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1、刚体力学习题库第四章 刚体力学一、计算题1.如下图， 一个质量为 m的物体与绕在定滑轮上的绳索相联， 绳索质量可以忽视，它与定滑轮之间无滑动假定定滑轮质量为M、半径为 R，其转动R惯量为 1MR 2 ，滑轮轴圆滑试求该物体由静止开始着落的过程中，着落M2速度与时间的关系m解：依据牛顿运动定律和转动定律列方程对物体：mamg TTR = J2 分对滑轮：2分运动学关系：a R1分将、式联立得amg/ (m 1 M)1分T2R v0 0，Mv at mgt / (m 1M)2T分22.如下图，转轮 A、 B可分别独立地绕圆滑的固定轴O转动，它们的质量分别为 m 10 kg 和 m 20 kg ，半

2、径分别为 r和 r现使劲 f和 f分别向ABABAB下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边沿处的切向加速度同样， 相应的拉力fA、B 之比应为多少？ ( 此中、轮绕O轴转动时的fA BamgB r BAr A转动惯量分别为 J A1 mA r A2 和 J B1 mB r B2 )22解：依据转动定律f Ar A = J A A此中 J A1 mAr A2 ，且f Br B = J B B211fB fA分分此中 J B1 mB r B2要使 A、 B 轮边上的切向加快度同样，应有2a = r A A = r B B1分由、式，有f AJ A rB Am Ar A Af BJ B

3、 rA BmB r B B由式有A /B =r B /r A将上式代入式，得fA/ fB= m /m =12分AB23.一质量为 m的物体悬于一条轻绳的一端， 绳另一端绕在一轮轴的轴上， 如图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在圆滑的固定轴承之r上当物体从静止开释后，在时间t内降落了一段距离S试求整个轮轴的转O动惯量 ( 用 、t和S表示 ) m r解：设绳索对物体( 或绳索对轮轴 ) 的拉力为 T，则依据牛顿运动定律和转动定律得：mmg- T ma2分T r J2分由运动学关系有：2a = r2分由、式解得：J ()r/amg a又依据已知条件v00 S 1at2aS22分将

4、，t22 /T式代入式得： J mr2( gt2r 1)2分a2ST mg4.质量为 5 kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为 10 kg 的圆柱体桶从井口由静止开释，求桶着落过程中绳中的张力辘轳绕轴转动时的转动惯量为 1 MR 2 ，此中 M和 R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽视不2计解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程mg T ma1分TR J1分aR1分由此可得T m( g a) m g TR / JmR2mgT那么T 1MRJ12Tmg将 J =MR代入上式，得2mMgT分 N2M2m5.一长为 1 m 的平均直棒可绕过其一端且与棒垂直的

5、水平圆滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成 60，而后无初转速地将棒开释已知棒对轴的转动惯量为 1 ml 2 ，其3中 m和 l 分别为棒的质量和长度求：(1)松手时棒的角加快度；(2)棒转到水平地点时的角加快度lmg解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60角并开始着落时，依据转O60动定律M = J1分此中M1 mgl sin 30mgl / 41分2于是M3g7.35 rad/s21分J4l当棒转动到水平地点时，M= 1 mgl1分2那么M3g14.7 rad/s21分J2l6. 一轴承圆滑的定滑轮，质量为 M 2.00 kg ，半径为 R 0.100 m ，一根0不可以伸长的轻绳， 一

6、端固定在定滑轮上， 另一端系有一质量为 m 5.00 kg的物体，如下图已知定滑轮的转动惯量为J 1 MR 2 ，其初角速度R0 rad/s2M，方向垂直纸面向里求：(1)定滑轮的角加快度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到 0 时，物体上涨的高度；(3)当物体回到本来地点时，定滑轮的角速度的大小和方向m解： (1) mg T ma1分TR J2分a R1分= mgR/ (2mgR2mgmRJ)12mM RmR22MR rad/s 221分方向垂直纸面向外1分(2)2220T2当 0时，00.612 rada2Tmg物体上涨的高度 h = R= 10-2m2分(3)2rad/s方向垂直纸面

7、向外 .2分7.一质量为 M 15 kg 、半径为 R 0.30 m 的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动( 转动惯量12)mJMR现以一不可以伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量28.0 kg 的物体不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：(1)物体自静止着落， 5 s 内降落的距离；(2)绳中的张力解：J1MR22F2 0.675 kg mmg T ma1T分RJ2分aTRa R1分Tmg22 5.06 m / s21分amgR / ( mR + J)Mg所以 (1)着落距离h 1 at 263.3 m22 分(2)张力T ( ) N1分m ga8.一半径为 25 cm 的圆柱体，可绕与

8、此中心轴线重合的圆滑固定轴转动圆柱体上绕上绳子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2 的加快度运动绳与圆柱表面无相对滑动试计算在 t = 5 s 时(1)圆柱体的角加快度，(2)圆柱体的角速度，2(3)假如圆柱体对转轴的转动惯量为, 应加的2 kg m，那么要保持上述角加快度不变拉力为多少？解： (1)圆柱体的角加快度2 a /r 4 rad / s2分(2)依据 t0t ，本题中0= 0 ，则有t =t那么圆柱体的角速度t 5t t 520 rad/s1分(3)依据转动定律fr = J则f = J/ r = 32 N2分9. 一轴承圆滑的定滑轮，质量为M 2.00 kg ，半

9、径为 R 0.100 m ，一根0不可以伸长的轻绳， 一端固定在定滑轮上， 另一端系有一质量为m 5.00 kgR的物体，如下图已知定滑轮的转动惯量为J 1 MR 2 ，其初角速度0M rad/s2，方向垂直纸面向里求：(1)定滑轮的角加快度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到 0 时，物体上涨的高度；(3)当物体回到本来地点时，定滑轮的角速度的大小和方向m解： (1)mg Tma1分TR J2分a R1分= mgR/ (2mgR2mgmRJ)12mM RmR22MR2方向垂直纸面向外(2)2202 rad/s 21分1分2T当 0 时，00.612 rad2a物体上涨的高度 h = R=

10、 10-2m2分Tmg(3)2rad/s方向垂直纸面向外 .2分10.一质量为 M15 kg、半径为 R 0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动( 转动惯量 J 1 MR 2 ) 现以一不可以伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量 m28.0 kg 的物体不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：(1)物体自静止着落， 5 s 内降落的距离；(2)绳中的张力解：J122FMR 0.675 kg m2mg T ma1T分RJ2分aTRa R1分Tmg22 5.06 m / s21分amgR / (mR + J)Mg所以 (1) 着落距离h 1at 2 63.3 m2分2(2)张力T m(

11、 ga) N1分11.一半径为 25 cm 的圆柱体，可绕与此中心轴线重合的圆滑固定轴转动圆柱体上绕上绳子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以 1 m/s 2 的加快度运动绳与圆柱表面无相对滑动试计算在 t = 5 s 时(1)圆柱体的角加快度，(2)圆柱体的角速度，(3)假如圆柱体对转轴的转动惯量为2, 应加的2 kg m，那么要保持上述角加快度不变拉力为多少？解： (1)圆柱体的角加快度 a /22分r 4 rad / s(2)依据t0t ，本题中0 = 0 ，则有t =t那么圆柱体的角速度t 5t t 520 rad/s1分(3)依据转动定律fr= J则f = J /r = 32 N

12、2分12. 长为 L 的梯子斜靠在圆滑的墙上高为h 的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为，若梯子的重量忽视， 试问人爬到离地面多高的地方，hL梯子就会滑倒下来？解：当人爬到离地面x 高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于均衡状态( 不稳固的 )1分N1 f 0， N2 P 01分N11ctg 01分PxNhfN2 hPN2x1 分RR fR解得xh tgh2 / L2h21 分13. 一转动惯量为 J 的圆环绕一固定轴转动，开初角速度为设它所受阻力矩与转动角速0度成正比，即M k(k 为正的常数 ) ，求圆盘的角速度从0 变成 10 时所需的时间2解 ： 根 据 转 动 定 律

13、 ：-kJd / dt =dk d t2分J两边积分：0 / 21 t kd d t00J得ln2 =kt /Jt ( J ln2) /k3分14. 一圆柱体截面半径为r，重为，搁置如下图它与墙面和地FP面之间的静摩擦系数均为1 若对圆柱体施以向下的力 2P可使 R3FdrA它恰好要反时针转动，求ROP(1) 作用于 A 点的正压力和摩擦力，RB(2)力 F 与 P 之间的垂直距离 d解：设正压力AB，摩擦力fA，B 如图依据力的均衡，有N、 NfFf A NB = F+P = 3 P1分fAN=fB1 分drA依据力矩均衡，有APRFd = ( f A+ f B ) r2分NANB1R刚要转动有f AN AR3fBB1 N Bf B1 分3N = ， f=2 分(1) 把及 、代入可求得AA(2)由可求得d =r1分15.一轻绳越过两个质量均为 m、半径均为 r 的平均圆盘状定滑轮， 绳的两头分别挂着质量为 m 和 2m的重物，如下图绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴圆滑两个定滑轮的转动惯量均为1 mr 2 将由两个2m,rm,r定滑轮以及质量为m和 2m的重物构成的系统从静止开释，求两滑轮之间绳内的张力m解：受力剖析如下图2分2m2 1 21分mg T ma1T mg ma分