数学建模 古塔地变形.docx

1、数学建模 古塔地变形实用文档 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞

2、赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

3、） 日期： 2013 年 9 月 13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 文案大全实用文档 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 文案大全实用文档 对古塔变形问题的数学建模 摘要 中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。早起的古塔，主要是阁

4、楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。 由于古塔建造年代久远，碍于当时的科技技术，或多或少总存在一些问题，最常见的是地基不均匀沉降，从而导致塔体倾斜。由于古塔建造的年代不同，地质情况千差万别，建造后所经历的人为破坏和自然力破坏也不尽相同，因此对古塔倾斜后处理与加固技术多种多样，归纳起来不外乎两类，即复位纠偏和加补强。根据管理部门调查表，分别4次观测一个上千年的古塔在长时间承受自重、

5、气温、风力，地震、飓风的影响下，古塔会产生各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等，为保护古塔变形情况，文物部门需要适时对古塔进行观测，了解各种变形情况，以制定必要的保护措施。我们根据4次测量的数据，建立了古塔倾斜变形的预测模型。根据这个模型，我们可以比较准确的预测出每一年的变形情况，然后根据情况文物部对其制定合理的保护措施。 针对问题1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLAB制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有倾斜、扭曲、变形等情况。 针对问题2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。首

6、先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。 针对问题3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的

7、平衡，便就此稳定下来。 关键词： 古塔 变形 变形趋势预测 倾斜 弯曲 扭曲 维护 文物 中心位置 文案大全实用文档 0 问题背景 在中国辽阔美丽的大地上，随处都可以看到古塔的踪影。这些千姿百态的古塔，其造型之美，结构之巧，雕刻、装饰之华丽，均堪与我国其它种类的古代建筑相比。然而，在我国早期的古代建筑物中有楼有阁，有台有榭，有廊有庑，有民居有桥梁有陵墓，唯独没有塔。原来塔这种建筑并不是我国的固有类型，而是外国的一种建筑。在传入我国以后，塔又和我国原有的建筑形式相结合，形成了一种具有中国民族传统特色的新的建筑类型。 由于古塔距今历史久远，期间经过各种风吹雨打，自然以及人为损坏，因此需要相关管理部

8、门对古塔做测量，并且针对不同的变形情况制定不同的维护方法，以保证古塔的保留，防止历史建筑物的坍塌导致文化遗产的流逝与人员伤害。 1 问题重述 古塔，是中国五千年文明史的载体之一，古塔为祖国城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊为佛塔。矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。如果不能及时发生古塔的变形，去及时维护，古塔就有可能遭受无法挽回的损失。 古塔的变形，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制

9、定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 问题1： 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 问题2：分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 问题3：分析该塔的变形趋势。 2 问题分析 由给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的4次观测数据）的条件下，要求建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变

10、形情况，最后分析该古塔的变形趋势。 问题1中要我们确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。 首先，我们假设各测量点都是选取得科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件1）也可以看出它们是大致在同一平面上。 文案大全实用文档 那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出，那近似于一个的多边形，所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。 问题2中要我们分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。我们可以根据问题1中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连

11、起来，观察它。理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于X轴和Y轴平行Z轴的直线。 如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于Z轴了，说明该古塔发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。 问题3要我们分析该塔的变形趋势时，我们通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。 3 模型假设 假设1：各测量点都是选取的都是科学合理的位置。 假设2 ：每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。 假设3：同一层测量

12、点都大致在同一平面上。 假设4 ：各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。 假设 5：测量点的位置都是古塔上固定的位置。 4 符号说明 Ojj层中心；第 -jj?(1、2、3.13)； -层数 ii?3.)(1、2、测量点标记； -xx轴坐标； -yy轴坐标；- zz轴坐标； -xX轴坐标； -拟合线Yy轴坐标； -拟合线zZ轴坐标； -拟合线 文案大全实用文档 jxjx0轴坐标； 层中心的-第jyjy0轴坐标； 层中心的-第jzzj0 第层中心的轴坐标；-n-测量点数 t-时间 ?t-时间差 ?xx坐标差- ?yy坐标差- zz?坐标差- Qxx真实值与计算的近似值之差-

13、 Qyy真实值与计算的近似值之差 -M,N,P,a,b,c,d-方程中的参数 a,b,c,djjjjj层的方程参数第 - 5 模型建立与求解 5.1确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标 根据几何中心计算方法，我们可以得出计算各层中心位置的通用方法。 文案大全实用文档 n?x?ij?i?1?x 0n?n?y?i?jjjj1?i?y,z)o(x,y? 0j000n?n?z?ij?1i?z 0n? 的均值，得到的坐标就是每层的中心，zy即：我们把每层的8个测量值，分别求x， 位置。 1986年各层中心位置表1： 楼层 中心位置坐标x/m y/m z/m 1 566.6648 5

14、22.7105 1.7874 2 566.7196 522.6684 7.3202 3 566.7735 522.6273 12.7552 4 566.8161 522.5944 17.0783 5 566.8621 522.5591 21.7205 6 566.9084 522.5244 26.2351 7 566.9467 522.5081 29.8369 8 566.9843 522.4924 33.3509 9 567.0218 522.4764 36.8549 10 567.0569 522.4230 40.1721 11 567.1045 522.4230 44.4409 12 5

15、67.1518 522.3836 48.7119 13 567.0850 522.7403 52.8343 塔顶 567.2473 522.2437 55.1232 表1数据分析：轴坐标在逐渐减x 我们可以从表中发现，中心位置的轴坐标，在逐渐增加，而y 文案大全实用文档 少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。 注：表1数据的计算代码见附件5。 结论：说明该古塔发生了倾斜变形。 表2：1996年各层中心位置 层 中心位置坐标 x/m y/m z/m 1 566.6650 522.7102 1.7830 2 566.7205 522.6674 7.3146 3 566.7751 5

16、22.6256 12.7508 4 566.8183 522.5922 17.0751 5 566.8649 522.5563 21.7160 6 566.9118 522.5210 26.2295 7 566.9506 522.5042 29.8322 8 566.9884 522.4881 33.3454 9 567.0265 522.4714 36.8482 10 567.0620 522.4572 40.1676 11 567.1102 522.4173 44.4354 12 567.1578 522.3775 48.7074 13 567.0912 522.7340 52.8300

17、塔顶 567.2543 522.2366 55.1198 表2数据分析： 我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。 注：表2数据的计算代码见附件5。 结论：说明该古塔发生了倾斜变形。 表3：2009年各层中心位置 层 中心位置坐标 x/m y/m z/m 1 566.7268 522.7015 1.7645 2 566.7640 522.6693 7.3090 3 566.8001 522.6384 12.7323 4 566.8293 522.6132 17.0697 5 566.8603 522.5866

18、21.7094 6 566.9471 522.5342 26.2110 7 566.9792 522.5123 29.8246 8 567.0305 522.4797 33.3398 9 567.0816 522.4466 36.8438 10 567.1370 522.3937 40.1611 文案大全实用文档 11 567.1799 522.3547 44.4326 12 567.2225 522.3160 48.6998 13 567.2712 522.2715 52.8183 塔顶 567.336 522.2148 55.091 数据分析： 表3轴坐标在逐渐减y我们可以从表中发现，中心

19、位置的x轴坐标，在逐渐增加，而 轴坐标因该是不变的。轴和y少。而正常的塔，理论而言，x 。数据的计算代码见附件5 注：表3 结论：说明该古塔发生了倾斜变形。 年古塔各层中心位置坐标：2011表4 层6050 中心位置坐标60x/m y/m 526z/m 1 40566.7270 522.7014 401.7632 2 2040566.7462 522.6690 205247.2905 3 030566.8004 522.6387 052212.7269 4 53020566.8297 575522.6427 52356056552017.0520 567.55755705 52010566.8

20、610 570565522.5860 522.551821.7039 5676 510y566.9478 560522.5335 522566.5y26.2045 7 566.9800 522.5115 29.8170 8 567.0313 522.4788 33.3366 9 567.0825 522.4457 36.8222 10 567.1381 522.3926 40.1441 11 567.1810 522.3535 44.4248 12 567.2238 522.3147 48.6838 13 567.2725 522.2701 52.8131 塔顶567.3375 522.213

21、5 55.087 4数据分析： 表轴坐标在逐渐减轴坐标，在逐渐增加，而y 我们可以从表中发现，中心位置的x y轴坐标因该是不变的。少。而正常的塔，理论而言，x轴和 。4数据的计算代码见附件5 注：表 结论：说明该古塔发生了倾斜变形。 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况5.2 我们由已知的空间直线的标准点向式方程z?yzyx?x000（1）? PMN 整理得直线射影式方程 文案大全实用文档 M?x?(z?z)?x?az?b? 00?P）2（?N?dy?cz?y?z(z?)? 00?P? MNMN?az?zdx?yb?c 0000PPPP；。这样直线可以看作是；其中； 用这2个方程表示的平面相交的

22、直线，所以可以分别对2个方程进行数据拟合。?xazb?xiii，两者之设表示按拟合方程求得的近似值。一般地，它不同于实测值 差n?2）b)3Q?（x?(az?ixi1?i 同理可得n?2）（?(cz?d)Q?4yiyi1?i Q值最小。，bc，d的值即为方程的系数，即满足下列方程时当Q取最小值时a，QQ?QQ?yyxx00,?0,?0,? d?b?c?a 有nnnn?yzz?xdn?bn?ac?iiii?1i?i?1i1i?1）（5,?nnnnnn?22z?yz?bzaz?xzdz?c iiiiiiii?1i?1i?1i?i1?i1i1 令 文案大全实用文档 zzz?n21（6?）F?111

23、? ）可写成方程组（6 FFA?FM,FFB?FN 其中：?yy;M?cxd;Nx;B?A?abnn11 根据n组数据点解方程组就可以得到a，b，c，d的值，也就可以得到拟合线方程。 然后我们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断，古塔是否已经发生倾斜，弯曲或扭曲。 （1）通过前的算法模型，我们建立出1986年中心位置拟合线方程为： j?566.6480?0.0100zX0?j(7)522.6843?0.0052z?Y?0? jz?Z?0 dcba 注：，参数的计算代码见附件。6 文案大全实用文档 1986年测量点与中心拟合线和中心点图1986年测量点与中心点俯视图53060 50525

24、4030yz52020105150560565570575575510520560565570530xxy1986年中心拟合线图图点心量点与中1986年测 zzxx 图1 1986年古塔数据综合分析 分析1986年古塔变形情况： 通过观察图1的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。 我们通过分析表1中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。 我们再分析图1中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古

25、塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。 注：图1生成的代码见附件7。 结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。 （2）通过前的算法模型，我们可以建立起1996年中心位置拟合线方程为： 文案大全实用文档 j?566.6481z?X?0.01010?j(8)z?522.6839?Y?0.0052?0? jz?Z?0 。c，d参数的计算代码见附件6注： a，b，1996年测量点与心点图中心点俯视图中点1996年测量与中心拟合线和53060 505254030yz52020105150575565570530520560510

26、xxy1996心1996年中拟合线年测量点与中心图点图 60604040zz202000523530580567.5522.5520567570522510566.5560yyxx 2 1996年古塔数据综合分析图 1996年古塔变形情况： 分析个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或4通过观察图2的第 附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。坐标有坐标有逐层增加的趋势，xy 我们通过分析表2中心点的位置坐标，中心点轴个子图，可知中心拟合线不与z减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1 轴数值增加方向倾斜。平行，有向x个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的

27、测量中的第32 我们再分析图 点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。 。72 注：图生成的代码见附件 文案大全实用文档 结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。 （3）通过前的算法模型，我们可以建立起2009年中心位置拟合线方程为： j?z566.6555X?0.01170?jY?0.0090z?522.7558(9)?0?j zZ?0 6。参数的计算代码见附件b，c，d 注：a，2009年测量点与中中和心点图心点俯视图点2009年测量与中心拟合线52860 zy5160575565570560580570520560515530525xxy图合线拟2009年中心2009年测量