1、对勾函数模型第十周对勾函数模型重点知识梳理1对勾函数定义对勾函数是指形如:yax(ab0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”,又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”2对勾函数yax(a0,b0)的性质(1)定义域:(,0)(0,)(2)值域:(,)(3)奇偶性:在定义域内为奇函数(4)单调性:(,),(,)上是增函数;(,0),(0,)上是减函数(5)渐近线:y轴与y=ax(或y=-ax)3yax(a0,b0)的单调区间的分界点:.求分界点方法:令axx.特殊的,a0时,yx的单调区间的分界点:.4对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值,解题
2、时要先找出对应的单调区间,然后求解5利用对勾函数求最值,常常用到如下的重要不等式:若a0,b0,则x0时,ax2.当且仅当ax,x时取等号在应用这个不等式时,要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”,即加号两边的项ax和都是正项,且二者乘积为定值,同时ax中等号可取到若等号取不到,则应根据对勾函数单调性求解典型例题剖析例1已知f(x)x,求f(x)在下列区间的最小值(1)1,2;(2)3,4;(3)3,1【解析】如图,f(x)在(,),(,)上是增函数,在(,0),(0,)上是减函数(1)由对勾函数性质可知f(x)在1,2上单调递减,f(x)minf(2)4.(2)因为f(x)在3,4上单
3、调递增,所以f(x)minf(3)4.(3)因为f(x)在3,上单调递增,在(,1上单调递减,且f(3)4,f(1)6,所以f(x)min6.变式训练已知函数f(x),求f(x)的最小值,并求此时x的值【解析】f(x)令t,则t2,yt.yt在2,)单调递增,当t2时,ymin2,此时,2,x0.综上,f(x)的最小值为,此时x的值为0.例2求函数f(x)(0x3)的值域【解析】令tx2,则xt2,2t5,yt6,2t5.yt6在2,上单调递减,在,5上单调递增,当t时,ymin26,且当t2时,y26,当t5时,y56,ymax.综上,f(x)的值域为26,变式训练求函数f(x),x的值域【
4、解析】f(x)x12,令tx1,则f(t)t2,t1,4结合yt的图象与性质,可知当t1,3时,函数单调递减,当t3,4时,函数单调递增,又f(1)8,f(3)4,f(4),所以f(x)4,8例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计产量年递增10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)(k0,k为常数,nZ且n0),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;(2)问从今年算起第几年利润最高?
5、最高利润为多少万元?【解析】(1)由g(n),当n0时,由题意,可得k8,所以f(n)(10010n)(10)100n(nZ且n0)(2)由f(n)(10010n)(10)100n100080()1000802520,当且仅当,即n8时取等号,所以第8年工厂的利润最高,最高为520万元变式训练建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖)池壁,池底造价分别为a元/米2和2a元/米2.底面一边长为x米,总造价为y.写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?【解析】长方体底面积S100米2,地面一边长为x米,因此另一边长为米,池壁总面积为8(2x)米2,总造价y1002a
6、(2x)8a200a16a(x)(x0)函数y200a16a(x)在(0,10上是减函数,在(10,)上是增函数,当x10时,总造价最低,且ymin520a(元)跟踪训练1下列函数中最小值是4的是()AyxByxCy21x21xDyx23,(x0)2函数yx,x(1,3的值域为()A,5) B4,5)C,4) D(4,5)3函数yx3,x的值域为_4y2x2的最小值是_5已知x0,则2x的最小值是_6函数yx在区间1,2上的最小值为_7若函数yx(a0)在区间(,)上单调递增,则a_.8建造一个容积为8m3,深为2m的无盖水池,如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元,则水池的最低造
7、价为_元9某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2,人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?10如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙,且要求中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFDC为正方形,设ABx米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米,设围墙(包括EF)的修建总费用
8、为y元(1)求出y关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小?并求出y的最小值11已知函数f(x)(x2,)(1)求f(x)的最小值;(2)若f(x)a恒成立,求a的取值范围12已知函数f(x)x,x1,),a0.(1)当a时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)的最小值为4,求实数a.13为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)(0x10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设
9、f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求出最小值参考答案1CA选项,由于x可取负值,显然最小值不是4,排除A;B选项,由于x可取负值,显然最小值也不是4,排除B;C选项,由于y22x2(2x),换元,令t2x,t0,则y2(t)4,当且仅当t1即x0时,函数有最小值4,D选项,由于yx23x212,换元,令tx21,t1,则yt2,函数在(1,)上单调递增,因此y4,排除D选项综上,答案为C.2B由对勾函数性质可知,当x,即x2时,表达式有最小值4,又函数在(1,2)上单调递减,在(2,3上单调递增
10、,f(1)5,f(3)3,所以值域为4,5),答案为B.36,7)解析yx31x2,换元,令t1x,则x时t(1,2,yt2,函数在(1,2上单调递减,若t1,则y127,若t2,则y226,故函数值域为6,7)422解析换元,令t1x2,则t1,x2t1,y2(t1)2t2,函数在1,上单调递减,在,)上单调递增,所以当t时,函数有最小值22.56解析由对勾函数性质可知,当x,即x2时,表达式有最小值6.62解析因为yx在区间1,上单调递减,在,2上单调递增,所以当x时函数有最小值2.7(0,581760解析池底面积为4cm2,设池底宽为xcm,则长为cm,则水池的造价为41202(2x2)
11、80480320x48021760.9解析(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米由a2x4000,得a,则S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604000(8x20)16080(2)4160,即S80(2)4160.(2)S80(2)416016041605760,当且仅当2,即x2.5时取等号,此时a40,ax100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米10解析(1)设ADt米,则由题意得xt600,且tx,故tx,可得0x10,则y800(3x2t)800(3x2)2400(x),所以y关于x的函数解析式为y2400(x)(0x10)(2)
12、y2400(x)2400296000,当且仅当x,即x20时等号成立故当x为20米时,y最小y的最小值为96000元11解析(1)任取x1,x22,),且x1x2,f(x)x2.则f(x1)f(x2)(x1x2)(1),x1x2,x1x22,x1x24,10,f(x1)f(x2)0,即f(x1)a恒成立,只需f(x)mina.又f(x)min,a0),得x1,),不能用不等式求最值设1x1x2,则f(x1)f(x2)(x1x2)()(x1x2)(1)0,函数f(x)在1,)上是单调递增函数,fmin(x)f(1).(2)当0a1时,令x,得x1,1,),类似于(1)可知函数f(x)在1,)上是
13、单调递增函数,fmin(x)f(1)1a4,得a3,与0a1不符(舍);当a1时,1,由不等式知x2,当x,即x时,fmin(x)24,解得a4.综上所述,函数f(x)的最小值为4时,a4.13解析(1)依题意,当x0时,C8,k40,C(x),f(x)6x6x(0x10)(2)f(x)2(3x5)10,设3x5t,t5,35,y2t1021070,当且仅当2t,即t20时等号成立这时x5,因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元特殊对勾函数f(x)xx1234f(x)4322234(1) 定义域:(,0)(0,)(2) 值域:(,-22,)(3) 奇偶性:在定义域内为奇函数(4) 单调性:(,1),(1,)上;(1,0),(0,1)上(5) 分界点(拐点)坐标P(1,2);Q(-1,-2)(6) 渐近线(7) Y=x和x=0(8)
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