完整版求数列通项公式的十种方法.docx

1、完整版求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、 特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等差数列或等比数 列。四求数列通项的基本

2、方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。、累加法1适用于： an 1 an f (n) 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若 an 1 an f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLan 1 an f ( n)n两边分别相加得 an 1 a1 f (n )解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则an (an an 1) (an 1 an 2) L 3 a2) (a2 aj a12( n 1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2

3、) L 2 1 (n 1) 1 (n 1)n2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 12n2所以数列an的通项公式为an n 。例2已知数列an满足an 1 an 2 3n 1，印3，求数列 佝的通项公式。解法一：由an 1ann2 31 得 an 1ann2 31则an (a* an 1 )(an 1an 2) L(a3a2)(a2 a1) a1n(2 31 1)(23n2 1)L (23 11) (2 3 1) 312(33n2L32；31)(n 1)3(13n1)2(n1)313n3 3n 133 n1所以an 3nn1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3an

4、 2n3 3a3nan3an 1)an 1(an 1an 1an 2)(an 2(尹za2 q 色(32 31)33n)1)12门22(n 1)313n3n13n2L则an-n 3n3练习1.已知数列3n(1 列)2n312 3n，an的首项为，且 an 1an 2n(n N)写出数列 an的通项公式.2答案：n答案：裂项求和an 2数、分式函数，求通项 an.1若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和2若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和 ；3若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和4若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。5an则.2n(n

5、 1) dn(n 1)此题也可以用数学归纳法来求解、累乘法1适用于： an 1 f(n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若也anf (n)，则 aa1f(1)，丄，f(n) an两边分别相乘得,an 1a1例4已知数列an满足 an 12(nf (k)1)5n an，ai3，求数列a.的通项公式。解：因为an 12(n1)5n an，ai3，所以ana0 ,则亠 2(n 1)5n，故anan 1a3 a2an 22(n 2n 1n(n3 2n 11)5n12(n1) L 3 2 5n(n 1)5 2 n!1)5n 2 L(n 1) (n 2) L2(2 1) 522(1

6、1) 51 32 1 3所以数列an的通项公式为an 3 2nn(n 1)52 n!.例5设an是首项为1的正项数列，且2 21 an 1 nan an 1an 0( n则它的通项公式是 an解：已知等式可化为:(an 1a.) (n1)an1 nanan 1an0(n(n +1) an1 nananan2时,anana2an 1an 2评注：本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 an与an 1的更为明显的关系式，从而求出 an.练习.已知务1 nann 1,a1 j求数列an的通项公式.答案：an (n 1)!(a11)-1.评注：本题解题的关键

7、是把原来的递推关系式 an 1 nan n 1,转化为an 1 1 n(an 1),若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式、待定系数法 适用于an1 qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。a)型1 形如 an 1 can d,(c ,其中 a1(1)若c=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=时，数列an为等比数列；(3) 若c 1且d 时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.待定系数法：设 an 1 c(an ),得an 1 can (c 1

8、)，与题设an 1 Can d,比较系数得d d / d 、(c 1) d，所以R,(c 0)所以有：an ci c(an1因此数列构成以da1c 1为首项，以c为公比的等比数列,and所以an c 1(ai亠)cn1c 1 即:an (a1规律：将递推关系an 1can d 化为 an1岛）构造成公比为c的等比数列h从而求得通项公式dan 11 c1(a1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an 1can d中把n换成n-1有an can 1 d两式相减有an 1 an c（an an1）从而化为公比为 c的等比数列an 1 an,进而求得通项公式.n / an 1 an C広2 a1）

9、,再利用类型 即可求得通项公式 我们看到此方法比较复杂例 6 已知数列an中，a1 1,an 2an 1 1(n2），求数列 an的通项公式。解法一：Qan 2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1 1)又Qai 1 2, an 1是首项为2,公比为2的等比数列nan 1 2 ,即 an 2n 1解法二：Q an 2an 11(n 2),an 1 2an两式相减得an1 an 2(an an 1)(n2），故数列 an 1 an是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习.已知数列an中,ai2，an112 求通项务。an (2)n1 1答案： 2n2 形如：an 1 p an q

10、（其中q是常数，且n 0,1）若p=1时，即：乳1冇nq ，累加即可若p 1时，即：an 1 pnan q求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以1目的是把所求数列构造成等差数列a n 1n 1即: pannq丄（即bn二 p q ,令 pbn 1 bn，则1 p n_ （_）p q ，然后类型1，累加求通项ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1n 1qbn令annq ,则可化为bn 1 bq q 然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列n 1 /设 a n 1 q p (ann P ） 通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用

11、待定系数法时，要求p q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足a 12an 4 3n1, a11，求数列an的通项公式。解法一（待定系数法）:设ann /13 2(an3n1)比较系数得1 4, 2 2，则数列an 4 3是首项为a11 14 31 15，公比为2的等比数列,n 1所以an 4 3n 15 2 ，即 4 3n 15 2n 1解法二（两边同除以n 1q ）:两边同时除以n 13得:an 13n 12a33n3，下面解法略解法三（两边同除以n 1p ）:两边同时除以2n1 得:an 1an2n伯，下面解法略练习.（2003天津理）设ao为常数，且n 1an 3 2an 1 (

12、n N)证明对任意an 3n5(1)n1 2n ( 1)nna0；3 .形如an 1 pankn b（其中k,b是常数，且k 0)方法1:逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为(anxny) p(an 1 x(n 1)y).解题基本步骤:1、确定 f(n)=kn+b设等比数列bn(anxny），公比为p列出关系式（务xny)p(an 1 X(n 1) y)即 bn pbn 1比较系数求x,y解得数列（an xn y）的通项公式解得数列 9n的通项公式在数列an中，a1 1务13% 2n,求通项冇.（逐项相减法）解:an 1 3a n 2n,2 时 a n 3a n 12(n1)

13、两式相减得办1办3(anan1)2 令 bn an 1a n 则 bn 3b n 1 2利用类型5的方法知bn5 3n5 3n1 15an 一再由累加法可得 2亦可联立an 5 3n1解出 23 c c ca1例9.在数列兔中，,2an an 1 6 n 3 a2 ，求通项an.（待定系数法）解：原递推式可化为2（an Xn比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为y) an 1 x(n1) y2bnbn 1b1a1 6n 991bn9 n 1所以bn是一个等比数列，首项2,公比为2 .即:1nan 6n 9 9 ()2an 9 (1)n 6n 9故 2 .,an 1 pan an2 bn4 .

14、形如n 1 c（其中a,b,c是常数，且a)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。2例10已知数列an满足an 1 2an 3n 4n 5,印1，求数列a.的通项公式。2 2解：设 an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(a. xn yn z)比较系数得x 3,y 10,z 18，所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)2 2由 q 3 12 10 1 18 1 31 32 0，得 an 3n2 10n 18 02则 an 1 3(n 1) IL8 2，故数列an 3n2 10n 18为以an 3n

15、10n 182a1 3 1 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1，则 an 2n 4 3n2 10n 18。5形如an 2 pan i qan时将an作为f (n)求解，数列分析：原递推式可化为 an 2 an 1 ( p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得an i an为等比数列。1，去 2，求数列an的通项公式。例11已知数列an满足an 2 5an 1 6an，印解：设 an 2 an 1 (5 )(an 1 an)比较系数得3或 2，不妨取2，(取-3结果形式可能不同，但本质相同)贝y an 2 2an 13

16、(an 12an)，贝U an 1 * 2an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2an4 3n 1 *，所以an4 3n 15 2n练习数列%中，若a1 8, a2 2,且满足an 2 4an 13an0,求 an答案:an 11 3nr四、迭代法 an 1 pan(其中p,r为常数)型例12已知数列an满足an 13(n 1)2nan ，a 5,求数列an的通项公式。又ai5，所以数列an的通项公式为an53nn(n 1)n! 2 2注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13. （2005江西卷）（1）证明an an 1 2, n N; （2）求数列an的通项公式a

17、n.n 5例15已知数列an满足an 1 2 3 务，ai 7 ,求数列%的通项公式。解：因为 an i 2 3n a；,印 7，所以 an 0, an 1 0。两边取常用对数得lg an 1 5lg an n lg3 Ig 2设 lg an 1 x(n1) y 5(lg anxn y)（冋类型四）比较系数得，lg3 lg3x , y4 16lg24由lg印lg3 1lg3lg2lg7lg31 lIg3lg20 ,得 lg anlg3n 3lg2 0 ,416441644164所以数列lg anlg3nlg3lg2是以lg 7lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，41644164则

18、lg anlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3-lg2)5n1，因此41644164lga (|g7 lg3 Ig2)5n 1 lg3n lg3 lg2Ig an (lg 7 )5 n416 4 4 6 41 1 1 n 1 1lg(7 34 3花 24)5n 1 lg(3刁 3忆 2刁)1 1 1 n 1 1n 1lg(7 34 316 24)5 lg(34 316 24)5n 4n 1 5n 1 1lg(75n 1 3 16 2丁)5n 4n 1 5n 1 1则 an 751 3 16 2丁 。六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1 -

19、,a1 1，求数列an的通项公式。an 28(1 1)88224a1(2121) (2 13)29925258(2 1)248348a2(221)2(2 23)2252549498(3 1)488480a3(2321) (2 33)2494981818，得a2 a3丄(1 4an , 1 24an)得16代入an 1解：由an 1an七、换元法 适用于含根式的递推关系an由此可猜测an監喉，下面用数学归纳法证明这个结论由此可知，当n k 1时等式也成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有 Sn ,又有an方法求解。2)当 n=1 时，S|当 n2 时，6（am 1）（am 2）-整理得

20、：（an an1 )( an an 13) 0an各项均为正数，an an 13当 q 1 时，an 3n22，此时a4a2a9成立当 ai 2 时，an 3n1，此时a4a2a9不成立，故a1 2舍去所以an 3n 2则a21，代入得an 1 3 4 5 L n 丄。所以，an的通项公式为ann!2不动点的定义：函数 f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0 D，使f(x0) x0成立，则称x0为 f(x)的不动点或称(Xo, f(Xo)为函数f (x)的不动点。分析：由f(x) x求出不动点X。，在递推公式两边同时减去 X。，在变形求解。类型一：形如an 1 qan d例21已知数列a.中

21、，ai 1,an 2a. 1 1(n 2)，求数列 的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为 f(x) 2x 1，由f (x) x得，不动点为-1二 an 1 1 2(an 1),p,q，再将两式相除得(1 )若有两个相异的不动点 p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点an 1 P . an P 苴中-a pc (ag pq)kn 1 (ap pq)K ，其中k ，an n 1an 1 q an q a qc G P)k q) (2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p ,然后用1除，得5a 4例22.设数列an满足a1 2, an 1 n ,求数列an的通项公式2an

22、7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解 解：对等式两端同时加参数 t,得：5an 4 t (2t 5) an 7t2an 7 2an 7(2t5)an7t 42t 52an 77t 4令t ,解之得t=1,-22t 5an t代入an1 t (2t 5)亍得an3 nan 1an2an相除得an 1 1 a n 1 2巴,即 是首项为an 2 an 2a1 1a1 2的等比数列，an 1 = 1an 2 431n解得an4 3n 1 237方法2:an 1 1两边取倒数得1an 1 12an 73(an1)1) 93(anT2(anan令bn则bn3bn,转化为累加法来求例23已知数列an满

23、足an21an4an 124，a4，求数列an的通项公式。解：令21x4x241得4x220x 24 0 ,则 x1 2， x23是函数f(x) 21X 24的两个不4x 1动点。因为21an24an 1 2an 1 34an 121an 244an21an 24 2(4an 1)21an243(4an 1)13% 269an 2713 a 2 a 2n 2。所以数列n厶3 4anai 2a1 31313为公比9的等比数故二 2(13)nan 3 9ann1:已知1 1练习an满足a12,anan12an2)，求an的通项an答案：3n ( 1)n an 3n ( 1)n练习2。已知数列an满

24、足a1 2, an 1着*n N*)，求数列an的通项an答案:an练习3. （2009陕西卷文）已知数列 an满足，a1=1a2 2,an+ 2= a n 1 , n N*.令 bn an 1an,证明：bn是等比数列;（n）求an的通项公式。答案：（1） bn是以1为首项,1为公比的等比数列。（2）2an2 1 n 1 *心(n N)。I一。特征方程法形如an 2pan 1 qan（ p, q是常数）的数列形如 a1 m1,a2m2, an 2 pan 1 qa“ （p, q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a.,其特征方程为2x px q若有二异根，则可令annC1C2 n（C

25、i,C2是待定常数）若有二重根，则可令an （C1nc2） （C1, C2是待定常数）再利用a1 m1, a2m2,可求得c1,c2，进而求得an例24已知数列an满足a! 2, a23, an 2 3an 12an(n N )，求数列an的通项an解：其特征方程为2x 3x 2，解得X1 1,X2an C11nnC2 2 ,ai由a2C| 2c2G 4c22，得G3 C22n例25已知数列an满足a11,a22, 4an 24an 1an(n求数列an的通项an解：其特征方程为4x24x 1，解得x1 x2an C1nga1由(C1 C2)a2(C1 2C2)1214，得23n 2练习1.已知数列an满足a11,a22,4an 24an 1an 1(n N），求数列an的通项练习2.已知数列an满足a1 1,a2 2,4an