空间向量与立体几何知识点归纳总结1.docx

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结1（完整word版）空间向量与立体几何知识点归纳总结（word版可编辑修改）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（完整word版）空间向量与立 体几何知识点归纳总结（word版可编辑修改）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真 诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前迸的动力。本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以 下为（完整word版）空间向量与立体几何知识点归

2、纳总结（word版可编辑修改）的全部内容。(完整word版)空间向量与立体几何知识点归纳总结(word版可编辑修改)空间向量与立体几何知识点归纳总结知识要点。1o空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相 等的向量。(2)向量具有平移不变性2。空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下 (如图)。OB = OA + AB = cib ； BA = OA-OB = a-b ； OP = e R) 运算律：加法交换律：乙+万=万+万(2)加法结合律:(a + b) + c = a +

3、(b + c)数乘分配律：兄 +厉=加+舫运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3o共线向量.(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些 向量也叫做共线向量或平行向量，万平行于几记作allb o(2)共线向量定理：空间任意两个向量八b G工6), 存在实 数久，使a= Ab o(3)三点共线：A、B、C三点共线二AB = AAC OC = xOA + yOB(其中兀+y = 1)(4)与d共线的单位向量为土号4.共面向量(1)定义:一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的.(2)共面向量定理:如果两个向量M不共线，尸与向

4、量”共面的条件 是存在实数x, V使戶二xii + yb o(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面 AP = xAB+yAC二OP = xOA + yOB + zOC (其中 x+ y + z = 1)5o空间向量基本定理:如果三个向量畑不共面，那么对空间任一向 量戶，存在一个唯一的有序实数组兀仏乙使尸=叙? +)圾+ zE.若三向量不共面，我们把広/,可叫做空间的一个基底，a,bc叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o人5C是不兰面的弓点,出对钥任一点P,都存在唯一的三 个有序实数兀忆，使OP = xOA + yOB + z,OC o60空间向量的直角坐

5、标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-中，对空间任一点八存在唯一的有序实数组 (x,y,z), OA = xi+yi + zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标 系O-中的坐标，记作A(x,”z), x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.注:点A (x,y, z)关于x轴的的对称点为(x, -y, -z),关于xoy平面 的对称点为(x,y, -z)o即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其 余的分坐标均相反.在y轴上的点设为(0, y, 0),在平面yOz中的点设 为(0, y, z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫 r .

6、* 单位正交基底，用7，)，门表示。空间中任一向量a = xi + yj + zk (x, y, z)(3)空间向量的直角坐标运算律:若方=卫2吗),5 = (%爲上3),则a+b = (ab,a2+b29a3+b3), 一Cl b (C/| %么2 0心3 $) , Ad (缶勺,九2“。3)(兄 W R),a b 二 a、b +a2b2 +冬纭a/boa =Aba2 =Ab2.a3 =Ab3(AR),a Lb O + a2b2 +企肉=0.2若 4（兀切,可）,B（x2,y2,z2）,则 AB = （x2-x9y2 - ypZ2 i）.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段

7、的终 点的坐标减去起点的坐标。3定比分点公式:若ACSXZj, （兀2曲2）,亓=询,则点P坐标(x-xly-yiiz-zl) = (x2-x,y2-y,z2-z)，显然，当 P 为 AB 中点时， 卅州+勺X +儿ZZ)2 2 24ABCf A(x 1,y1,z17,B(x2,y2,z2),C(A3，y3,z3),三角形重心 P 坐标为 322)5 ABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点外心巴外接圆的圆心，中垂线的交点.H=|=|垂心P：高的交点：PAPB = PAPC = PB-PC （移项，内积为0,则 垂直）1 重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）ap = -（ab +

8、 ac）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式:若aNqq,码）,5 =（勺上2，仇）, ABC中屈忌0二A为锐角ab.acoK为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若 A（西,才,石）, B（x2,y2,z2） 9贝II丽=J茁=5/（x2-x,）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2 ,或 “a.b = J（2 再）-+（旳 一）J- +（召 一）7o空间向量的数量积。(完整word版)空间向量与立体几何知识点归纳总结(word版可编辑修改)CI)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量n几在空间任取一点 0、作OAa.OB = bt则zaob叫做向量万与5的夹亀记作;且规 定00力 龙

9、，显然有=-若=-9则称N与方互相垂直,2记作：N丄5 O(2)向量的模:设刃，则有向线段页的长度叫做向量的长度或模, 记作：同。(3)向量的数量积：已知向量则a-b-cos叫做的数 量积，记作玄坊，BPa-fe =lMhl-cos.(4)空间向量数量积的性质：Q)a-e =acoso 厅丄 b a-b =0 o (3)1 5 -a-a o(5)空间向量数量积运算律：(Aa)-b=A(a-b) = a-(Ab)o a-b=b-a (交换律)。 )a-(b+c) = a-b+a-c (分配律)。不满足乘法结合率：(a-b)ca(b c)二.空间向量与立体几何1.线线平行o两线的方向向量平行1-1

10、线面平行o线的方向向量与面的法向量垂直12面面平行o两面的法向量平行2线线垂直(共面与异面)o两线的方向向量垂直2-1线面垂直o线与面的法向量平行22面面垂直o两面的法向量垂直3线线夹角& (共面与异面)0。,90。0两线的方向向量兀，云的夹角或夹角的 补角， cos。= cos 3-1线面夹角&0S90。：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量乔与面的法向量;的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sin cos 3-2面面夹角(二面角)&0。,180。：若两面的法向量一进一出，则二面 角等于两法向量石，斥的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角

11、。cosO = cosv,直4点面距离/?：求点戶（无,躺到平面&的距离：在平面&上去一点Q（x,y）,得向量亚；计算平面a的法向量;4-1线面距离（线面平行）:转化为点面距离42面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1.基本运算与基本知识（）例1o已知平行六面体ABCD ABCD ,化简下列向量表达式，标出化 简结果的向量。(1)AB + BC ; (2 AB + AD + AA ;AB + AD+-CC7 ; (4)丄(而 + 而 +应)o例2.对空间任一点。和不共线的三点A,B,C,问满足向量式:OP = xOA + yOB + zOC （其中 x+y + z = l）的四点

12、P,A,B,C是否共面？例 3 已知空间三点 A （0,2, 3）, B （-2, 1,6） ,C（1, -1, 5） o 求以向量而，疋为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量盘分别与向量而，疋垂直，且丨丨=、行，求向量&的坐标.（完整word版）空间向量与立体几何知识点归纳总结（word版可编辑修改）2.基底法（如何找，转化为基底运算）3.坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标） 4.几何法例4.如图，在空间四边形OABC中，OA = 8, AB = 6, AC = 4 , BC = 5 , ZOAC = 45 , ZOAB = 60 , 求OA与3C的夹角的余弦值.说明：由图形知向量的夹角

13、易出错，如 = 135。易错写成 = 45, 切记！例5.长方体ABCD-AQCQ中，AB = BC = 4, E为AQ与BQ的交点，F为叫 与QC的交点，又AF丄BE ,求长方体的高码。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD,连结AC.BD,设M,G分别是BC,CD的中点，化 简下列各表达式，并标出化简结果向量：（D AB + BC + CD;（2）而 + 丄（丽 + 荒）； （3） AG-（AB + AC）O2 22.已知平行四边形ABCD、从平面ac外一点o引向量.0E = kOA,OF = kOB.OG = kOC.OH =kOD o(1 )求证：四点E,FGH共面；(2)平面AC/平

14、面EG。3o如图正方体ABCD-CQ冲，聒求昭与砂所成角的余 弦.5o已知平行六面体ABCD - ABCD中,AB = 4,4D = 3, AAf = 5, ABAD = 90 , XBAAf = XDAAf = 60 , 求 AC啲长。（完整word版）空间向量与立体几何知识点归纳总结（word版可编辑修改）参考答案1o解:如图,(1 ) AB + BC + CD = AC + CD = AD;(2)AB + -(BD + BC) = AB + -BC + -Bbo2 2 2= AB + BM+MG = AG ;(3)AG-AB + AC) = AG-AM = MG o2o解：(1 )证明：

15、I四边形ABCD是平行四边形，:.AC = AB + AD ,EG = OG-OE ,= kOC-kOA = k(OC-OA) = kAC = k(AB + AD)= k(OB-OA + OD-OA) = OF-OE + OH-OEEF + EHE,F,GH共面；(2)解：aEF=OF-OE = k(OB-OA) = k AB,又-EG = k-AC,二 EFAB、EGAC。 所以，平面AC/平面EG。解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O-a 1则 3(1,1,0),鸟(1,1) , 00,0,0), 许(0才 1), A,- 1 . 1 BE】=(0,-J) 9 DF = (0,

16、J) 94 4 1 1 15.=0x0 + (-x-) + lxl = -o1516 ,154.分析：(1)v AB = (一2,1,3),犹=(1, 一3,2), cos ABAC =I aSiiaci/. ZBAC = 60 , .S=IABIIACIsin60 =7/3(2)设a=(X, y, Z),则矗丄AB=-2x-y + 3z = Q,ci 丄 AC = x-3y + 2z = 0,1 1= /J= F + y2 + z2 =3解得 x = y = z = 1 或 x = y = z = 1 ,=(1, 1, 1 )或 = ( 1, 1,1）。5. 解：I疋|2=（羽+而+肩）2=IABI2 +AD2 +lAA?I2 +2AB AD + 2AB AAf + 2AD AAf= 16+9 + 25 + 0+20+15 = 85=42 +32 +52 +2x4x3xcos90 +2x4x5xcos60 +2x3x5xcos60 所以，lACl=y/85o