算胜文化读本.docx

1、算胜文化读本算圣文化读本刘洪是东汉杰出的天文学家，他制定的乾象历多所创新，影响深远，在我国古代历法史上占有极其重要的地位。本文拟从刘洪的生平、天文学成就和思想三个方面进行考察，以求得到对刘洪的较全面、系统的认识。刘洪的生平要略刘洪的生平事迹，史载比较简略，甚至有相互矛盾之处，所以，后人对这个问题多含糊其词，或者众说纷纭，莫衷一是。其实，将有关史料较认真地加以分析、比较，是可以辨别是非，理出一条比较清晰的线索来的，为此，我们先将有关史料叙述、讨论如下：（一）据袁山松书载：“刘洪，字元卓，泰山蒙阴人也。鲁王之宗室也。延熹中（158-166年），以校尉应太史征，拜郎中，迁常山长史，以父忧去官。后为上

2、计掾，拜郎中，检东观著作律历记，迁谒者，谷城门侯，会稽东部都尉。征还，未至，领山阳太守，卒官”。这是史籍中关于刘洪身世的最详细记载。它明确地提供了刘洪一生经历的重要线索，为我们进一步弄清问题以宝贵的启示。（二）祖冲之指出：“按后汉书及乾象说，四分历法虽分率设蔀创自元和（指公元85年），而晷仪众数定于熹平三年（公元174年）”。所谓“晷仪众数”，是指续汉书律历志下中所载东汉四分历二十四气“日所在”、“黄道去极”、“晷景”、“昼夜漏刻”以及“昏旦中星”等一系列数据，它们均最后定于熹平三年。显然，这一系列数据的测定，需要作很多的准备工作，即在熹平三年以前的数年中，仪器的整修、方法的选用、预测工作的开

3、展等都是必不可少的。此时，正是（一）中所说刘洪“应太史征，拜郎中”之后，而太史所属之官以天文、历法工作为其职，所以，刘洪能与了上述工作是毫无疑义的。（三）“熹平三年”，“常山长史刘洪上作七矅术。甲辰诏属太史部郎中刘固、舍人冯恂等课效，复作八元术”，这一年刘洪“上作七矅术”，并在“七矅术”的基础上经校验，又作“八元术”。刘洪所作该二术中包含有对交食的研究，依之，刘洪预报了光和二年（179年）的一次月食。虽然该二术的全部内容已无可考，但它们可视作后来乾象术的先声。这段史料还说明：至迟在174年，刘洪已“迁常山长史”。若虑及（二）所说“晷仪众数”亦定于这一年，看来这年也正是刘洪由太史部郎中迁任常山长

4、史的时间。虽然职务有所变动，便刘洪的天文工作并未间断，遂有“七矅术”和 “八元术”之作，它们主要是刘洪在“以校尉应太史征，拜郎中”的约十年中观测与思考的结果，当然还应包括在这以前一段时间的工作心得，因为刘洪显然是在历算上已有所造诣，才为太史所征的。（四）“光和元年中（178年），议郎蔡邕、郎中刘洪补续律历志，邕能著文，清浊钟律，洪能为算，述叙三光”。这是说，这一年，刘洪和蔡邕一起编撰东汉律历志，他们各自发挥所长，既有分工，又有合作，圆满地完成了任务。关于续汉书律历志下中有关东汉四分历的记载，朱文鑫指出：“此历序文，系出邕手。其关于历算者，则属诸洪也”。我们认为这一说法是可信的。又，蔡邕在戊边上

5、章中提及“治律历，为无穷法，道至深微，不敢独议。郎中刘洪，密于用算，故臣表上洪，与共参思图牒”。这说明刘洪此时在天文学、数学上的造诣已为世所瞩目，才得到蔡邕直接推荐参与东汉律历的编撰工作，此举当发生于177年。这时蔡邕就称刘洪为郎中，兼及（一）、（二）所述，刘洪迁“为上计掾，拜郎中”的时间，应在177年。而在174年至176年间，刘洪曾“以父忧去官，”在家守孝三年。（五）“光和二年（179年）”因“王汉上月食法注”，即王汉提出新的交食周期一事，“尚书召谷城门侯刘洪”与议。次年（180年，）刘洪又参与评议冯恂与宗诚关于交食周期的论争，其头衔亦为“谷城门侯”。由此看来，刘洪“迁谒者，谷城门侯的时间

6、，确实是在179年，而且180年亦在任内，但刘洪任此职到何年为止，又是什么时候出任“会稽东部都尉”，却不得而知。（六）这里涉及到一个重要的问题，即刘洪究竟是在什么时候基本完成了他的新作乾象术的问题。对此，历史上就有两种不同的说法：刘宋时的何承天认为：“光和中（178-183年），谷城门侯刘洪，造乾象历”。这是关于刘洪基本完成乾象历术一种说法。北齐的魏收更进一步，在谈到秦汉以来历法的沿革时，他说道：“光和中易以乾象”，这不但认为乾象历术成于光和年间，而且已经实加施行了。何承天的说法，得到不少人的赞同。如钱宝琮认为：“灵帝光和中（178-183年）刘洪任职洛阳谷城门侯，献出他精心结撰的乾象历”。这

7、种说法是否正确，很值得商榷。唐李淳风指出：“汉灵帝时，会稽东部尉刘洪作乾象法”。一行亦持类似的看法，他认为：“汉会稽东部尉以四分疏阔，由斗分多”，致有乾象历之作。即他们都认为刘洪是在离开洛阳迁官至会稽东部都尉以后，才基本完成了他的乾象历术的。这是异于何承天、魏收等人的另一种说法。也许有人会说，这是唐代人的一种新看法，其时晚于何承天、魏收等人数百年，所以不足为信。其实不然，我们以为后一种说法是较为可靠的。如（一）所述，袁山松书中对刘洪的身世作过最详细的记载。关于刘洪主要的学术活动，该书还有这样的记述：“洪善算，当世无偶，作七矅术，及在东观，与蔡邕共述律历记，考验天官。及造乾象术，十余年，考验日月

8、，与象相应，皆传于世”。这当然不能被视作无足轻重的史料。对之，我们可作如下分析：这里所谓“及造乾象术，十余年，”，可以有三种不同的理解：一是在174年作“七矅术”以后的十余年；二是在178年“与蔡邕共述律历记”后的十余年，刘洪基本完成了他的乾象术；三是刘洪在最后制定乾象历的206年（见下文）前的十余年中，曾对初成的乾象术作过不断的检验，得到“与象相应”的结果。无论作何种理解，初成乾象历的年代都不应早于184年，即都否定了何承天等人的说法。关于这个问题，我们还可列举另二条重要的史料：汉魏时人孙钦，在谈到两汉历法的沿革时曾说过：“至中平中（184-189年），刘洪改为乾象，推天七矅之符，与天地合其

9、叙”。又，东吴时人王蕃在所著浑天象说中云：“汉灵帝之末，会稽东部都尉泰山刘洪更造乾象历”。汉灵帝于公元168年至189年间在位，“中平”是他所用的最后年号，所以王蕃和孙钦之说是完全一致的。只是前者在年代上说得更确切些，而后者则指明其时刘洪官任会稽东部都尉。李淳风、一行之说正与之相同。孙钦、王蕃早于何承天、魏收二、三百年，不能不说是带权威性的看法。关于乾象的初成年代，孙钦、王蕃之说与袁山松书的记载亦正相呼应，若将它们结合起来考察，我们便可推定：刘洪当在185至189年间，在迁会稽东部都尉任内，初步完成并献上他的乾象新术的。（七）据曹魏“太史令许芝云：刘洪月行术用以来且四十余年，以复觉失一辰有奇”

10、。所谓“月行术”，应指的是刘洪在中平年间所初成的乾象术中的月行术，而许芝是在魏明帝太和年间（227-233年）为太史令的。由于“四十余年”和许芝发表议论的年代均为不定值，我们不能由此判定刘洪月行术被正式行用的确切年代。但是这条史料却勿庸置疑地表明：在刘洪献上初成的乾象历之后不久，其月行术便实际上被采用了。这也给（六）中孙钦所说的“改为”，和魏收所使用的“易以”二词以恰当的解释，即东汉四分历已经被部分地改易了（只是魏收把时间给搞错了）。从这一重要的事实和（六）中所得的结论出发，我们还可以作出这样的推论：刘洪约于187、188年间初成并献上乾象术，受到了朝廷的重视，由于其月行术明显的优越性，不久便

11、实际施用，于是就有从会稽“征还”刘洪，以便进一步改革历法的决定，其时约为188、189年间。但由于汉灵帝于中平六年（189年）四月崩，接着董卓等人为乱，时局骤变。这样，（一）中提及的“征还，未至，领山阳太守”便成了顺理成章的事。（八）“献帝建安元年（196年），郑玄受其法（指乾象术），以为穷幽极微，又加注释焉”，这里“受其法”可以理解为郑玄亲受刘洪关于乾象术的指点。又据载郑玄于“建安元年，自徐州还高密”此时刘洪亦正为山阳太守，而“山阳郡，汉置，故治在今山东金乡县西北四十里”，徐州与山阳相距甚近，所以刘洪、郑玄在此时相遇是完全可能的。而郑玄为乾象历作注，当是在还他的故乡高密以后的事。（九）“上元

12、已丑以来，至建安十一年（206年）丙戌，岁积七千三百七十八年”，这是现存的乾象历术的首句，它说明刘洪是在初成历术后，又经过十余年的检验与充实，到这时才最后审定而成乾象历法的。（十）据博物记载，刘洪还曾“为曲城侯相，政教清均，吏民畏而爱之，为州郡之所礼异”。在汉代，“每郡置太守一人，二千石”，“王国相亦如之。而”郡都尉“官在太守之下，“皆千石”。由此可知，王国相的地位与郡太守相当，刘洪出任曲城侯相的时间，不应在出任会稽东部都尉之前。又，如（七）所述，刘洪当是在190年前后领山阳太守，如果他任该职直到“卒官”的说法无误，那么，刘洪任山阳太守的时间应长达二十年左右，这大约是不可能的。我们认为博物记所

13、记当是事实。所以，我们认为，刘洪在任山阳太守若干年以后（不应早于196年），又曾迁任曲城侯相，而后去世，这应是更为合理的说法。（十一）韩翊于黄初元年（220年）造黄初历，接着发生了徐岳、杨伟等人责难黄初历的论争。徐岳在交食、五星法等问题上赞许刘洪、贬拙韩翊，而在谈及“消息术”时，徐岳自言曾“受师（指刘洪）法”，非难韩翊未得真传。而杨伟则指责韩翊“挟故而背师”。由此看来，他们都是刘洪的弟子，而这时刘洪显然已经去世多年了。我们推测刘洪的卒年应在210年左右。综上所述，我们可将刘洪的生平概要表述如下：135年（？）-生年158年至166年间以校尉应太史征，拜郎中。此刘洪已在历算上崭露头角，设刘洪当时

14、不小于二十五岁，由此可估计其生年为135年左右。在应太史征后，约十年中，刘洪积级参加天文工作，如二十四节气晷影长度等的测算。174年迁常山长史，献上七矅术，继又献上八元术。其后三年中，因父忧去官177年为上计掾，拜郎中。其后于178年，在东观与蔡邕三共撰东汉律历志。179年迁谒者，为谷城门侯。这一年曾主议王汉所上交食周期事。次年又参与评判冯恂与宗诚关于交食周期的论争。约184年迁会稽东部都尉。其间在187年至189年间初成并献上乾象历，其中月行术已被行用。约190年领山阳太守。其间于196年，曾授乾象历于郑玄。而徐岳、杨伟、韩翊等亦先后受其法。（？）年迁曲城侯相。刘洪于206年，最后完成乾象历

15、，该历于232至280年正式在东吴颁行。210年（？）卒年。刘洪的天文学成就刘洪的天文学贡献是多方面的，而且大都具有划时代的意义。他的同代人和后来历代的历法家，直至近现一代中外学者，都对刘洪的成就以极高的评价。在第一节中，我们已经提及当时的著名学者蔡邕、郑玄等对刘洪的推崇。稍后，徐岳又对刘洪的贡献作了概括：刘洪经长期的观测与检验，发现前历“疏阔，皆由斗分多故也”，“又为月行迟疾、交会及黄道去极度、五星术，理实粹密，信可长行”，在谈及对日食的预报时，徐岳以为“刘歆以来，未有洪比”。唐李淳风说：“自黄初（220-226年）已后，改作历术，皆斟酌乾象所减斗分、朔余、月行阴阳、迟疾，以求折衷。洪术为后

16、代推步之师表。”北宋周琮在列数他以前历法的九项最重大的创造时，将“后汉刘洪作乾象历，始悟月行有迟疾数”列为其中一项。清代李锐曾详注乾象历术，以阐明刘洪的成就。近现代中外学者，对刘洪的天文学贡献亦多有论述，如朱文鑫、钱宝琮、严敦杰、陈遵妫，英国的李约瑟、日本的薮内清等，均给以很高的评价。历代学者对刘洪的评价虽然很高，但所论各有侧重，且多失之零散或简略，并尚有可补充或商榷之处。为对刘洪的天文学工作有较全面的评价，特分别讨论如次：（一）朔望月、回归年长度的测定自春秋末（约公元前五世纪）出现古四分历以来，到刘洪的六百多年间，我国古代对于朔望月和回归年长度的测算，一直没有取得什么进展。其间甚至出现过倒退

17、现象，如太初历所采用的数值，把原先就已经偏大的数据更行增大了，这就造成了长时期内历法后天的现象。这一情况引起了刘洪的关注，经过二十多年的观测与研究，终于取得了极重要的成果。在乾象历中他给出了朔望月和回归年长度的新数值。即以29日为一朔月的长度，误差从前历的20余降至4秒左右；以365日为一回归年的长度，误差由前历的660稍降至335秒。刘洪这两项新成果的意义，不仅在于其本身精度的提高，还在于他首次打破了长达数百年之久的停滞徘徊状态，从而给后世的进一步研究开辟了道路。（二）月亮运动的研究上述朔望月长度之推测，是刘洪对月亮运动研究的重大成果之一，但他在这一领域的贡献远不止于此。在前人工作的基础上，

18、对于月行迟疾月亮运动的不均匀性，和月行阴阳包括黄白交点的退行和交点月长度的探索，以及黄白交角和月亮去极度数的测算等方面，刘洪都进行了开拓性的定量研究，取得了极重要的科学成果。（1）近点月长度的测量和月行迟疾表的制定东汉早期的天文学家李梵、苏统等人发现了月亮经一近点月，其运行最快的一点“疾处”（今称近地点）向前推进了三度，这一重要发现，是刘洪对月行迟疾定量研究的先声。刘洪的功绩在于第一次明确地给出了近点月长度的具体计算方法和数据。他测算得月亮经一近点月，近地点向前推进1825分（3.1度），刘洪称之为“过周分”。这个数值要比李梵、苏统的结果准确得多。刘洪进而建立了计算近点月长度的公式，并取得明确

19、的结果：月周（-日月平行分）周天分+过周分一近点月长度27日该值与理论之差约为104秒。他的方法为后世所遵用，从而奠定了近点月长度值测算迅速进步的基石。这里顺便指出：李约瑟认为“刘洪预报交食的方法，已知月球轨道经过黄道的交点，称为过周分。”这一说法显然是把黄白交点的退行（刘洪称之为“退分”）误解为月亮近地点的进动值，是错误的。刘洪的功绩还在于，他第一次给出了月行迟疾表，即月亮在一近点月内每日运行动态的表格。其方法是：在一段较长时间内，测量每日昏明时月亮运行的状况，如徐岳所说：“昏明度月所在，则知加时先后意。”从月行疾处到下一个疾处为一周期，在取得若干周期的观测值以后，便可求得一周期内月亮每日平

20、均实行的速度“日转度分”，这是月行迟疾表的实质性数值，是刘洪对月行迟疾定量描述。该表把在一近占月内月行迟疾的平均状况，分为四段加以说明：月行日慢月行日快月行日慢月行日差趋大月行日差趋小月行日差趋大1日7日15日23日（平）（月行最慢）（平）（月行最速）月行日慢月行日差趋小 27日。这同月亮运行迟疾的大体情况是相吻合的。这种四段分法为后世大多数历法所沿用，其影响是深远的。（2）黄白交点退行值的测定和对于交点月长度的摸索刘洪在乾象历中明确地提出了黄白交点退行的概念，并经定量测算而获得了黄白交点经一旦退行的数值，刘洪称之为“退分”，它等于分度。刘洪还进一步推衍出一日内月亮离开黄白交点的分会值“日进分

21、”，等于一日月平行分（7874）加上“退分”。根据这些成果，刘洪本来可以建立如下计算交点月长度的公式日进分周天分一交点月长度日。又，刘洪在乾象历中指出：在一个交食周期内，有11045个朔望月（“会月”），它又正好等于11986个交点月（“差率”），由此，实际上也可建立如下计算交点月长度的公式：差率会月一交点月长度朔望月长度29日。这两个计算公式是等价的。然而，刘洪在乾象历中并没有明确给出计算交点月长度的这些公式。但在“推朔入阴阳历”术首句，刘洪就说：“以会月去上元积月”，其含意是自上元到所求月的“上元积月”中，凡满会月，即11045个朔望月，正好是经过了11986个交点月，月亮又回到原先交点的

22、位置上，所以可以去之。这里实际上使用了一交点月长度27.2121507日的数值，该值与理论值之差约为5秒。可是，在紧接着“推朔入阴阳历”术的首句之后，刘洪在处理“上元积月”去除若干整会月的余月数时，却采用了另一个交点月长度值。他先设立了若干专用名词：“朔合分”（18328）、“微分”（914）、“微分法”（2209）和“月周”（7874，）这里作为“朔合分“的分母。依术文意，朔望月长度与交点月长度之差应等于（18328）/7874日，已知朔望月长度为29日，则此交点月长度应为（27+1597）787427.2028290日。又，刘洪在“阴阳历”表中，当叙及月亮从一个交点到另一个交点所经日数，即

23、半个交点月长度时，他又认为是等于“十三日”又“分日五午二百而三”，其分日以月周（7874）为母，由此可算得一交点月长度21327日。而刘洪所定的恒星月长度周天分/月周2727.3215646日。二者完全相同。这说明刘洪又交点月长度与恒星月长度混为一谈。由这讨论可知，刘洪在三个不同的地方，使用了三种不同的交点月长度值，说明他对于交点月长度的认识还是比较精浅的、不成熟的。虽然如此，我们也不应低估刘洪在交点月长度研究方面的价值。他毕竟首次明确地阐述了交点退行的现象，并取得了相当准确的定量结果，这在我国古代关于月亮运动的认识史上，就占有十分重要的地位。（3）黄白交角的测定和月亮去极度推求的创立现代的观

24、测告诉我们黄道与白道之间的交角并非常量，它约变动在457和519之间，其平均值约为509，关于这个问题的定性描述，战国时期的石申就有所认识。到刘洪不但明确地肯定了黄、白之间存在一个夹角，而且进行了定量的测量，这在我国古代历法史上也是一项创举。其测量结果载于乾象历“阴阳历”表中。该表给出了月亮从升交点出发，每经一日月亮跟黄道南北的分值“兼数”，显然，这是刘洪经过长期的观测得到的平均值。他测得从第一日到第八日，月亮在黄道北，与黄道相距渐远，第八日达到极值，其“兼数”为“七十三”，此后月亮距黄道日近，到第十三日多达降交点，刘洪称之为“阳历”；而从降交点开始，从第一日到第八日，月亮在黄道南，与黄道相距

25、渐远，第八日亦达极值，“兼数”亦为“七十三”，而后月亮距黄道日近，亦到第十三日多达升交点，刘洪称这为“阴历”。如此周而复始。“阴阳历“表还有”衰“和”损益率“两个栏目，某日下的”损益率“是后一日的”兼数”与前一日的“兼数”之差，而“衰”则为相应日“损益率”之差，它们都是由“兼数”派生出来的。“兼数“以12为分母，73/126度1分，化为360制，等于5598，此即刘洪所测得的黄白交角的平均值。它与现代观测值差约52，但在当地的条件下，已是难能可贵的了。阴阳历表的主要用途之一，是为求“月去黄道度”，在求得某时日自上元以来的积日，入阴阳历的日及定日余后，便可由表查得该日的“兼数”，再加上或减去该日

26、“损定日余月周益率”，乘以，便为该时日的“月去黄道度”，将入阴历还是入阳历区分开来，“其阳历以加日所在黄道（历）去极度，阴历以减之，则月去极度”。这就进而给出了推求任一时日的月去极度的方法，这又是乾象历所开创的一项新课题。不过，这一问题的解决，还需要知道“日所在黄道去极度”，这大约就是在本节开头提到的，徐岳所说的刘洪关于“黄道去极度”术的新发明。可惜，在乾象历中看不到关于该术的具本记载，我们推想它应是从后汉四分历中所载廿四节气黄道去极度测量的基础上，发展而来的一种新方法。（三）关于交食研究上述关于刘洪月行研究的成果，大都是为提高交食预报的准确度服务的。如依“求朔，望定大小余”术，利用月行迟疾表

27、便可求得定朔或定望的时刻，这比仅用平朔、望推求交食时刻的精度就大有提高。刘洪在推求朔的时日时，并未使用月行迟疾表，这是乾象历的不足之处。但刘洪已经为后来刘宋的何承天等人，使用仅考虑月行迟疾的定朔算法奠定了基础，又如，月行阴阳的研究，既可用于判定交食是否发生，又可推算定朔、望时太阳、月亮的定量位置，使得推求食分之深浅和亏起之方位等问题，有较可靠的依据。当然，刘洪关于交食研究取得的重大成果，还包括广泛的内容，下面我们将作出一进一步的讨论。（1）关于食限的发现与规定在刘洪以前，人们就对为什么不是每次朔望都发生交食现象的问题，曾进行过初步的讨论。而刘洪在乾象历中，第一次明确地提出了食限的概念和数值，对

28、这个问题作了正确的和定量的回答。在“阴阳历”表中，刘洪在二日和十三日项下，均给出了“限余”值，并分别称之为“前限”与后限，这是“阴阳历”表的又一重要内容。刘洪指出：“二日，限余千二百九十，微分四百五十七。此为前限”，其“微分法”为2209，又规定“如月周（7874）得一日”，即他以合朔或望的时刻平均离开交点1日以内为“前限”。将它乘以月亮日平行度（7874/589），得15.5589度，化为360制，即约为1520。刘洪又指出：“十三日，限余三千九百一十二，微分一千七百五十二，此为后限”。前已叙及刘洪在此所定的半个交点月的长度为13日，以之减去“后限”（12日），亦得1日。这就是说，刘洪明确规

29、定合朔或望时月亮离开交点前或后1520，作为判定是否发生交食的临界值。现代所定必发生日食的食限下限为1521。这说明刘洪所定的食限值，对于日食而言是相当精确的。在乾象历文中，关于前后限的具体论述仅有“入（阴阳）历在前限余前，后限余后者，月行中道也”一句。李锐在为之作注时，指出这是“月行中道则有食”的意思。这一解释总的说来是不错的，但还不够真切与通达。上文已提及，乾象术有“月去黄道度” 的求法，依其法，在前限时，月去黄道的度数应等于：17（二日的兼数）+（前限日数之余数）16（二日的损益率）19.6217分1.635度即在入前限后，月去黄道的度数均小于1.635度（实际上，该值也可作为是否发生交

30、食的判定数据），可以近似地把这段地间内月行的轨道视作与黄道同，这应是“月行中道也”句的确解。同理，在后限时月去黄道的度数亦可算得，为1.587度，与前限时稍有不同。后世历法所定的食限值与乾象历大体相同，可见刘洪作为这一新课题的开创者，对这个问题就已有高水平的深刻研究。（2）关于交食食分和亏起方位预报方法的探索在曹魏黄初年间，徐岳在与韩翊进行关于乾象历与黄初历优劣的论争时，曾指出：“熹平之际，时（刘）洪为郎，欲改四分，先上验日蚀：日蚀在晏，加时在辰，蚀从下上，三分侵二。事御之后如洪言，海内识真，莫不闻见。”这就是说，早在公元179年以前，刘洪就已经有了预推日食的亏起方向和食分的方法，而且这种方法

31、实际天象的验证，是相当可靠的。可是，在乾象历中，并没有关于交食食分与亏起方位的具体推算方法的记载。在我国古代历法中，这两项方法的明确记载，首见于杨伟的景初历，在关于我国古代历法的许多论著中，多把这两项方法的发明权，归之于杨伟，我们认为这是欠妥当的。由徐岳的明确记叙，兼及乾象历中，实际上已经为这两项的提出，准备了充分和必要的条件：如食限的规定，月亮在黄道内外、在交点先后的推求法，和太阳位置的算法等等，再考虑到杨伟与刘间的师承关系，我们认为：刘洪应是这两项方法的最早发明者，而杨伟则是在此基础上加以发展，并明确地把它们载入景初历中的后继者。（3）关于交食周期有研究在乾象历中，刘洪提出了11045个朔望月（“会月”）中有941个食季（“朔望合数”，亦即在一个交食周期中所包括的食年年数）的新交良周期值。由新周期值，刘洪算得半个食年的长度为“五月，月余千六百三十五，满会率（1882）得一月”，则一食年的长度应等于25（朔望月长度值）346.6151315日与理论值之差约为376秒，刘洪的这项成果标志着我国古代关于交食周期的研究达到了一个新阶段，大大超过了前人和欧洲同时期研究的水平。另外，刘洪在乾象历中建立了在一个交食周期内如下几个天文量的关系式：“差率”（11986个交