1、小学的奥数同余问题小学的奥数同余问题(总13页)同余问题(一) 在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如:现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分?我们知道一天是24小时,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。 记作:(mod7) “”读作同余。 一般地,两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同,就称a、b对于模m同余,记作:2. 同余的性质 (1)(每个整数
2、都与自身同余,称为同余的反身性。) (2)若,那么(这称作同余的对称性) (3)若,则(这称为同余的传递性) (4)若,则()(这称为同余的可加性、可减性) (称为同余的可乘性) (5)若,则,n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象: 如果 那么(的差一定能被k整除) 这是为什么呢? k也就是的公约数,所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几? 分析与解答: 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以,说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个
3、差的最大公约数。 所以a最大是31。例2. 除以19,余数是几? 分析与解答: 如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。例3. 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几最后余数是几 分析与解答: 这个数除以13,商是有规律的。 商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。 余数是几呢? 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。【模拟试题】(答题时间:20分钟)
4、1. 求下列算式中的余数。 (1) (2) (3) (4)2. 6254与37的积除以7,余数是几?3. 如果某数除482,992,1094都余74,这个数是几?同余问题(二)【例题分析】例1. 除以7,余数是几? 分析与解答: 例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几?分析:假设这个自然数为a那么 这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下,使它们的余数相同,利用整除的知识,便容易考虑了,先看下面一道题:一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么,这个自然数若减去2,便同时是3,5,7的倍数,这样的自然数有:105,210,315,分别被3
5、,5,7除余2的数是2,107,212,317,最小的自然数是2。回过头来看刚才的题,能不能把它也变为余数相同的数呢?稍加变式,可以写成:这样同时是3,5,7倍数的数有105,210,315,那么同时被3,5,7余8的数有:8,113,218,323,其中最小的自然数为8。例3.在求被7除的余数时,小明这样做: 所以余数是5 刘老师说,小明的算法不仅正确,而且巧妙迅速,你知道其中的道理吗? 分析与解答: 看了下面的算式,你就会明白的。 小明用的这种方法,有比较广泛的应用,常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时,常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分,对于这部分,简直可以“置之不理”,这样可
6、以使解答过程简化。例4. 除以3的余数是几为什么 分析与解答: 在上式的加项中,显然可以被3整除,因此只须计算被3除余数是几。 由于 因此 由此可知,只须计算被3除的余数,它又等于被3除的余数。由于,所以 所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日,再过天又是星期几?2. 求除以3所得的余数。3. 某数除680,970和1521,余数相同,这个数最大是几?4. 有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么,第1997个数被3除,余数是几?5. 若将一批货物共千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克若每箱装17千克,最后还余多少千克6、13
7、09被一个质数相除,余数是21,求这个质数。7、1796被一个质数相除,余数是24,求这个质数。8、求20012000除以7的余数。9、求123345+234456除以11的余数。10、有一个大于1的整数,它除1000、1975、2001都得到相同的余数,那么这个整数是多少?11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除,得到相同的余数,求这个自然数。12、两个自然数相除,商15,余3,被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。8、两数相除商40余7,被除数、除数、余数和商的和是710,求被除数。13、有一个数除以3余1,除以4余2,问这个数除以12,余数是几?14、一个数除以5余
8、1,除以6余3,除以7余4,这个数最小是几?15、386742531644351,求里的数。493768453379765,求里的数。16、两个自然数相除,商8余16,被除数、除数、商与余数的和为265,求除数是多少?17、写出除以8所得的商和余数(不为0)相同的所有的数。18、20022002-2001除以9的余数是多少?19、当2002和1781除以某一个自然数,余数分别是2和1,那么这个数最大是多少?20、一个数除以17的余数是5,被除数扩大2倍,余数是多少?21、有一个数,除以3余数是1,除以4余数是3 。这个数除以12,余数是多少。 22、570被一个两位数除,余数是15,这个两位数
9、是多少?23、有一个数加上22的和被9除余3,这个数加上35的和被9被余几?B组24、有一个整数,用它去除45,53,143得到的3个伤痕的和是20,这个数是多少?25、有一个数用它去除100,余数是1,用它去除50,余数是6,求这个数。26、把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个每份4个余3个。这堆苹果共有多少个?27、有一个数被5和11整除均余4,被3正好整除,这个数最小是几?28、求被4除余2,被6除余2,被9除余5的两位数。29、一个数能被3、5、7整除,若用11去除则余7,这个数最小是几?30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组元,第
10、二组元,第三组元,第四组元,又知道每本练习本价格都超过1角,求数学学习小组共有多少人(提示:练习本单价是总价的公约数。)31、五年级两个班的学生一起排队出操,如果8人排一行,多出一个人;如果11人排一行,同样多出一个人。这两个班最小共有多少人(提示:如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。)32、一个数被4除余3,被5除余4,被6除余5,这样的数中最小的是几(提示:余数与除数有什么关系)33、一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个;如果按6个一堆放,最后多出4个;如果按7个一堆放,还多出1个;这筐苹果至少有多少个(提示:先满足被7除余1,再从中找出被6除余4)竞赛题精选1、若2836,45
11、82,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为( )。(2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷)2、一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,则满足这些条件的最小自然数是( )。(1996年我爱数学少年冬令营试题)3、某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是( )。(1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷)4、一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,那么这个数是( )。(1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷)5、在一道有余数的除法算式中,被除数、除数,商和余数的和是59
12、9,已知商是15,余数是12,请问,题目中的除数是多少(厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B组)同余问题提高训练1、求4373091993被7除的余数。2、求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数3、分别求满足下列条件的最小自然数(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四,过14389天后是星期几?6.试一试:粮库有千克大米,用每袋50千克的袋子装,最后余下多少千克?7、 数2001,2232除以整数n
13、,得到相同的余数,而且这个余数是合数,求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同,且商相差4.求这个数.9、若2836,4582,5146,6522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为多少?10、有三个不同的三位数,它们分别除以a ,得到的余数相同而且是最大二位偶数,当a为两位数时,这三个数最小的和是多少?11、某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现:如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪名的你知道该年级共有学生多少名吗?12、希望小学六年级和五年级去春游,每辆车
14、可乘36人.六年级先坐满几车,剩下的16人与五年级坐满一车,五年级又坐满若干车.到达目的地后,每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张,每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕,最后一个胶卷还剩几张未拍 13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组,并使每组的人数尽可能多,以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后,所剩的人数相同,问丁校分组后还剩下几个人?14、试一试:乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球,每只盒子里装的小球同样多.真巧!剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个?15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字,输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数,求五位数X679Y。
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