第十二章一元二次方程.docx

1、第十二章 一元二次方程第十二章 一元二次方程第1课 一元二次方程一、教学目的1使学生理解并能够掌握整式方程的定义2使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义3使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式二、教学重点、难点重点：一元二次方程的定义难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别三、教学过程复习提问1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；3结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”引入新课1方程的分类：通过上面的复习，引导学生答出：学过的几类方程是没

2、学过的方程是x2-70x+825=0，x(x+5)=150这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150同时指导学生把学过的方程分为两大类：2一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a0)的形式并称之为一元二次方程

3、的一般形式强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项讲解例题课堂练习 P5-6 1、2课堂小结1方程分为两大类：判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次2一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，

4、则这样的整式方程称一元二次方程其一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零作业：教材中相关习题第2课 一元二次方程的解法(一)一、教学目的1使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程2引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a0，c0)的方法二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根难点：正确地表示方程的两个根三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据求下列各式中的x：1x2=225； 2x2-169=0；336x2=49； 44x2-25=0回答解题过程中的依据解题的依据是：一个正

5、数有两个平方根，这两个平方根互为相反数即 一般地，如果一个数的平方等于a(a0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1 解方程 x2-4=0解：先移项，得x2=4即x1=2，x2=-2这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法例2 解方程 (x+3)2=2 讲解例2 练习：P7 1、2小结1本节主要学习了简单的一元二次方程的解法直接法2直接法适用于ax2+c=0(a0，c0)型的一元二次方程作业：习题12.1A组 1、2第3课 一元二次方程的解法(二)一、教学目的1使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法2使学生能够运用适当变

6、形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程并由此体会转化的思想二、教学重点、难点重点：掌握配方的法则难点：凑配的方法与技巧三、教学过程复习过程用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；引入新课我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题新课我们研究方程x2+6x+7=0的解法：将方程视为：x2+2x3=-7，即 x2+2x3+32=32-7， (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方

7、法叫做配方法这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解例1 解方程x2-4x-3=0配方法解之在解的过程中，介绍配方的法则例2 解方程2x2+3=7x练习：P10 1、2小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；作业：习题12.1 3第4课 一元二次方程的解法(三)一、教学目的1使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能

8、力2使学生掌握公式法解一元二次方程的方法二、教学重点、难点重点：要求学生正确运用公式解方程难点：求根公式的推导过程三、教学过程复习提问提问：当x2=c时，c0时方程才有解，为什么？练习：用配方法解下列一元二次方程(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的步骤解：a0，两边同除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得(a0)的求根公式用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将

9、方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式例1 解方程x2-3x+2=0 讲解例1例2 解方程2x2+7x=4 讲解例2 练习P14 1小结1本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac02应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解作业：习题12.1A组 4第5课 一元二次方程的解法(四)一、教学目的使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法二、教学重点、难点重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法三、教学过程复习提问1一

10、元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是什么？2求根公式成立的前提是什么？引入新课在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例新课 讲解例3例4 解方程x2+x-1=0(精确到0.001) 讲解例4例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0 讲解例5练习：P14 2小结：2在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac0后，再用求根公式解之作业 习题12.1 A组 5 6第6课 一元二次方程的解法(五)一、教学目的使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法二、教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二

11、次方程难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解三、教学过程复习提问1在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2方程x2=4的解是多少？引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解此法要比开平方法繁冗本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法因式分解法我们仍以方程x2=4为例移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0我们知道： x+2=0，x-2=0即 x1=-2，x2=2由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之这种方法叫做因式分解法例1 解下列方程：(1)x2-3x-

12、10=0； (2)(x+3)(x-1)=5在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之例2 解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；再利用平方差公式因式分解后求解注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”例3 解下列方程：(1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之练习：P20 1、2小结对上述三例的解法可做如下总结：因式

13、分解法解一元二次方程的步骤是1将方程化为一般形式；2把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)3使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；4解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根作业：习题12.2 A组 1第7课 一元二次方程的解法(六)一、教学目的使学生进一步巩固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法二、教学重点、难点重点：一元二次方程的四种常见解法的复习难点：选择适当的方法解一元二次方程三、教学过程例1 解下列方程： 讲解例1例2 解下列方程：(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0 讲解例2例3 用适当的

14、方法解下列方程： 讲解例3小结在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题作业 习题12.2 A组 2第8课 一元二次方程的根的判别式(一)一、教学目的1使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式2使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况二、教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的应用难点：一元二次方程根的判别式的推导三、教学过程复习提问1一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2用公式法求出下列方程的解：(1)3x2x100；(2)x28x160；(3)2x26x50引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相

15、等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中b24ac的情况与其根的联系再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，可将其变形为a0，4a20由此可知b24ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况(1)当b24ac0时，方程右边是一个正数(2)当b24ac0时，方程右边是0通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2bxc0的根的情况可由b24ac来判定故称b24ac

16、是一元二次方程ax2bxc0的根的判别式，通常用“”来表示综上所述，一元二次方程ax2bxc0(a0)当0时，有两个不相等的实数根；当0时，有两个相等的实数根；当0时，没有实数根反过来也成立注：“”读作“delta”例 不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x23x40；(2)16y2924y；(3)5(x21)7x0分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“”，确定它的符号情况即可练习：P26 1 2 3 小结应用判别式解题应注意以下几点：1应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件2不必解方程，只须先求出，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来3其逆命题也是成立的

17、作业：习题12.3 A组 1-4第9课 一元二次方程的根的判别式(二)一、教学目的通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力培养学生思考问题的灵活性和严密性二、教学重点、难点重点：巩固掌握根的判别式的应用能力难点：利用根的判别式进行有关证明三、教学过程复习提问1写出一元二次方程ax2bxc0的根的判别式2方程ax2bxc0(a0)的根有哪几种情况？如何判断？引入新课教材中“想一想”提出了如下问题：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，其中=-(4k+1)2-42(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9想一想，

18、当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根新课上述问题，实际上是这样一道题目例1 当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根 讲解例1例2 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式0即可例3 证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根讲解例3例4 已知a，b，c是ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根 讲解

19、例4练习：1若mn，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根2求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根小结解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1计算；2用配方法将恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3判断的符号，得出结论作业：习题12.3 B组第10课 一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目的1使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用2培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力二、教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用难点：定理的应用三、教学过程复习提

20、问1一元二次方程ax2bxc0的求根公式应如何表述？2上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2bxc0(a0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0的根与系数的关系得出：如果方程x2pxq0的两根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q由 x1x2p，x1x2q 可知p(x1x2)，qx1x2， 方程x2pxq0，即 x2(x1x2)xx1x20这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1x

21、20例1 已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一根及k的值 讲解例1 练习 P32 1 2 小结1本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理2要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值作业：习题12.4 A组 1 第11课 一元二次方程的根与系数的关系(二)一、教学目的1复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理2学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”3通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力二、教学重点、难点重点：已知方程求关于根的代数式的值难点：用两根之和

22、与两根之积表示含有两根的各种代数式三、教学过程复习提问1一元二次方程根与系数关系的定理是什么？2下列各方程两根之和与两根之积各是什么？(1)x23x180；(2)x25x45；(3)3x27x20；(4)2x23x0引入新课考虑下列两个问题；1方程5x2kx60两根互为相反数，k为何值？2方程2x27xk0的两根中有一个根为0，k为何值？我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的本课我们将深入探讨这一问题新课例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x10两根的(1)平方和；(2)倒数和在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2pxq0中的p，q的值例4 已知两个数的和等于8

23、，积等于9，求这两个数这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数练习：P32 3、4、5小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数作业：习题12.4 A组 2、3、4第12课 二次三项式的因式分解(公式法)(一)一、教学目的1使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系2使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式二、教学重点、难点重点：用求根法

24、分解二次三项式难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别三、教学过程复习提问解方程：1x2-x-60； 23x2-11x+100； 34x2+8x-10引入新课在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解而第3题则只有采用其他方法此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发新课二次三项式ax2+bx+c(a0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法 易知，解一元二次方程2x2-6x+40时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)0， 求得

25、其两根x11，x22.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式具体方法如下： 如果一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两个根是ax2-(x1+x2)x+x1x2 a(x-x1)(x-x2)从而得出如下结论在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2) 例如，方程2x2-6x+40的两根是x11，x22 则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+42(x-1)(x-2)例1 把4x2-5分解因式 讲解例1 练习：P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：1令二次三项式ax2+bx+c0；2解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；3代入a(x-x1)(x-x2)作业：习题12.5 A组 1第13 课 二次三项式的因式分解(公式法)(二)一、教学目的使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法二、教学重点、难点重点：用求根公式法分解二次三项式难点：二元二次三项式的因式分解三、教学过程复习提问求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？引入新课上节课我们证明了：ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)，其