1、第五单元 数学广角鸽巢问题电子教案设计王雪莲第五单元 数学广角鸽巢问题单元要点分析一、单元教材分析:本教材专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就是可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是19世纪
2、的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。二、单元三维目标导向:1、知识与技能:(1)引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“鸽巢原理”的过程,初步了解“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。3、
3、情感态度与价值观:(1)体会数学与生活的紧密联系,体验学数学、用数学的乐趣。(2)理解知识的产生过程,受到历史唯物注意的教育。(3)感受数学在实际生活中的作用,培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。三、单元教学重难点重点:应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点:理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。四、单元学情分析“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让
4、学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。五、教法和学法1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时,能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来,能否找到
5、该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“鸽巢”,是解决问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。因此,用“鸽巢原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作
6、为“鸽巢”,要用几个“鸽巢”。因此,教学时,不必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。六、单元课时划分:本单元计划课时数:6课时 鸽巢问题1课时 “鸽巢问题”的具体应用1课时 练习课1课时 单元测评 2课时试卷讲评 1课时第五单元 数学广角鸽巢问题第一课时 课 题:鸽巢问题教学内容:教材第68-70页例1、例2,及“做一做”的第1题,及第71页练习十三的1-2题。教学目标:1、知识与技能:了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的
7、学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。教学重难点:重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教学准备:课件。教学过程:一情境导入二、探究新知1.教学例1.(课件出示例题1情境图)思考问题:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢?“总有”和“至少”是什么意思?学生通过操作发现规律理解关键词的含义探究证明认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。(1)操作发现规律:通过吧4支铅笔
8、放进3个笔筒中,可以发现:不管怎么放,总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。(2)理解关键词的含义:“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。(3)探究证明。方法一:用“枚举法”证明。方法二:用“分解法”证明。把4分解成3个数。由图可知,把4分解成3个数,与枚举法相似,也有4中情况,每一种情况分得的3个数中,至少有1个数是不小于2的数。方法三:用“假设法”证明。通过以上几种方法证明都可以发现:把4只铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。(4)认识“鸽巢问题” 像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。在这里,4支
9、铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;而“至少”指的是最少,即在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 如果放的铅笔数比笔筒的数量多2,那么总有1个笔筒至少放2支铅笔;如果放的铅笔比笔筒的数量多3,那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。(5)归纳总结:鸽巢原
10、理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉里(mn,且n是非零自然数),那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。 2、教学例2(课件出示例题2情境图)思考问题:(一)把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢?(二)如果有8本书会怎样呢?10本书呢?学生通过“探究证明得出结论”的学习过程来解决问题(一)。(1)探究证明。方法一:用数的分解法证明。把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有如下8种情况:由图可知,每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最多那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。方法二:用假设法证明。把7本书平均
11、分成3份,73=2(本).1(本),若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。(2)得出结论。通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。学生通过“假设分析法归纳总结”的学习过程来解决问题(二)。(1)用假设法分析。 83=2(本).2(本),剩下2本,分别放进其中2个抽屉中,使其中2个抽屉都变成3本,因此把8本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。 103=3(本).1(本),把10本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进4本书。(2)归纳总结: 综合上面
12、两种情况,要把a本书放进3个抽屉里,如果a3=b(本).1(本)或a3=b(本).2(本),那么一定有1个抽屉里至少放进(b+1)本书。 鸽巢原理(二):古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉中至少放进了(k+1)个物体。三、巩固练习1、完成教材第70页的“做一做”第1题。学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。2、完成教材第71页练习十三的1-2题。学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。四、课堂总结板书设计: 教学反思:第五单元 数学广角鸽巢问题第二课时 课 题:“鸽巢问题”的具体应用教学内容:教材第70-71页例3,及“做一做”的第2
13、题,及第71页练习十三的3-4题。教学目标:1、知识与技能:在了解简单的“鸽巢原理”的基础上,使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。教学重难点:重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点:找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个,在利用“鸽巢原理”进行反向推理。教学准备:课件。教学过程:二情境导入三、探究新知1、教学例3(课件出示例3的情境图). 出示思考的问题:盒
14、子里有同样大小的红球和篮球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,少要摸出几个球?学生通过“猜测验证分析推理”的学习过程解决问题。(1)猜测验证。 猜测1:只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。 就能保证这2个球 验 证 如:这两个球正好是一红一蓝时就不能 同色。 满足条件。 猜测2:摸出5个球, 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”,因为 肯定有2个球是同 验 证 52=2.1,所以摸出5个球时,至少有3 色的。 个球是同色的,因此摸出5个球是没必要的。 猜测1:摸出3个球, 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”,因为 至少有2个球是同 验 证 32=1.1,所以摸出3个球时,至少有3 色的
15、。 2个是同色的。 综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。 (2)分析推理。根据“鸽巢原理(一)”推断:要保证有一个抽屉至少有2个球,分的无图个数失少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”,结论就变成了“要保证摸出2个同色的球,摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此,要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的,至少要摸出3个球。2、趁热打铁:箱子里有足够多的5种不同颜色的球,最少取出多少个球才能保证其中一定有2个颜色一样的球?学生独立思考解决问题,集体交流。3、归纳总结:运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法:(1)分析题意;(2)把实际问题转化成“鸽巢问题”,弄清“鸽巢”和分放的
16、“鸽子”。(3)根据“鸽巢原理”推理并解决问题。 三、巩固练习1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。(学生独立解答,集体交流。)2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。(学生独立解答,集体交流。)3、课外拓展延伸题:一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有2双颜色不同的袜子?(袜子不分左右)四、课堂总结板书设计: 教学反思:第五单元 数学广角鸽巢问题第三课时 课 题:练习课教学内容:教材71页练习十三的5、6题,及相关的练习题。教学目标:1、知识与技能:进一步熟知“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。2、过程与方法:经历
17、探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 教学重难点重点:应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点:理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。教学准备:课件。教学过程: 一、复习导入二、指导练习(一)基础练习题1、填一填: (1)水东小学六年级有30名学生是二月份(按28天计算)出生的,六年级至少有( )名学生的生日是在二月份的同一天。 (2)有3个同学一起练习投篮,如果他们一共投进16个球,
18、那么一定有1个同学至少投进了( )个球。(3)把6只鸡放进5个鸡笼,至少有( )只鸡要放进同1个鸡笼里。(4)某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有( )本书,才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。学生独立思考解答,集体交流纠正。2、解决问题。(1)(易错题)六(1)班有50名同学,至少有多少名同学是同一个月出生的?(2)书籍里混装着3本故事书和5本科技书,要保证一次一定能拿出2本科技书。一次至少要拿出多少本书?(3)把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里,可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支?(二)拓展延伸题1、把27个球最多放在几个盒子里,可以保证至少有1个盒
19、子里有7个球?教师引导学生分析:盒子数看作抽屉数,如果要使其中1个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少要比抽屉数的(7-1)倍多1个,而(27-1)(7-1)=4.2,因此最多放进4个盒子里,可以保证至少有1个盒子里有7个球。教师引导学生规范解答:2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只,一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只?教师引导学生分析:假设先取5只,全是红的,不符合题意,要继续去;假设再取5只,5只有全是黄的,这时再取一只一定是蓝色的,这样取52+1=11(只)可以保证每种颜色至少有1只。教师引导学生规范解答:3、六(2)班的同学参加一次数学考试,满分为100分,全班最低分是75。已知每人得分都是整数,并且班上至少有3人的得分相同。六(2)班至少有多少名同学?教师引导学生分析:因为最高分是100分,最低分是75分,所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26(种)。教师引导学生规范解答:三、巩固练习完成教材第71页练习十三的5、6题。(学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。)四、课堂总结板书设计: 教学反思:
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