小学奥数几何五大模型等高模型.docx

1、小学奥数几何五大模型等高模型三角形等高模型与鸟头模型模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小)；如果三角形的高不变，底越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的1 ，则三角形面积与原来3的一样 这就是说： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的

2、变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 S1 : S2 a : bA BS1S2abCD夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S ACDS BCD ；反之，如果 S ACDS BCD ，则可知直线AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平

3、行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形； 6个面积相等的三角形。【解析】 如下图， D、 E 是 BC 的三等分点， F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：A A AGFB D E C B D C B D C 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、 C 和 D 在同一条直线上。 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？ABD

4、C【解析】 因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD 、 BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12高26 高三角形 ABC 的面积 （124） 高2 8高三角形 ADC的面积 4 高 2 2高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的 4 倍；3三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的 3 倍。【例3】如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。A BE FD C【解析】 图中阴影部

5、分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 4 3 2 6 ( 平方厘米 ) 。【巩固】是年四中小升初入学测试题平方厘米。) 如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，则阴影部分的面积【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米。【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是。A BFEDC【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为112 120 。202【例4】如图，长

6、方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点 E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点， H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。AHDAHDEGEGB F C B F C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接 BH 、CH 。AE EB ，S AEHS BEH 同理， S BFH S CFH ， S CGH =S DGH ，S阴影11(平方厘米 )S长方形 ABCD56 2822【巩固】图中的E、 F 、 G分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是。ADAHD6G51 GEE423BFCBFC【解析】 把另外三个

7、三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个形状各不相同的三角形。这9 个三角形的底边分别是在正方形的 3个边上， 它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了 3个三角形， 右边三角形的面积和第1第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第3第 4个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6 个三角形相等。因此这 3 个阴影三角形的面积分别是 ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一， 因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是 144，阴影部分的面积就是 48。【例 5】长方形 A

8、BCD 的面积为 36 cm2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GB F C【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图：A H DE GBFC可得：S EHB111S AHBS CHBS CHD36SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即 SEHBS BHFS DHG1S CHBS CHD)118 ；(S AHB362121111而SEHBS BHFS DHGS阴影BEBFBC)4.5 。SEBF， SEBF(2AB) (362228所以阴影部分的面积是：S阴影1

9、8S EBF184.5 13.5解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成右图：D (H)AEGBFC这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影 SABCD S AED S BEF S CFD111111113.5。363623623622222【例6】长方形 ABCD 的面积为36， E 、 F 、 G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGB F CA(H) DE GA H DE GBFCBFC【解析】 （法 1）特殊点法。由于H 为 AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左

10、上图） ，那么阴影部分的面积就是AEF 与ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的 113，为36313.5 。848488（法 2）寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如右上图。可得：S EHB111S AHBS CHBS CHD36 ，SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)136 18；(S AHB2211111而SEHBS BHFS DHGS阴影BEBC)4.5 。SEBF， SEBFBF(AB) (3622228所

11、以阴影部分的面积是：S阴影18S EBF184.513.5 。【巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 , 求阴影部分面积。ADA (P)DADP PBCBCBC【解析】 （法 1）特殊点法。由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1 和 1，所以阴影部4621115 平方厘米。分的面积为 6()46（法 2）连接 PA 、 PC 。由于 PAD 与PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两

12、个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面4积的 1 ，所以阴影部分的面积为21)15 平方厘米。6 ( 1646【例7】如右图， E 在 AD 上，AD 垂直 BC， AD12厘米， DE3 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC面积的几倍？AEB CD【解析】 因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时， AD 是三角形 ABC 的高， ED是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积BC122BC6三角形 EBC 的面积BC32BC1.5所以三角形 ABC 的面积

13、是三角形EBC 的面积的 4 倍【例 8】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？AFDEBC【解析】AEC、AFC 、 ABF 【巩固】如图，在ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结BE、 CE，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？AEBDC【解析】 3 个，AEC 、 BED 、 DEC 【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ADOBC【解析】ABD 与ACD，ABC 与 DBC ，ABO 与 DCO 【例9】 ( 第四届”

14、迎春杯”试题) 如图，三角形ABC 的面积为1，其中 AE3AB， BD2BC ，三角形 BDE的面积是多少？ABEABECCDD【解析】 连接 CE ， AE3AB ， BE2AB， S BCE2S ACB又 BD2BC ， S BDE2S BCE4SABC 4【例10】( 2008 年四中考题 ) 如右图， ADDB ，AEEFFC ，已知阴影部分面积为5 平方厘米， ABC的面积是平方厘米BBDDA E F C A E F C【解析】 连接 CD 根据题意可知，DEF 的面积为 DAC 面积的 1，DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所32以DEF 的面积为ABC 面积的 111 而

15、 DEF 的面积为5 平方厘米，所以ABC 的面积为1236530(平方厘米 )6【巩固】 图中三角形 ABC 的面积是180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF长的 3 倍那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？AEFBDC【解析】ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有S ABDBD1S ABCBC,21S ABC1AE1所以 SABD=180 90 (平方厘米 )同理有 S ABES ABD90 30 ( 平方厘米 )，FE232AD330 22.5(平方厘米 )即三角形AEF 的面积是 22.5平方厘米S AFES AB

16、EBE4【巩固】如图，在长方形ABCD 中， Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果 AB24 厘米， BC 8厘米，求三角形 ZCY 的面积DCZYAB【解析】 Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点， ZY11DB，SZCY1 S DCB，224又 ABCD 是长方形， S ZCY1SDCB11 S ABCD 24(平方厘米 )442【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24， D、 E 和 F 分别是 BC、 AC 和 AD 的中点求三角形 DEF 的面积AFEBDC【解析】 三角形 ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半 242 12，三角形 ADE 又是三角形ADC

17、 面积的一半 1226三角形 FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积62 3【巩固】如图，在三角形ABC 中， BC 8厘米，高是6 厘米， E、 F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？AEFB C【解析】 F 是AC 的中点S ABC2S ABF同理 S ABF 2S BEFS BEFSABC 4 86 2 4 6(平方厘米 )【例11】如图 ABCD 是一个长方形，点E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位DGGCCDEFEFABAB【解析】 如右图分割后可得，S EFGS矩形 DEFC2S矩形 ABCD 436 4 9 （平方单位） 【巩固】 ( 97迎春杯决赛 ) 如图， 长方形 ABCD 的面积是 1 ， M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且 2AN BN .那么，阴影部分的面积是多少？AMAMDDNNBCBC【解析】 连 接 BM ，因为M 是中点