反比例函数一次函数二次函数性质及图像.docx

1、反比例函数一次函数二次函数性质及图像反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于 以原点为对称中心的中心对称的双曲线函数解析式k0k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内， y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。定义域为x工0;值域为y工0o3. 因为在y=k/x（k工0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交， 也不可能与y轴相交。4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q,过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围 成的矩形面积为S1，S2则S仁S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是

2、中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于 原点对称。7. 设在平面内有反比例函数 y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 nA2+4k m （不小于）0o8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo （o为原点）的面积为|k|11. k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永

3、不相交。12.|k越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1） 关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2） 关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3） 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4） 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5） 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二）一次函数1、 一次函数的定义一般地，形如（ k，b是常数，且k）的函数，叫做一次函数，其中 X是自变量。当b = 0时，一次函数y =kx，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式

4、是 y二心b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.当b =0 , k =0时，y =kx仍是一次函数.当b =0 , k =0时，它不是一次函数.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.2、 正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k是常数，kz0的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx （k不为零）k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随 x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限； k0, y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0 , y随x的增大而增大；k0时，将直线y

5、=kx的图象向上平移 b个单位；当b0时，向上 平移；当b0时，直线经过一、三象限；k0, b0,直线经过第一、二、三象限7、直线 y =kiX d （ ki = 0 ）与 y = k?x b? （ k? = 0）的位置关系（1） 两直线平行二k1二k2且d =b2（2） 两直线相交二ki = k2（3） 两直线重合二k1二k2且d = b2（4） 两直线垂直：=k1k -18、 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1） 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2） 将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3） 解方程得出未知系数的值；

6、（4） 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式9、 一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 （a, b为常数，a工0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10、 一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b0或ax+b0 （a, b为常数，a工0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0时，求自变量的取值范围.11、 一次函数与二元一次方程组a c（1） 以二元一次方程

7、 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= x 的图象相同.b bfa1x+b1y = G a彳 c a c（2） 二元一次方程组 丿 的解可以看作是两个一次函数 y= + S和y=-虫乂+上2的图象2 x + b y = q b1 bi b2 b2交占八、二次函数一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 y二ax2 Fx 0ac 0图像W1m丨b:bx -；x :2a1:2a定义域(-00,+ oO )对称轴x =-b2ab 4acb2顶点坐标0向上（0,0）y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；xv0时，y随 x的增大而增大；x=0时，y有最大

8、值0 .y =ax2 c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0 ,c)y轴xa0时，y随x的增大而增大；xv0时，y随 x的增大而减小；x = 0时，y有最小值c .a 0向上(h ,0)X=hxh时，y随x的增大而增大；xch时，y随 x的增大而减小；x = h时，y有最小值0 .a c0向下(h ,0)X=hxh时，y随x的增大而减小；xch时，y随 x的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .2y =a x -h k的性质:方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a（x-hj+k，确定其顶点坐标（h，k ）； 保持抛物线y二ax2的形状不变，将其顶点平移到

9、 h , k处，具体平移方法如下:2.平移规律 在原有函数的基础上 h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y二ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y二ax2 bx c变成2 2y 二 ax bx c m (或 y = ax bx c - m)y =ax2 - bx - c沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y =ax2 bx c变成y = a(x - m)2 b(x m) c (或2y = a(x -m) b(x -m) c)四、二次函数y =a x h 亠k与y =ax2 bx - c的比较2从解析式上看，y二a x -h k

10、与y二ax2 bx - c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即丄I 2a 丿 4a2，其中h-2，“込丄2a 4a五、 二次函数y二ax2 Fx，c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax2 bx c化为顶点式y =a(x-h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h , c、与x轴的交点xi, 0 , 沁,0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点六、

11、 二次函数y=ax2，bx的性质大而增大；当X . 时，y随x的增大而减小；当X -b时，y有最大值4ab 2a 2a 4a七、 二次函数解析式的表示方法1.一般式：y =ax2 bx c ( a， b， c 为常数，a =0)；22.顶点式：y=a(xh) k ( a， h， k为常数，a=0)；3.两根式：y =a(xxi)(xX2)( a =0 ,为，他是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线 与x轴有交点，即b2_4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以 互化八

12、、 二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y二ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a=0 当a 0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大; 当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 在a 0的前提下，当b 0时，一 ：0，即抛物线的对称轴在 y轴左侧;2a当b =0时，一R =0，即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b：0时，- 0，即抛物线对

13、称轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，- 0，即抛物线的对称轴在 y轴右侧;2a当b =0时，-卫=0，即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b ：0时，- 0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2aab的符号的判定：对称轴x b在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab ： 0 ,概括的说就2a是“左同右异”3.常数项cy轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a , b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用

14、待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况:1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y = a X - b x关于x轴对称后，得到的解析式是 y = -ax2 bx c ；2y =a X h i亠k关于x轴对称后，得到的解析式是2.关于y轴对称y = a x - b x关于y轴

15、对称后，得到的解析式是 y =ax2bx c ；2y =a x -h k关于y轴对称后，得到的解析式是3.关于原点对称y = a x - b x关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax2 bx -c ；2y=a x- h -关于原点对称后，得到的解析式是4.22 -土 by _ - ax bx c _ 2a2y = -a xh i 亠 k .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）y二ax b x关于顶点对称后，得到的解析式是2y =a x -h k关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点m, n对称2 2y =a x -h k关于点 m ,n对称后，得到的解析式是 y二-ax，h-

16、2m 2 n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的 表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一兀二次方程ax2亠bx亠c 0是二次函数y =ax2，bx c当函数值y =0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：1当A =b -4ac 0时，图象与x轴交于两点A为,0 , B x2

17、, 0 （x, =X2），其中的捲,x?是一元二次方程ax2 bx 0抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根 =0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根A0抛物线与x轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根兀式2 2ax bx c 0 0的解集就是二次函数 f x二ax bx c =0的图像上，位于x轴上方的点的横坐标的集合;_2元二次不等式 ax bx c ： 0 a = 0的解集就是二次函数2f x二ax bx c -0的图像上，位于x轴F方的点的横坐标的集合;_ 2 “元二次不等式ax bx c 一 0 a = 0的解集就是二次函数2f xi=ax bx c a = 0的图像上，位于x轴上方的点和与x轴的交点的横坐标的集合;2元二次不等式 ax bx c乞0 a = 0的解集就是二次函数2f xi；=ax bx c a = 0的图像上，位于x轴F方的点和与x轴的交点的横坐标的集合.2 r 2一元二次方程ax bxc=0a = 0的解就是二次函数 f x二ax bx c 0的图像上，与x轴的交点的横坐标.