1、最新高等数学试题及答案2016中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题ax+a-x1设f(x)=,则函数的图形关于 2sinx-2x02若y=2,则y()=. 2x+10x2x2sin3 极限limx0sinx1= 。x2+ax+b=2,则a=_, b=_。 4.已知lim2x2x-x-25.已知x0时,(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小,则常数a6.设x+z=y(),其中可微,则22123zyz y7.设u=exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,则ux(0,1)=12z8.设z=f(xy)+y(x+y),f,具有二阶连续导数,则=
2、 。 xxy9.函数f(x,y)=xy-xy-xy的可能极值点为和10.设f(x,y)=x2siny+(x2-1)xy|则fy(1,0)=_.211.xsin2xdx= . 220,上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为12.在区间 .13若+0e-kxdx=221,则k=_。 222(x+4y+1)dxdyD14.设:x+y1 ,则由估值不等式得2215.设D由y=x,y=2x,y=1,y=2围成(x0),则f(x,y)d在直角坐标系下的D两种积分次序为_和_.16.设D为0y1-x,0x1,则_.17.设级数Dfdxdy的极坐标形式的二次积分为nn=112+p收敛,则常数p的
3、最大取值范围是 . x2x4x6+-+ )dx=18.x(1- 01!2!3! 119. 方程dx-x2+dy-y2=0的通解为20微分方程4y-20y+25=0的通解为.21.当n=_时,方程y+p(x)y=q(x)yn 为一阶线性微分方程。22. 若44阶矩阵A的行列式为|A|=3,A*是A的伴随矩阵,则|A*|=_.23.设Ann与Bmm均可逆,则C = A0-1C也可逆,且 . 0B24.设A=31,且AX-E=3X,则X = . 232-1225矩阵402的秩为 0-33 26. 向量=(-1,0,3,-5),=(4,-2,0,1),其内积为_.27. n阶方阵A的列向量组线性无关的
4、充要条件是28. 给定向量组1=(111),2=(a0b),3=(132),,若1,2,3线性相关,则a,b满足关系式 .29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示,则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是.30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为.31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的.32. 设A为mn矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)r(A|b 33.已知n元线性方程组且r(A)n,则该方程组的一般解中自由未知量的个AX=b有解,数为 34.设0是方阵A的一个特征值,则齐次线性方程组(
5、0E-A)x=0的 都是A的属于0的特征向量.35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则A-1的特征值为.36.设A是n阶方阵,|A|0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵,若A有特征值0,则*+2E必有特征值=37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值1,2所对应的特征向量,则与 的内积(,)= .38.二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1x4+x2x3的秩为(A)*3420 39. 矩阵A= 24为正定矩阵,则的取值范围是_.0122240. 二次型f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+tx3+2x1x2+2x1x3是正定的,则t的取值范围是_.41. A、B、C代表三事件,事件“
6、A、B、C至少有二个发生”可表示为 .42. 事件A、B相互独立,且知P(A)=0.2,P(B)=0.5则P(A B)= .43. 若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为.44. 在相同条件下,对目标独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为0.6, 那么击中目标k次的概率为 (0k5).45. 设随机变量X服从泊松分布,且PX=1=PX=2,则PX=3= .0x1x1x2,则a= . 46. 设随机变量X的分布密度为f(x)=a-x0其它47. 若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为且X,Y相互独立,则常数a = ,b = .48. 设X的分布密度为f(x),则Y=
7、X的分布密度为. 349. 二维随机变量(X,Y)的联合分布律为则与应满足的条件是 ,当X,Y相互独立时, .50. 设随机变量X与Y相互独立,且XN(1,2),YN(0,1).令Z = -Y + 2X +3,则D(Z)= .251. 已知随机变量X的数学期望E(X)=1,E(X=).令4Y2X3,则D(Y)二、单项选择题1设f(x)=x+1 ,则f(f(x)+1)=( )A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 32 下列函数中,( )不是基本初等函数A y=() B y=lnx2 C y=3. 下列各对函数中,( )中的两个函数相等.A. y=1exsinx D y=x5 cosxxl
8、n(1-x)ln(1-x)2g=与 B. 与g=2lnx y=lnx2xxC. y=-sin2x与g=cosx D. y=4. 设f(x)在x=x0处间断,则有( )(A) f(x)在x=x0处一定没有意义; x(x-1)与y=x(x-1)f(x)limf(x); (B) f(x0-0)f(x+0); (即lim-+xx0xx0(C) limf(x)不存在,或limf(x)=; xx0xx0(D) 若f(x)在x=x0处有定义,则xx0时,f(x)-f(x0)不是无穷小1-+2x,x05函数f(x)= 在x = 0处连续,则k = ( xk,x=0)A-2 B-1 C1 D2ex-a6.若f(
9、x)=,x=0为无穷间断点,x=1为可去间断点,则a=( ). x(x-1)(A)1 (B)0 (C)e (D)e -17函数z=ln(x2+y2-2)+4-x2-y2的定义域为( )22222222x+y2x+y4x+y220,f(x)0,则f(x)在(-,0)内( ).(A) f(x)0,f(x)0; (B) f(x)0;(C) f(x)0,f(x)0,f(x)0,11.设f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,limx0f(x)2sin22=1,则在点x=0处f(x)( ).(A)不可导 (B)可导,且f(0)0 (C)取得极大值 (D)取得极小值12.设函数f(x),g(x)
10、是大于零的可导函数,且f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axf(b)g(x) (B)f(x)g(a)f(a)g(x) (C)f(x)g(x)f(b)g(b) (D)f(x)g(x)f(a)g(a) 13.设f(x)是连续函数,且F(x)=(A)-e-xf(e-x)-f(x)(C)e-xf(e-x)-f(x) e-x xf(t)dt,则F(x)=( ). (B)-e-xf(e-x)+f(x) (D)e-xf(e-x)+f(x)14.设f(x)在1,2上具有连续导数,且f(1)=1,f(2)=1,则xf(x)dx=( ). 1f(x)dx=-1, 1 2 2(A)2 (B)1 (C)-1
11、(D)-215.设f(x)在a,b上二阶可导,且f(x)0,f(x)0,f(x)0.记 S1=f(x)dx S2=f(b)(b-a), S3= a bf(a)+f(b)(b-a),则有( ). 2(A)S1S2S3 (B)S2S3S1 (C)S3S1S2 (D)S1S3S216.设幂级数an=1n(x-1)n在x=-1处收敛. 则此级数在x=2处( ).(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是( ).(A)若级数u与vnn=1n=1n的一般项有unvn(n=1,2 ),则有uvnn=1n=1n un+1(B)若正项级数un满足1(n=1,2, )
12、,则un发散 un=1n=1n(C)若正项级数un收敛,则limn=1un+11 nunanan+1=R. (D)若幂级数anxn的收敛半径为R(0R+),则limn=1nnnn18.设级数(-1)a2n=1收敛,则级数an=1n( ).(D)敛散性不确定 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散19. 微分方程(x+y)(dx-dy)=dx+dy的通解是( )(A)x+y+ln(x+y)=c; (B)x-y+ln(x+y)=c;(C)x+y-ln(x+y)=c; (D)x-y-ln(x+y)=c.20. 设y=f(x)满足微分方程y-5y+5y=0,若f(x0)s (C) r=s+1 (D
13、) r-1 (B)k1 (C)k2 (D)k3211 31. 已知=(1,k,1)T是矩阵A= 121的特征向量,则k=( )112(A) 1或2 (B) -1或-2 (C) 1或-2 (D) -1或232. 在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( )(A)AC BC (B)ABC (C)ABC ABC ABC (D)A B C33. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( )3531431(A) (B) (C)C8 (D) 48C8888834. 设A、B互为对立事件,且P(A)0,P(B)0,则下列
14、各式中错误的是( )(A)PB|A=0 (B)P(A|B)=0 (C)P(AB)=0 (D)P(A B)=135. 离散型随机变量X的分布列为P X = k =ak, k = 1,2,3,4.则a=( )(A)0.05 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.2536. 设随机变量X的分布函数为F(x)=a+53()1arctanx(-x,a为常数)则P-X( ) 3 (A)1112 (B) (C) (D) 632337. 设随机变量X服从N(,4),则PX2+,的值( )(A)随增大而减小; (B)随增大而增大;(C)随增大而不变; (D)随减少而增大.38 .设随机变量XN(,2),则Y=a
15、X+b服从( )(A)N(,2) (B)N(0,1) (C)N 2,() (D)N(a+b,a22) ab39. 对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于( )(A)0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.440. 设随机变量X的概率密度为f(x)=0三、解答题 |x|0,则E(X)=( ). (A)-1 (B)0 (C)1 (D)以上结论均不正确a+x2x0试确立a,b并求f(x)2z2.设z=f(2x-y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求. xyxy,x2+y20讨论f(x,y)在(0
16、,0) 23设f(x,y)=x+y2220,x+y=0(1)偏导数是否存在。(2).是否可微。4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小. 5.20xcos2xdx26|x+y2-4|d,其中D为圆域x2+y29。227设f(x,y)在x+y1上连续,求证:limR01R2x2+y2R2f(x,y)d=f(0,0)。|x+2y2R证明 D=(x,y)2 (-1)n-18.求幂级数(x-4)n收敛区间及和函数S(x): nn=11+y29求解 y=,y(1)=0; 3xy+xy10求解xy+xtany-y=0,y(1)=. x211求解4y+4y
17、+y=0满足y(0)=2,y(0)=0.12求解y-3y+2y=2ex满足y(0)=1,y(0)=-1;13设二阶常系数线性微分方程y+y+y=ex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定,,并求该方程的通解.cos-sin14计算下列行列式sincos,213-11215计算下列行列式501a3a16证明: 1bb3142361122 c=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)c3101 17设AX+E=A2+X,且A= 020,求X.101a1b16718已知矩阵0b2=63,求常数a,b a019 将向量表示成1,2,3的线性组合:(1)1=(1,1,-1),2=(1,2,1
18、),3=(0,0,1),=(1,0,-2)20问,取何值时,齐次方程组x1+x2+x3=0x1+x2+x3=0x+2x+x=023 1有非零解?21设线性方程组2x1-x2+x3=1 -x1-2x2+x3=-1 x-3x+2x=c231试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。22.求一个正交变换化下列二次型为标准型:(1)f=2x1+3x2+3x3+4x2x323某工人看管甲、乙、丙3台机器,在1小时内,这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的,求在1小时内(1)有机床需要工人照管的概率;(2) 机床因无人照管而停工的概率.24设随
19、机变量X的分布密度为f(x)=222A1+x2(-x01,0x1 fY(y)= fX(x)=0,其它0,y0求随机变量ZXY的概率密度函数.27一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,密度函数为x1-14ef(x)=400xx0为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换,若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望.28.设随机变量(X,Y)服从正态分布,且X和Y分别服从正态分布N(1,3) 21XY和N(0,42),X与Y的相关系数XY=-,Z=+,求Z的数学期望E(Z)和方差232D(Z);参考答案一、填空题设f
20、(x)=ax+a-x12,则函数的图形关于解:f(x)的定义域为(-,+) ,且有f(-x)=a-x+a-(-x)a-x+axax+2=2=a-x2=f(x)即f(x)是偶函数,故图形关于y轴对称。2若y=sinx-2x0x2+10x2,则y(2)= . 解:1+24 。x2sin13 极限lim 。 x0sinx=x2sin1解:limx0sinx=limx0(xsin1xxsinx)=limx0xsin1xlimxx0sinx=01=0 注意:limx0xsin1x=0(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)limx11x0sinx=limx0sinx=sinx=11=1,其中limsinxx
21、0x=1是第一个重要极限。xlimx0x4.已知limx2+ax+bx2x2-x-2=2,则a=_, b=_。由所给极限存在知, 4+2a+b=0, 得b=-2a-4, 又lx2+xi2xax+b2-x-2=lxix2+a+2x+1=a+43=2, 知a=2,b=-8 由5.已知x0时,(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小,则常数a 123(1+ax解. limx022-1=limx0cosx-1zy1232ax2212323-x(1+ax+(1+ax)223=-a=1,a=-. 32+16.设x+z=y(),其中可微,则zy-z1zy解 2z=+y yy2zzy =y2z-z y-7.
22、设u=exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,则ux(0,1)=解 uz=exyz2+2zexy xxz-1-yzzz= +yz+xy=0,x1+xyxx1+0+u-1-yz=exyz2+2zexy x1+xyx=0,y=1时,z=-1zx=1(0,1)12z8.设z=f(xy)+y(x+y),f,具有二阶连续导数,则= 。 xxy解: z-1y=2f(xy)+f(xy)+y(x+y)xxx2z-11 =f(xy)+f(xy)+yf(xy)+(x+y)+y(x+y) xyxx=yf(xy)+(x+y)+(x+y)9.函数f(x,y)=xy-xy-xy的可能极值点为
23、和 22fx=y-y-2xy=y(1-2x-y)=0 解 2f=x-2xy-x=x(1-x-2y)=0y2x=0y=0x=0y=1x=1y=01x=3 y=13fxx=-2y,fxy=1-2y-2x,fyy=-2x,H1-2y-2x-2y= 1-2y-2x -2x0(0,0) H= 10(1,0) H= -11-2-1(0,1) H=不是, 不是 0-10-1 不是 -2-2/3-1/31111(,) H= 负定,极大值 (,) 3333-1/3-2/310.设f(x,y)=x2siny+(x2-1)xy|则fy(1,0)=_.解:因为f(1,y)=siny,故fy(1,0)=cosyy=0=
24、1211.xsin2xdx= . 解:原式=1122xd(-cos2x)=-xcos2x+xcos2xdx 2211111=-x2cos2x+xd(sin2x)=-x2cos2x+xsin2x-sin2xdx 22222111=-x2cos2x+xsin2x+cos2x+C. 22412.在区间 . 0,上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为解:A= 0cosx-sinxdx=4(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx 0 4 4=(sinx+cosx)0+(-cosx-sinx)=2-1+1+2=22.41,则k=_。 02+11b-kx-kx答案:=edx=lim-ed(-kx) 0b+2k0
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