整理高等数学同济第七版7版下册习题全解.docx

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3、 3d（j = 2jj（ x2 + y1) 3dcr。fh i)i又由于d3关于；t轴对称，被积函数（/ +r2）3关于y是偶函数，故 jj( x2 + j2 ） 3dcr = 2j（ x2 + y2 ) 3 da = 2/2.Dy 1）：从而得/, = 4/2。(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, y） = -f(x,y) ，PJjf/(x，y）da = 0；D如果积分区域D关于：k轴对称，而被积函数/(x，y）关于：c是奇函数，即/（ x，y) = -/（太，y），则= 0.D3。利用二重积分定义

4、证明：(1 ) jj da = （其中（7为的面积）；IJ(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y（ a：，y） do（其中 A:为常数）;o n（3 ） JJ/( x，y)clcr = JJ/（ x,y)drr + jJ/（ x ，y） dcr ,其中 /） = /）！ U /）2,，A 为两个I） b lh尤公共内点的WK域.证(丨）由于被枳函数。/U，y） = 1 ,故山二t积分定义得n jjltr = Hm y/( ，rji） Ar, = lim Ac，=lim cr = a.A-0n(2)Ji/（ x，j） （Ic7 = lim i） 1n=A lim y/(（ ，i7

5、, ）A(7, = k fx,y)Aa。A 台 ！(3)因为函数/U，y）在闭区域/)上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总 是不变的。因此在分割D时，可以使和/）2的公共边界永远是一条分割线。这样fix.y） 在A UD2上的积分和就等于上的积分和加D2上的积分和，记为/(, ,17,) Act， = /( ， ， 17，) Act, + /(， ,17,） Act，。/)（U0, , l）:令所有的直径的最大值A-0，上式两端同时取极限，即得 J f(x，y）ia = jjf（x，y）da + JJ/(xfy) da.p，un V, n;Sa4。试确定积分区域/),使二重积分(1 -2x

6、2 y2）dly达到最大值。I）解由二重积分的性质可知，当积分区域/包含了所有使被积函数1 -2。v2 - V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当是椭圆2/ + y2 = l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.& 5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小：(1)Ju+y）2山7与JU，其中积分区域D是由x轴、轴与直线A +。、=D I）1所围成;(2)J（x +7)2如与，其中积分区域0是由圆周(。r2)2 +（。v-l)2 =t） n2所围成；( 3 ) Im A； + y） （lor与!” In( X + y) 2(1（7，其中Z是三角形闭K域

7、，三顶点分别为l） ”（1，0），（1，1)，（2,0）；(4)Jpn(：r + y） dcr 与In（：t + y） 2fW，其中 /) = | （.r ，。v) | 3 ，0彡、彡 1 。i） i)解(1)在积分K域0上，故有(x + j） 3 (x + y） 2。根据二重积分的性质4,可得J(.r + y) lrx J (. + v）0 D(2)由于积分区域0位于半平面| (a：，V） .V + 、彡1 1内，故在/)|： (。f + y） 2彡（a + y) 3 从( J( v + )：drr jj ( x + y） lfr。(3)由于积分区域D位于条形区域1 U，y） | 1彡1+7

8、彡2丨内，故知区域/)上的 点满足0彡InU+y）彡1,从而有lnU+y）2彡lnU+.y).因此jj ln( a： + y） 2(Jo- + y)d(4)由于积分区域/）位于半平面丨(x，y） | .v+y彡e|内，故在Z)上有ln（x+y)彡 1，从而：In (v + )） 2彡 In （:c + ）)。因此Jj 1 n（。r + y） 2dcr Jln（ x + y) da。i) a3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1） / = 7（文+7）心，其中/)= (x ,y) 1,0 1|；n( 2 ) / = jsinsindo，其中 /) = j （ a： ，y） 0 tt ,

9、0 y tt 1 ；i)(3)/ = J*（A：+y + l)d(7,其中 /= x，y） |0xl,0j2；it(4)/ = J（x2 + 4y2 +9）do,其中 D = x，y) x2 + y2 4 |.I)解 (1)在积分区域D上，0矣；：矣1 ,0英y矣1 ,从而0矣巧（*+y)矣2又的面 积等于1，因此( 2 ）在积分区域/)上，0矣sin j:矣1 ,0 sin 1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的 面积等于tt2，W此(3)在积分K域”上有x+y + 4，/）的而积等于2，因此(4)W为在积分K域/上有0矣;t2 +y2苳4,所以有9 + 4r2 +9 4（ x2 +

10、 y2） + 9矣25。34 I）的酣枳等于4tt，W此36 tt (x2 +4/ + 9) （Ur lOO-ir.二重积分的计算法。1.计算下列二甩积分：(2） l是顶点分别为( 0 .0 j (文3 + 3.r2 v +、)ch.+ x y + v jcdi(4） l)可用不等式表示为0 V A： , 0 .t 7T。于是|a:cos(jc + y) da = I cos（.v + v ） d i sin (。t + y） q（） = J v( sin 2.v - sin .v ) 1 x x(（ cos .v 丄(.，s 2。v)卜（1X（TT rTXcos .v rusTT。& 2.

11、_出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:(1)Jdo，其中/)是由两条抛物线7 = v,y = 2所围成的闭区域;D(2)jfxy2dcr，其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域；I）( 3 ） JV + dcr，其中 /) = I (%，)| A； | + | J | 1 ！；D(4） ”U2 +/ -x)1 = (x,y)x- yJc + 1,1 a;0，I)2 = (x ，y) *1 +因此Ea3。如果二重积分|/（ 。r，y）心办的被积函数/( x,v)是两个函数/ ( O及)的乘n积,即/（X,y) = f(x） 。/“y），积分区域/) = (。V, y)

12、I (1 V /, r ,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|/U) -/2(r） flatly = J/， （。v)（l.v - /:（ )v-证 Jj./1 ( x ） 。，2 ( / ) dvd V J f J （ v） 。/： t lx*在上式右端的第一次单枳分f/， （.V） /2 （.V） d v中,./, （ A。） 1J fu t变招：、无关，nn见为 常数提到积分5外，W此上式“端笏T而在这个积分中，由于f/2 (y） d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到 f2是：(1)由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域；(2)由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围

13、成的闭区域；(3)由直线y =x，；c = 2及双曲线：k = （0）所围成的闭区域；X(4)环形闭区域 IU,y) 1 +y24（。解（1)直线y=x及抛物线y2 =4；c的交点为（0，0)和(4，4）（图10-6)。于是fix/ = j dy/（*，y）tk.f(x,y）dy,(2)将/)用不等式表示fyOyr2 -x2， r W /，于是可将/化为如下的先 对y、后对的二次积分：r/ = J (1文J f（x ,y)（y；如将0叫不等式表示为Vr2 -y2xVr2 y2 ，0各/，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：drx，y） dx。(3）如图 10-7.：条边界曲线两两相交

14、，先求得3个交点为（1 ，1 ），2，y和(2，2）.于是dy (i_/(，y) + tlj /( x ，y) dx。 dxjf（x，y）dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时,需注意根据积分区域的边界曲线 的情况,选取恰当的积分次序。本题中的积分区域/）的上、下边界曲线均分别由个 方程给出,而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出,在这种情况下采取先 对y、后对的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分。需要指出，选择积分次序时,还需考虑被积函数/U , y）的特点。具体例子n见教 材下册第144页上的例2。dx /4Jx yy)dy

15、+ d.vl(1/T/（A：，y）clr + d。vl y a x2/（.r,v）d f /(.v Vv） dv。/（。v,v）d.v f。/4 、/( , ） d.v f厂、/4 -、I-v W/（ v ， y） (l.。（4)将D按图10 8（ a)和图10 - 8（ 1）的两种不同方式則分为4块，分別得图 10 -8,5.设/U，y）在D上连续,其中/）是由直线;= = 所围成的闭区域,证明x ，r) d。t。dx| f(x，y）Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U, y） d o,因而它们相等。I)6。改换下列二次积分的积分次序：(5) （lx fx，y)Ay广2 f yix

16、x2（4) 叫2 fx，y）dy,fix /-sin x（6) I Ax J（x，y）Ay。JO J siny（2) J) dj： f（x，y）dx;解（丨）所给二次积分等于二重积分J/U，；k）（,其中o =丨h，y) 1 r”0 j I (。 / n|改写为 Uj） | * 矣 y 矣 1，0 I | (罔 10 9）,于是原式=丄 ixj/(x,y）dy。(2)所给一。次枳分等于二Ti积分 |/U,y)山,.K:中 /） = I |。y2 I0)，W此原式=J, ixjy/（x，y)iy。(3)所给二次积分等于二重积分.其中D = ： (.v。v) | V 1-y2 .V 1$、飞V彡1

17、UX J1 y2 ,0彡 彡 1 ； 又 D 可表示为:(JC，)）丨0彡 y 彡 V 1 。r2 , - 1 = （图10 11)，因此f 1 f V1 X原式=J dxj /(x, v)dy.(4)所给二次积分等于二重积分其中D = ： (.v。v) 2 hs/lx - x1 彡.r 彡2 :。又 D 可表示为：（a:,v) 2 1彡。t彡 1 + Y 1 v2，0 : （图 10 -12），故原式=丄 d）j f(x y）dx.(5)所给二次积分等于二重积分/（.10 )(1，）1:中/）= 1(.v.v） 0 v I)x彡e 又/)可表示为 ( a：，） | e、彡a彡e，0彡、彡1

18、i ( |劄10 - 1,故原式=L (I。、| ,./X .、，。、） (l.v。(6)m 1()-14,将积分 /(x,y）dx.y广 1 rir - arcsin 原式=I dy f(xyy)cxJO Jarcsin )tt arcsin y，0彡 y 彡 1 | 1 ，D2 = | （.r， y)一 2arcsin , 一1 彡)彡0。于是7.设平面薄片所占的闭区域D由直线；t = 2,y = 和;r轴所围成,它的面密度/x(。t,v） = x2 +y2，求该薄片的质量。解 D如图10-15所示.所求薄片的质rtx + xydrM = jJ/Lt( x 9y） dcr = dyj (

19、x2 + y2 ) dxAyr+(2”）3+2，d 2x12| 冬| 10 - 15c) i x e oY = sin A 的反闲数足A = iirrsM y -1 x足ih y hin x = sin （ tt x) ”n!J tt x arcKin y,从ifii得反闲数 （子中,TTtt iinHin y。8。 i 灯l四个平而a： = 0,y = 0，；t = I，v = I所闲成的柱休被平面z = 0及2.r + 3y + z 6藏得的立休的体积.解 江力一 EJ .它？芪是；c0:。 S二苎泛7:省。= X。；, 0矣二矣0；. 1 。了是芒 2x-3：。 F 10 6 。 g -

20、护不二歹l = |( 6 2j： - 3；。 dxdv = dx 6 lx 5 . d.Sa9.求由平面a: =0,y = 0, +：， = 所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c：，:。： =6 ： . 得的/。体的体积.解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D= 。 0 1 ：，。，顶是曲面 Z=f）-x2 +y2 ）( 10 17 ，故体积V (I 6 - x2 + y2 ） dx（y6 （ 1 - x ) - x2 + -f 1广1 广1 戈dx （ 6 x1_6*1017m 10 - 18H.r这10.求由曲面+ 2/及z=6-2x2 _y2所围成的立体的体积。_ 22解

21、由= T + 消去z，得；c2 +y2 = 2，故所求立体在面上的投影 U = 6 - 2x2 - j2区域为D = | （x，y） | x2 + 矣2 （图 10 18). 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:V = ( 6 2x2 y2 ) dcr x2 + 2y2 ） dcrl) I)=JJ(6 3r2 3y2 ） da = jj( 6 - 3p2 ）pdpd0/2ttd0 （6 3p2 )pdp = 6tt.注求类似于第8,9，10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过

22、的空间解析几何的有关知识y 11.両出积分区域,把积分J/（A：，y)d；cdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区U域D是：(1 ） （xyy） X2 + y2 a2 I (a 0)；(2)| xyy） x2 + y2 2 ；(3) （x,y) | a2彡 x2 + y1 彡62 |,其中0 a 6;(4)j (xyy) | 0 j 1 - x,0 x 1 | 。解(1)如图1019，在极坐标系中，0= |（p，0） | 0彡p彡a，0彡(9彡2tt1，故jx，y）AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0/-2tT rl(11 /(pcos 0，psin 0）pAp.(

23、2）如图10-20，在极坐标系中,l) = (p，0）jjy(x,y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdOi） i）-y y。2coH 0=J , dj) /(pros 0,psin 6）p/3（2) （.v f /（/r + v2）分成1,102两部分:（p,0)(p,e)于是lX ,sec 6 rY rcsc 8原式=d0_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L dl /(pcos 0，psin d）pdp。(2) D如图10-24所示。在极坐标系中,直线x=2,射线和;r =x(x0) 的方程分别是p = 2sec 6，6= 和0 =因此|(pyO）0p

24、2sece，f6f。又 f(Vx2 + y2 ） =f(p）,于是fY y.2sec 0原式=d0j) /(p）pdp(3 ） D如图1() - 25所示。在极坐标系中，直线；K = 1 _ x的方程为P = 1 ，圆；k = /l x2的方程为p = 1 ,因此sin 0 + cos 6（p，e)原式sin 0 + cos 6于是/（pcos 6 ，psin 0)pdp。(4)/)如图10 -26所示.在极坐标系中，直线 = 1的方程是/ = sec心抛物线 y=/的方程是psin 0=p2c：os2（9，即p = tan伽e（. 0;从原点到两者的交点的射线是沒=rT rser 0D = (.r2 + y2 ） cIa解(1）积分区域D如图10-27所示。在极坐标系中,0= ip,6）0p2aros 0，0 L于是r 2 /2flOS f) / j *4原式=i dei p2 pdp = i4aA c（、s4 0(W = 4aAITi0注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin4如和j/ ,os，）. M此 i己住如下的结果是有益的