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1、高中数学第一章三角函数2角的概念的推广2742角的概念的推广内容要求1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)知识点1角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角()(2

2、)按顺时针方向旋转所成的角是负角()(3)没有作任何旋转就没有角对应()(4)终边和始边重合的角是零角()(5)经过1小时时针转过30()知识点2象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限【预习评价】1锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角2第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定如120 是第二象限的角，390是第一象限的角，但120390.知识点3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S

3、|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)终边相同的角一定相等()(2)相等的角终边一定相同()(3)终边相同的角有无数多个()(4)终边相同的角它们相差180的整数倍()题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角，的度数解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知330，150，570.规律方法1.理解角的概念的三个“明确”2表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母，等表示，“角”或“”可以简化为“”(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正

4、负【训练1】(1)图中角_，_；(2)经过10 min，分针转了_解析(1)(18030)15030180210.(2)分针按顺时针转过了周角的，即60.答案(1)150210(2)60题型二终边相同的角【例2】已知1 910.(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解(1)1 9102506360，其中250，从而250(6)360，它是第三象限角(2)令250k360(kZ)，取k1，2就得到满足7200的角，即250360110，250720470.所以为110，470.规律方法将任意角化为k360(kZ，且0360)的形

5、式，关键是确定k.可用观察法(的绝对值较小时适用)，也可用除以360的方法要注意：正角除以360，按通常的除法进行，负角除以360，商是负数，且余数为正值【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合解终边在直线OM上的角的集合为M|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ同理可得终边在直线ON上的角的集合为|60n180，nZ，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为|45n18060n180，nZ【探究1】在四个角20，400，2 000，1 600中，第四象限角的个数是()A0 B1C2 D3解析20是第四象限角

6、，40036040与40终边相同，是第四象限角，2 0006360160与160终边相同，是第二象限角，1 6004360160与160终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个答案C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360的整数倍即可所以表示为：第一象限角的集合：S|k360，090，kZ，或S|k360k36090，kZ第二象限角的集合：S|k360，90180，kZ，或S|k36090k360180，kZ【探究3】已知为第二象限角，那么2，分别是第几象限角？解是第二象限角，90

7、k360180k360，1802k36023602k360，kZ.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理4536090360，kZ.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角【探究4】已知为第一象限角，求180是第几象限角解为第一象限角，k360k36090，kZ，k180k18045，kZ，45k180k180，kZ，135k180180180k180，kZ.当k2n(nZ)时，135n360180180n360，为第二象限角；当k2

8、n1(nZ)时，45n360180n360，为第四象限角180是第二或第四象限角规律方法1.象限角的判定方法(1)根据图像判定利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内，在直角坐标平面内，0360范围内没有两个角终边是相同的2，2，等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角的范围(2)利用不等式的性质，求出2，等角的范围(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置例如，如果得到k120k12030，kZ，可画出030所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120(如图所

9、示)易错警示由的范围确定2的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1361的终边落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析因为361的终边和1的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.答案D2设A|为锐角，B|为小于90的角，C|为第一象限的角，D|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()AAB BBCCAC DAD解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案答案D3将885化为k360(0360，kZ)的形式是_答案195(3)3604与1 692终边相同的最大负角是_解析1 6925360108，与108终边相同的最大负角为252.答案2525.如图所示，写出终边落在

10、阴影部分的角的集合解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105，或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，nZ课堂小结1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝

11、对值大小”2区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为|90k360180k360，kZ，也可以表示为|270k360180k360，kZ.基础过关1下列各组角中，终边相同的是()A495和495 B1 350和90C220和140 D540和810解析220360140，220与140终边相同答案C2设A小于90的角，B锐角，C第一象限角，D小于90而不小于0的角，那么有()AB C A BB A CCD (AC) DCDB解析锐角、090的角、小于90的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B|090090的角D|090小于90的角A|90第一象限角C|k360k3

12、6090，kZ答案D3若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角答案C4已知角3 000，则与角终边相同的最小正角是_解析3 0009360240，与3 000角终边相同的最小正角为240.答案2405在180360范围内，与2 000角终边相同的角是_解析因为2 0002005360，2 0001606360，所以在180360范围内与2 000角终边相同的角有160，200两个答案160，2006在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650

13、；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角7写出与25角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式1 080360的角.解与25角终边相同的角的集合为S|k36025，kZ令k3，则有3360251 055，符合条件；令k2，则有236025695，符合条件；令k1，则有136025335，不符合条

14、件故符合条件的角有1 055，695.能力提升8以下命题正确的是()A第二象限角比第一象限角大BA|k180，kZ，B|k90，kZ，则A BC若k360k360180(kZ)，则为第一或第二象限角D终边在x轴上的角可表示为k360(kZ)解析A不正确，如21030.在B中，当k2n，kZ时，n180，nZ.A B，B正确又C中，为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，C不正确显然D不正确答案B9集合M，P，则M、P之间的关系为()AMP BM PCM P DMP解析对集合M来说，x(2k1)45，即45的奇数倍；对集合P来说，x(k2)45，即45的倍数答案B10已知角、的终边相同，那么的终

15、边在_解析、终边相同，k360(kZ)k360，故终边会落在x轴非负半轴上答案x轴的非负半轴上11若为第一象限角，则k180(kZ)的终边所在的象限是第_象限解析是第一象限角，k为偶数时，k180终边在第一象限；k为奇数时，k180终边在第三象限答案一或三12求终边在直线yx上的角的集合S.解因为直线yx是第一、三象限的角平分线，在0360之间所对应的两个角分别是45和225，所以S|k36045，kZ|k360225，kZ|2k18045，kZ|(2k1)18045，kZ|n18045，nZ13(选做题)已知角、的终边有下列关系，分别求、间的关系式：(1)、的终边关于原点对称；(2)、的终边关于y轴对称解(1)由于、的终边互为反向延长线，故、相差180的奇数倍(如图1)，于是(2k1)180(kZ)(2)在0360内，设的终边所表示的角为90，由于、关于y轴对称(如图2)，则的终边所表示的角为90.于是90k1360(k1Z)，90k2360(k2Z)两式相加得(2k1)180(kZ)