraya，2，3 / MatrixForm Out1 / MatrixForm= In2：=Arraya，2，3，0，0 / MatrixForm Out2 / / MatrixForm= In3：=Identit

8、yMatrix3 / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：=DiagonalMatrix1，2，3 / MatrixForm Out4 / MatrixForm= 说明：函数Array加上第三个参数用于规定起始下标，起始下标可以取任何整数。 此外Array可以类似创建有任意层数的表，其调用格式如下： Arraya，n 创建一个元素为ai的有n个元素的表（向量）。 Arraya，n1，n2，n3 创建一个元素为ai1，i2，i3的有n1n2n3个元素的3层表。例5 观察下面矩阵的输出。 In1：=Arraya，5 Out1=a1，a2，a3，a4，a5 In2：=

9、Arraya，2，2，2 Out2=a1，1，1，a1，1，2，a1，2，1，a1，2，2， a2，1，1，a2，1，2，a2，2，1，a2，2，24 提取矩阵的元素 提取或引用矩阵的元素的方法与函数，都已经在表的操作中介绍过，只要注意矩阵是一个2层表而每行是一个子表。还有三个矩阵专用的函数，如下所示： MAll，j 提取矩阵M的第j列元素组成一个表。 TrM，List 提取矩阵M的主对角线元素组成一个表。 DimensionsM 求矩阵M的行、列数。例6 观察下面矩阵运算。 In1：= a=； b=； In3：=bAll，3 / MatrixForm Out3 / MatrixForm= I

10、n4：=Tra，List Out4=1，4 In5：=Dimensionsa Out5=2，2 In6：=Dimensionsb Out6=2，3二、 矩阵、向量的运算1 加法与数乘 除两个矩阵相加外，还有一个数与矩阵相加，都使用加号。一个数与矩阵相加就是矩阵的每个元素都加上该数，一个数与矩阵相乘就是矩阵的每个元素都乘上该数。例7 已知A=，B=，求（1）A+B，（2）2+A，（3）2A。 解：In1：= a=； b=； a+b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= 2+a / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：=2a /

11、 MatrixForm Out5 / MatrixForm= 2 乘法 句号作为两个矩阵相乘或两个向量内积的运算符。例8 已知A=，B=，C=（1，2，3），D=（1，-1，1），求（1）AB，（2）CD，（3）AD。 解：In1：=a=； b=； a . b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= c=1，2，3； d=1，-1，1； c . d / MatrixForm Out6 / MatrixForm= 2 In7：= a . d / MatrixForm Out7 / MatrixForm= 说明：上例中求a . d时，Mathematica会自动

12、将d理解为列向量。 下面是求两个向量的向量积的函数，其调用格式如下： Crossa，b 求ab。例9 已知向量a=2，1，-1， b=1，-1，2，求ab。 解：In1：= a=2，1，-1； b=1，-1，2； Crossa，b Out3=1，-5，-3 In4：= ab Out4=1，-5，-3 提示：求向量积也可以使用基本输入模板上的小乘号。模板上有两个乘号，容易搞错，大乘号是将对应的元素相乘。3 矩阵的转置 矩阵的转置操作使用函数： TransposeM 将矩阵M转置。 提示：可以将此函数自制成模板。4 求行列式 求一个方阵的行列式使用函数： DetA 求方阵A的行列式。例10 计算行

13、列式：（1） ，（2）。 解：In1：= a=； Deta Out2= -18 In3：= b=； Detb Out3=5+9+32-35 求逆矩阵 求一个方阵的逆矩阵使用函数： InverseA 求A的逆矩阵，自动判断是否可逆。例11 已知A=，求A的逆矩阵。 解：In1：= a=； b=Inversea Out2= In3：= a . b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：=a-1 Out4= 注意：a-1不表示逆矩阵。 还有函数： MatrixPowerA，n 求An（其中n为整数），当n=-1时即求逆矩阵。例12 已知A=，求（1）A5，（2）A-

14、1，（3）A0。 解：In1：= a=； MatrixPowera，5 / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：= MatrixPowera，-1 / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= Inversea / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：= MatrixPowera，0 / MatrixForm Out5 / MatrixForm= 注意：在Mathematica中直接输入符号An是将矩阵A的每个元素求n次幂。6 特征值与特征向量 求矩阵的特征值与对应的特征向量的函数是： Eigenva

15、luesA 求方阵A的全部特征值。 EigenvectorsA 求方阵A的一组线性无关的特征向量。 EigensystemA 求全部特征值和对应的线性无关的特征向量组。例13 求矩阵A=的特征值和特征向量。 解：In1：= a=； Eigenvaluesa Out2=-1，-1，5 In3：=Eigenvectorsa Out3=-1，0，1，-1，1，0，1，1，1 In4：=Eigensystema Out4=-1，-1，5，-1，0，1，-1，1，0，1，1，1 In5：=Eigensystema / MatrixForm Out5 / MatrixForm= 提示：由上例可知，函数Ei

16、gensystem最好用，输出的结果含义十分清楚，通常使用这个函数就足够了。如果输入A的元素时使用了小数点，或者参数改为NA，则求近似解。例14 求矩阵A=和B=的特征值和特征向量。 解：In1：= a=； Eigensystema / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：= EigensystemNa / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= Eigensystem / MatrixForm Out3 / MatrixForm= 还有以下特殊情况应当说明，示例如下： In1：= Eigensystem / MatrixForm

17、 Out1 / MatrixForm= 注意：这个例子中属于特征值1的线性无关的特征向量只有一个，这时不能找到n个线性无关的特征向量（不相似于对角矩阵）。遇到这种情况，Mathematica总是补上零向量！但零向量不是特征向量，与常规不一致，不要产生误解。三、 解线性方程组 专门用于解线性方程组的函数有3个： RowReduceM 消元得到矩阵M的行最简形矩阵。 NullSpaceM 求齐次线性方程组M x=0的一个基础解系。 LinearSolveM，b 求线性方程组M x=b的一个特解。例15 求解线性方程组： 。 解：In1：=ab=； a=Takeab，1，3，1，4； b=abAll

18、，5； RowReduceab / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：=NullSpacea Out5=1，0，2，1，1，1，0，0 In6：=LinearSolvea，b Out6= 说明：在上例的In1中首先给出了一个线性方程组的增广矩阵ab，再提取前4列得到系数矩阵a，提取第5列得到常数项b。然后利用这三个函数分别求出：行最简形矩阵、导出组的基础解系、非齐次方程组的一个特解，于是给出了线性代数课中人工求解线性方程组的关键结果。 提示：从线性代数的内容知道，最有用的是RowReduce，由它的计算结果就能得到所有答案，不必再使用后两个函数。这个函数还能用于求矩阵的秩和一个极大线性无关部分组。当然也可以用解一般方程组的函数Solve解线性方程组，当方程组有自由未知量时，输出答案时用自由未知量表示其余未知量，也很实用。习题13.41 已知a=4，-2，4，b=6，-3，2，试求：（1）a b；（2）（3 a - 2 b）（a + 2 b）。2 求下列行列式的值：（1）； （2）。3 已知A =，B =，求AB和BA。4 已知A =，I =，求2A2 + 3A + 5I。5 求下列矩阵的秩。（1）； （2）。6 解下列方程组。（1）；（2） 。7 求下列矩阵的特征值和特征向量。（1）； （2）。