小学奥数计数专题枚举法.docx

1、小学奥数计数专题枚举法2017年小学奥数计数专题枚举法学校:_姓名：_班级：_考号：_注意事项1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、解答题（题型注释）1、如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9问有多少种不同的取法?2、从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法?3、现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法?4、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？5、有3个工厂共订300份吉

2、林日报，每个工厂最少订99份，最多101份问：共有多少种不同的订？6、在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个?7、有25本书，分成6份如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法?8、小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本那么，共有多少种不同的购买方法?9、甲、乙、丙、丁4名同学排成一行从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?10、abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2

3、，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134请写出所有满足关系ae，cd的四位数abcd来11、一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字问一共有多少个这样的数?12、3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3各穿一件现有25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿l号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球那么，甲穿的运动衣的号码是多少?13、甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢；如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢

4、，打到决出输赢为止那么一共有多少种可能的情况?14、用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板上，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种15、用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种16、新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。可以有多少种付钱方法？17、 把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4

5、有多少种不同的拆分方法？18、用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？19、课外小组组织30人做游戏，按130号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？20、用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？21、如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动到邻近一格，且总是向右移动，例如1245就是一条路线。问有多少种不同的移动路线？22、邮局门前共有5级台阶，规

6、定一步只能登上一级或两级，那么上这个台阶一共有多少种不同的上法？用数组表示不同的上法。23、商店出售饼干，现存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱一公斤重的。顾客要买九公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货员有多少种发货办法？24、小云带了1张5元、4张2元的纸币和8枚1元的硬币，现在他要买一本8元的小说，问他有多少种付钱方式？25、把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多少种不同的方法？26、用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少？27、一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒

7、中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少种不同的钱数？28、三个数的和是7，如果不计次序，有几种可能？29、从150这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？30、今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？31、现在有足够数量的1角、5角及1元的硬币若干，如果想用这些硬币组成价值为20元的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？32、一本数学辅导书的序言共有3页，目录共有2页，随后的正文若干页。这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字

8、码。那么这本书一共有多少页？参考答案1、32、93、54、85、76、107、58、49、910、1324,1432,2314,2413,341211、812、213、1414、15、1216、417、418、719、1620、6个；123、132、213、231、312、32121、522、823、724、725、226、102,21027、928、429、62530、11931、44132、491【解析】1、有1+2+69，1+3+59，2+3+49，共3种，所以共有3种取法符合题意2、在选取时，我们使被加数小于加数，有被加数选1时不满足，选2时不满足，有3+811，4+711，4+812

9、，5+611，5+712，5+813，6+713，6+814，7+815，所以共有9种取法，使得这两个数的和大于103、2角3分为23分，当含有5分的硬币4枚时，剩下的23543分，可以是1+1+1，或1+2这2种组合支付方法；当含有5分的硬币3枚时，剩下的23538分，可以是2+2+2+2，或2+2+2+1+1，或2+2+1+1+1+1这3种组合支付方法；当含有5分的硬币2枚时，剩下的235213分，而1、2分最多能组成(1+2)412分，不满足；那么只含有1枚5分硬币，和不含有5分硬币时，显然更不满足于是共有2+35种支付方式4、如果3天吃完，则2+2+32+3+23+2+2，有3种吃法；

10、2天吃完，则2+55+23+44+3，有4种吃法；1天吃完，则那一天吃了7个；所以共有3+4+18种不同的吃法5、30099+100+10199+101+100100+99+101100+101+99101+99+100101+100+99100+100+100所以共有7种不同的订法6、四位数最大为9999，数字和为9+9+9+936，所以数字和为34的四位数只能由如下方式组合得到：(9，9，9，7)，(9，9，8，8)对应有9997，9979，9799，7999，9988，8899，9889，8998，9898，8989，共10种7、6份不同，每份至少一本，则最少为1+2+3+4+5+621

11、本书，25214，于是把4本数安排进入即可有1+2+3+4+5+101+2+3+4+6+91+2+3+4+7+81+2+3+5+6+91+3+4+5+6+725，共有5种不同的分法8、每种书最少买一本，则花去3+5+7+1126元，买了4册，所以剩下的702644元，任意买6册即可显然11元的最多再买3本，花去11333元，剩下11元买3册，3+3+511，即有1种买法；11元的再买2本，花去11222元，剩下22元买4册，5+5+5+73+5+7+7，就有2种买法；11元的再买1本，花去11元，剩下33元买5册，5+7+7+7+7，即有1种买法；如果11元的1本都不再买，那么44元买6册，最

12、贵的为7元，7642，无法花去44元，所以不满足于是，共有1+2+14种不同的购买方法3元3，5元2，7元1，11元4；3元2，5元2，7元3，11元3；3元1，5元4，7元2，11元3；3元1，5元2，7元5，11元29、用1，2，3，4分别代表甲，乙，丙，丁，有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共9种情况满足10、有1324，1432，2314，2413，3412满足11、设三位数为，由分析知是5的倍数，c为0或5当c0时，ba+c，abc比500小，则a1、2、3、4，对应b1、2、3、4共4种情形若c5时，a1、2、3、4，对应b

13、6、7、8、9也是4种情形，因此一共是8种情形12、当甲穿的运动衣的号码是1，乙为2，丙为3时，则甲再取1个，乙再取6个，丙再取12个，此时共取走1+2+3+1+6+1225个，此时还剩下25250个，不满足；当甲穿的运动衣的号码是1，乙为3，丙为2时，则甲再取1个，乙再取9个，丙再取8个，此时共取走1+3+2+1+9+824个，此时还剩下25241个，不满足；当甲穿的运用衣的号码是2，乙为1，丙为3时，则甲再取2个，乙再取3个，丙再取12个，此时共取走1+2+3+2+3+1223个，此时还剩下25232个，显然满足不难验证其他情况不成立所以甲穿的是2号运动衣13、我们记甲赢为1，甲输为0，两

14、局决定输赢的情况有1+1，0+0，共2种；三局决定输赢的情况不存在(为什么？)；四局决定输赢的情况有1+0+1+1，1+0+0+0，0+1+1+1，0+1+0+0，共4种；五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1，1+0+1+0+1，1+0+0+1+0，1+0+1+0+0，0+1+1+0+0，0+1+0+1+0，0+1+1+0+1，0+1+0+1+1，共8种；所以共有2+4+814种可能14、如下图，有12种符合题意的拼贴方式15、下图为一个正八边形，它的八个顶点别记为1、2、3、4、5、6、7、8我们从顶点1考虑，三条不同长度对角线从小到大记为、从顶点1出发必然连了许多对角线，考虑整个剖分三角

15、形，若必然有顶点连了、两种对角线，不可能只连对角线，否则根本剖分不成三角形，考虑到相互旋转而得到被认为是同一种剖分，因此考虑顶点1连了或对角线若顶点1连了对角线15，这样15对角线也是整个正八边形对称轴，再把左右两边的梯形剖分成三角形即可，这样从顶点1考虑分别有3种不同的图形剖分，如下图所示3种结构记为a、b、c上边是右边的剖分，左边剖分分别是上面3处图形式对称图形，记为、，因此满足条件的正八边形剖分有下面9种：aa，a、bb，b、c、ab，a、ac、bc这里，b与，a、，c与，a、b，c与，b可相互反射得到 ，因此有6中不同情形若顶点1连了对角线，而无对角线，可以有对角线，如图a，先连上16

16、对角线，这样剖分六边形123456时，不会出现对角线，否则旋转一下同顶点1引对角线是同一种情形，这样必然使得顶点1或顶点6有另外一条对角线，若14为对角线，如图e这样四边形1678与四边形1234关于轴15对称，中间四边形1456部分只能是连46右上部四边形1234剖分有2种分别主为d、e，它们的对称图形对应于四边形1678的两种剖分、，这样正八边形的剖分为d、e、e共3种若63为对角线，这样的图形与图是同一个图形，它不过是把顶点6旋转到顶点1即可所以，共有9+312种不同的方法16、（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张

17、2角，1张1角；（3）1张20元，4张2元，8张1角；（4）3张10元，收30元找回1元2角；17、分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。18、共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情况。取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种）19、根据题目的特点，先用排列法

18、把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。排好队的人依次是1，2，3，4，5，28，29，30次数出队号码第一次1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29第二次2，6，10，14，18，22，16，30第三次4，12，20，28第四次8，24第五次16从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。20、根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类第一类：百位上数字为1，有123、132第二类；百位上数字为2，有213、231第三类：百位上数字为3，有312、321可以组成123、132、213、231、312、32

19、1共6个不同数字21、从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5，即54或53；要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近的4，即：43或42；用树形图填写如下数一数，图中1的个数就是移动的路线数。故共有5条不同的路线。22、（1）（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有一种上法；（2）（2，1，1，1）（1，2，1，1），（1，1，2，1，），（1，1，1，2），表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法；（3）（2，2，1），（1，2，2），（2，1，2），表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种。因此，上台阶一共有1+4+3=

20、8种不同上法。23、9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1+1一共有7种。24、8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1一共7种。25、可以放（2，1）或者（3，0）个，由于两个抽屉一样，（2，1）和（1，2）一样，所以只有2种。26、列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4个，其中最大的是210，最小的是102。27、列出所有的

21、情况，和可以是 1分+1分=2分；1分+5分=6分；5分+5分=1角；1分+1角=1角1分；5分+1角=1角5分；1角+1角=2角；1分+5角=5角1分；5分+5角=5角5分；1角+5角=6角。一共9种。28、不计次序的话，将7拆分开，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。29、取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。解：若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，49，共49种取法；若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，48，共47种取法；若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，47，共45种取法；若两数中较大的是26，则另一个只

22、能取25，共1种取法。因此共有1+3+5+47+49=625种取法。说明 在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。30、本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14.8元。其间1角的整数倍共有148种款额。另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、14.4元，这些数额也无法付出。上述这些付不出的数额共29种，应剔除。所以能付出的数额应是148-29=119（种）。说

23、明 本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做题时的常见的策略。31、若全用1元的，共需20个1元硬币，这时只有1种组合方法；若用19个1元硬币，则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币，或10个1角的硬币，这时共有3种组合方法；若用18个1元硬币，则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币，或2个5角的硬币与10个1角的硬币，或1个5角的硬币与15个1角的硬币，或20个1角的硬币，这时共有5种组合方法；依次类推，若用17个1元硬币，则有7种组合方法；若用1个1元的硬币，则有39种组合方法；若不用1元硬币，则有41种组合方法。于是，共有1+3+5+39+41=441种不同的组合方法。32、我们知道，一页的编码是一位数时，编码时只用一个字码；当一页的编码是两位数时，每页用两个字码；当一页的编码是三位数时，每页则用三个字码。因此，设这本书正文有x页，可得方程：3+2+91+902+（x-99）31355，解得x=486。即正文有486页，所以这本书一共有491页。