中学数学思想方法精讲.docx

1、中学数学思想方法精讲 中学数学思想方法教学目的：通过本章的学习，使学生了解学习中学数学思想方法的重要意义；理解中学数学中常用的思想方法；掌握在中学数学教学中培养中学生数学思想方法的方法和手段。教学重点、难点与关键：中学数学思想方法的理解记载中学数学教学中对学生的培养教学方法：讲授、讨论与阅读讲义和中数教材相结合主要内容：1、中学数学思想方法概述。2、中学常用的数学思想方法。3、中学数学思想方法与教学。教学程序：第一节中学数学思想方法概述数学思想方法一词无论是在数学、数学教育范围内，还是在其他学科中，都已被广为使用。数学基础知识包括数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理等以及它们反映出来的数

2、学思想方法。但是，什么是数学思想、数学方法以及数学思想方法？这些不能像数学中的概念那样可以明确地给出定义（至少目前不能），而只能给出一种解释或界定。一、 浅析数学思想与数学方法方法是一个元概念，它和点、线、面、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把方法说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为数学活动。数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动所用的方法。数学方法主要牵涉方法论方面的内容，如表示、加工、处理某种现象或形式的手法。数学方法具有以下三个基本特征： 一是高度的抽象性和概括性；二是精

3、确性，即严密的逻辑性以及结论的确定性；三是普遍的应用性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： 一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供定量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。人们常用数学思想来泛指某些有重大意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果，例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。一般地说，数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。数学思想既牵扯到认识论方面的内容，如对数学科学的看法，对数学与外部世界关系的看法，对数学认识过程的看法，也牵涉方法论方面的内容，如处理数学问题时的意识，策略和

4、指向。数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段，具有行为规则的意义和一定的可操作性。同一数学成果，当用它去解决个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。例如极限，用它去求导数、求积分时，人们就是说极限方法；当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲极限思想了。当将这两重意思合在一起说时，就有了极限思想方法、数学思想方法之类的提法。M.克莱因的巨著古今数学思想，其实说的都是古今数学方法，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数

5、学大师们的思想贡献，文化价值，因而才称之为数学思想。相对数学方法而言，数学思想更具有普遍性与可创造性，其抽象程度更高一些，理论的味道更浓一些。数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段，而对于方法的有意识选择，往往体现出对于数学思想的理解深度。尽管存在着这样或那样的区别，但是数学思想与数学方法之间的总体关系乃是密不可分相互交融的。我们不可能也没必要把数学思想和数学方法严格区分开来。因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与

6、数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思想方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。二、 中学数学中的数学思想方法数学思想方法，从接受的难易程度可分为三个层次： 一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。数学思想方法还可以按其他方式进行分类。例如，胡炯涛认为： 最高层次

7、的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学教学的内容均遵循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”、“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指： 渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面内容： 符号思想、映射思想、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。除了胡炯涛对数学思想方法的阐述，任子朝在改进高考命题 推行素质教育一书中认为数学思想方法包括： 数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想；逻辑学中的方法： 分析法、综合法、反正法、归纳法；具体数学

8、方法： 配方法、换元法、待定系数法、同一法等。第二节中学常用的数学思想方法一、 字母代表数思想用字母代替数字，是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以及整个数学教育最重要、最基础的数学思想。19世纪以来，代数学已经发展成为关于形式运算的一般学科，并随着字母意义由数向量矩阵张量旋量超复数等各种形式量的不断拓展，而得到长足的发展。在数学中，由字母代表数，各种量与量之间进行推理与演算，都是以符号形式来表示的，从而形成一整套形式化的数学语言。例如，我们可以用点“M(x,y,z)”来表示物体所在的空间位置，用“G=f(m)”表示重力与质量的关系，用“=”表示等于，用“”表示属于，用“”表示积分等。对

9、数学而言，只有广泛使用符号，才能有利于问题的陈述、推理的表达和定量的计算。符号是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明的表达数学思想和规律。二、 建立模型思想模型是相对原型而言的。原型是指在现实世界中所遇到的客观事物，而模型则是对客观事物有关属性的模拟。所谓数学模型，指的是对现实原型为了某种目的而作抽象、简化的数学结构。它是使用数学符号、数学式子及数量关系对原型作一种简化而本质的刻画，比如方程、函数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。根据原型进行具体构造数学模型的过程称为数学建模。数学建模的活动过程主要包括： （1） 问题分析： 了解问题的实际背景知识，掌握第一手

10、资料。（2） 假设化简： 根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。（3） 模型建立： 在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相对应的数学结构。（4） 模型求解： 对模型进行求解。（5） 模型检验： 将模型结果与实际情形相比较，以此来验证模型的准确性。如果模型与实际吻合较差，则应修改假设再次重复建模的过程；如果模型与实际比较吻合，则要对计算的结果给出其实际含义，并进行解释。数学建模就是灵活综合地运用数学知识来处理和解决实际问题，因而它是问题解决的重要方面。数学问题并不全是模型化了的常规问题，还有大量的非常规问题和客观实际问题。从普遍意

11、义上说，实际问题比模型化的纯数学问题更符合问题的本质。建模思想强调的就是在解决这类数学问题时，首先应有数学建模的自觉意识或观点，这实际上就是数学知识的应用意识。三、 化归思想化归是转化和归结的简称。化归是解决数学问题的一般思想方法，其基本思想是： 人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个问题，而得出的新问题是相对容易解决或已有固定解答的问题，且通过对新问题的研究解决可以得出原问题的解答。化归思想的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化（熟悉或易于处理），即将待处理问题转化为规范问题，从而得到原问题的解答。例如，学生学了一元一次方程，此时，

12、一元一次方程就是一个数学模式。而将一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）通过换元化归为一元一次方程的过程就是模式化。化归思想包含三个要素： 化归的对象、化归的目标和化归的方式、方法。在上述例子中，一元二次方程是化归的对象，一元一次方程是化归的目标，换元是实施化归的方法。实施化归的关键是实现问题的规范化、模式化。四、 分解组合思想当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干个子集，在各个子集中分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。分解组合是重要的数学思想之一。对于复杂的计算题、作图题、论证题等，

13、运用分解组合的思想方法去处理，可以帮助学生进行全面严谨的思考和分析，从而获得合理有效的解题途径。在中学数学中，方程求解、不等式的证明与求解、函数单调性的判断与证明以及各种含有参数的问题等，分解组合是一种行之有效的思想方法。运用分解组合解决问题时，将所给已知条件的集合进行科学划分是十分重要的，必须遵循划分的规则，防止分解中出现重复或遗漏。五、 集合思想引进字母后，使数学的研究对象不断地扩大丰富，从多项式、行列式、方程、不等式、线性变换到概率论中的事件，对策论中的策略以及计算机上的信号等形式的非纯数学的研究对象越来越多，迫使人们寻求统一的观点和有力的手段来加以处理，这就是集合思想的基础。集合论作为

14、数学语言来说特别简单，它只有一个最基本的动词： “属于”，用“”表示，并据此可定义“包含”等概念。从这些概念出发，再加上一些逻辑语言，例如“或”和“且”，就可定义集合之间的并运算（）和交运算（），还可以定义差运算、余运算。至此，集合论的基本运算便建立起来了，并且形成一种代数结构。建立集合概念后，就可使一些本来只能用日常语言表达的概念，显得简洁明了，且可使用统一的符号，这就更有利于理解与研究。集合论确定后，再通过 ，=,，等关系和运算，就能用符号来形式地表达许多数学公式和内容。六、 辩证思想从数学辩证思维的角度来看，矛盾的对立与统一、事物发展的由量变到质变、静止与运动、矛盾的特殊与一般、真理的相

15、对与绝对、有限与无限等，这些矛盾对，在一定条件下能够统一起来，并能够相互转化。解题就是解决矛盾，自然离不开辩证思想。在许多情况下，解题需要分析矛盾的双方，找出转化的条件，不能单打一、钻牛角尖，要运用辩证思维，在辩证思想的策动下，获得问题解决。辩证思想的运用通常体现为非线性结构与线性结构的转化、已知与未知的转换、常量与变量的转换、正面与反面的转换、静与动的转换、数与形的转换、有限与无限的转化等。七、 函数与方程思想函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想，或者说是一个集合到另一个集合的一种映射思想。它是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互联系

16、。而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一体，是变量与变量互相制约的条件。它反映了已知量和未知量之间的内在联系。第三节中学数学思想方法与教学一、 如何贯彻数学思想方法的教学探讨数学思想方法有关问题的最终目的是提高个体的思维品质和各种能力以及提高个体的整体素质，而实现这一目的的主要途径是课堂教学活动。要使学生领悟、理解、掌握、运用数学思想方法，就需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动，在教师的主导，学生的参与下去完成。从原则上来说，数学思想方法的构建有三个阶段： 潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般可以考虑通过以下途径贯彻数学思想方法的教学：（1） 充分挖掘教材中的数

17、学思想方法。数学思想方法是隐性的、本质的知识内容，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关思想方法。例如： 有理数乘法法则的讲述，在新教材中就充分运用了数形结合和归纳推理的方法，较旧教材中注重的由一般到特殊的演绎推理降低了难度，而又不失科学性，教师可给学生介绍这两种基本而又常用的思想方法。又如： 在二元一次方程组的应用题部分，教师应强调突出“整体代入”这一思想方法的优越性，因为这种思想方法在以后的学习中将广为使用，同时这也是对字母代替数的更深刻理解。（2） 有目的、有意识地渗透、介绍和突出有关的数学思想方法。在进行教学时，一般可以从前面我们对数学特征及中学数学内容分析的数学思想方法中考虑，应渗透

18、、介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学方法，是了解、理解、掌握还是灵活运用，然后进行合理的教学设计，从教学目标的确定、问题的提出、情境的创设到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有意识、有目的地进行数学思想方法教学。例如化归是研究问题的重要思想方法和解决问题的一种策略。教师可以把它作为一种指导思想渗透在教学过程中，根据具体的教学内容，通过渗透、介绍、强调等不同方式，让学生体验、学习这一思想方法。解方程时，一般总是考虑将分式方程化归为整式方程，无理方程化归为有理方程，超越方程化归为代数方程；处理立体几何时，一般可考虑把空间问题化归到某一平面上（这个平面一般是几何体的

19、某一平面，或某一辅助平面），再用平面几何的结论和方法去解决；在解析几何中，一般可考虑通过建立恰当的坐标系，把几何问题化归为代数问题去处理；有关复数的问题，可通过其代数形式或三角形式化归为实数问题或三角问题加以解决。教师应指导学生从一招一式的解题方法和对不同题型的反复练习中提炼概括出一般的规律和有关的思想方法。（3） 有计划、有步骤地渗透、介绍和突出有关的数学思想方法。例如，在知识形成阶段，可选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数的思想方法，方程的思想方法，统计的思想方法，等等。在知识结论推导阶段和解题教学中，可选用分类讨论、化归、等价转换、

20、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法。在知识的总结性阶段可采用公理化、结构化等思想方法。总之，由于数学思想方法是基于数学知识而又高于数学知识的一种隐性的数学知识，需要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解、内化在个体认知结构中。教师要在整个数学活动中展现数学思想方法，减少盲目性和随意性，并且贯彻以下几条原则： 主动学习原则，最佳动机原则，可接受性原则，化隐为显原则，螺旋上升原则和数学思想方法的形式与内容相统一的原则。二、 中学代数中的基本数学思想方法与教学（一） 集合的思想方法集合思想是指应用集合论（主要是朴素集合论的基本知识）的观点来分析问题、认识问题和解决问题。在中学教学中渗透集合思

21、想主要体现在： （1） 学习朴素（初等）集合论的最基本的知识，包括集合的概念和运算，映射的概念等。（2） 使用集合的语言。例如方程（组）解的集合，轨迹是满足某些条件的点的集合，等等。当使用集合论的语言时，许多数学概念的形式就变得简单多了，当然也抽象多了。在中学教学中使用集合思想，可以使我们有可能看出许多表面上不同的一些内容。例如变量、变量的数值函数，几何变换，长度、面积和体积的测度等，用集合与映射的思想可以把它们统一起来。在解方程、解不等式、做关于方程的解、关于方程和不等式的等价命题时，使用集合思想来分析、认识也是很必要的。在中学代数中，函数的图像是函数关系的一种几何表示。若给定函数y=f(x

22、)(xA),则在直角坐标平面Oxy上，对于任何一个xA，都有一个点(x,f(x)与它对应，即x通过对应关系f确定直角坐标平面上的一个点。我们把定义域A上的所有x在直角坐标平面上确定的点的集合C叫做函数y=f(x)的图像。用集合语言表达的定义给了我们认识函数图像和运用数形结合思想研究问题的一种启示。（二） 函数、映射、对应的思想方法如前所述，函数概念在中学代数的方程、不等式、数列、排列组合等主要内容中起着重要作用。函数思想是客观世界中事物运动变化相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。函数思想的本质是变量之间的对应。应用函数思想能从运动变化的过程中寻找联系，把握特点与规律，从而选择恰当的数学

23、方法解决问题。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，高中代数中的幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数、反三角函数等，均是根据定义，画出函数图像，分析函数性质，然后加以应用，形成完整的知识体系。贯彻这一过程始终是函数、映射、对应的思想方法。例如：数列是依照某种规律排列着的一列数： a1，a2，an，。数列可以看做是一个定义域为自然数集N或它的有限子集1,2,3,，n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值： a1,a2，an，记为an，也就是说数列是一种特殊的函数。因此研究数列的问题自然就运用了函数的思想、方法以及函数的性质。如函数的三种表示方法数列均适用，而数列

24、的图像是一串孤立的点，与我们熟知的函数图像又不尽相同。同函数单调性类似，数列按各项值的变化情况分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、等差数列和等比数列等；按定义域来分有有穷数列与无穷数列；按值域来分有有界数列与无界数列。另外，还可以对等差数列的前n项和求最大值、最小值等。这些充分体现了函数思想。复数是中学代数中的又一重要内容。任意复数z和复平面内一点Z（a,b）对应，也可以和以原点为起点，Z(a,b)为终点的向量 OZ对应，在这些一一对应下，复数的各种运算，都有特定的几何意义。这就为我们从代数、三角、几何等多角度认识复数提供了可能，也为复数在代数、三角、几何方面的应用创造了条件。这说明对应

25、思想的重要作用。（三） 数形结合的思想方法代数是研究数量关系的。虽然数字化是很精确的，但若能用图像表示出来，往往比较直观，变化的趋势更加明确。所以数形结合思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化成数量关系问题去解决。中学代数中能够体现这一思想方法的内容非常广泛，如集合中有韦恩图；函数借助于直角坐标系可以得到对应的图像；不等式中一元二次不等式对应一个区间，二元一次不等式组对应一个区域；复数中通过向量与几何结合,得到|OZ|表示点到原点的距离，|Z1Z2|表示两点间的距离等；在排列组合、概率统计中也有许多直方图、数图等几何方法。中学代数中集中反映数形结合特征内容的是函数

26、与图像，方程与曲线，复数与几何。在处理这些问题时要加深领会，可借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻画（如研究函数图像的性质）；也可借助于函数图像与方程曲线加深对题意的理解，并对所得的解集进行有效的检验（如解不等式）。在复数教学中主要贯穿着两条主线，一条是以代数形式表达复数概念；另一条是用几何形式描述复数概念。通过在几何、向量和三角中的有关知识建立联系，复数得到直观、形象的解释。复数运算的几何意义，可使其在几何、向量、三角、方程等方面发挥综合应用的作用。（四） 化归的思想方法把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解的问题是解决各类数学问题的基本思路和途径，是一种重要的

27、数学思想方法。在中学代数中，运用化归思想进行转化的例子比比皆是。以解方程为例，由于方程类型不同，解法也各不相同，但基本思想是转化，基本途径是利用消元、降次将超越方程转化成代数方程，无理方程转化成有理方程，分式方程转化成整式方程，高次方程转化为低次方程，多元方程转化为一元方程，等等。在以上转化中，要求变形前后是同解方程，这就要在同解原理的指导下进行等价转化，既要无一遗漏地考虑所有制约因素，又要注意它们之间的相互联系。以上所说的是等价转化，要求转化过程中的前后是充分必要的。这样的转化才能保证转化后所得到的结果仍是原题的结果。而在中学代数中，也有一些是非等价转化，如不等式的证明中的放缩法就是一例。非

28、等价转化主要是寻找使原题结论成立的充分条件，这样的转化可使推证的过程得以简化。三、 中学几何中的基本数学思想方法与教学（一） 公理化的思想方法现行的平面几何教材，从其知识结构来看，基本上沿用了欧氏几何的不完善公理体系。它从几条不言而喻的，一致公认的事实出发，运用逻辑推理方法，推演出内容丰富、准确可靠的几何体系。因此中学的平面几何和立体几何的基本体系都是公理化体系，并通过公理化体系体现公理化的思想方法。公理化的思想方法在数学乃至科学发展中起着奠基作用。虽然公理化方法对于理论体系的科学性和系统性有着重要的作用，但是，公理化方法的教学要把握一个适当的“度”，本着严密性和量力性原则，以适合中学生的接受

29、能力为宜。（二） 几何变换的思想方法几何学是研究空间图形在变换群下的不变性质的学科，它的研究对象是空间形式。若现实世界的物体是运动变化的，由此抽象出来的几何图形的位置、形状、大小也就不断变化。可见，几何变换的思想对于几何学的研究是非常重要的。几何变换在解决几何证明和作图问题中有广泛的应用。有了几何变换思想，思考问题就有了方向，从运动的观点来考虑几何问题，使原来静止的图形“动”起来。许多几何问题从已知和结论之间的相互联系看上去似乎不十分密切，通过对称、旋转、平移、相似等几何变换，把图形进行移动，使原来看似联系不密切的图形在新的位置产生了联系，从而使问题得到解决。（三） 化归的思想方法中学的几何从

30、研究简单的平面图形性质开始，复杂图形的问题都是通过化归为简单图形来解决的。例如，三角形是平面几何中的基本图形，在深入研究三角形性质的基础上，对于多边形的研究便可转化为三角形去研究。在几何中化归包含三个基本要素： 化归的对象； 化归的目标； 化归的途径。如在解决梯形中位线问题时，梯形的中位线是化归的对象，三角形的中位线是化归的目标，添加辅助线是化归的途径。在几何化归中一般有如下途径： 向基本图形化归； 向特殊图形化归； 向低层次化归； 立体几何问题向平面几何问题化归。如： 求多边形的内角和转化为求三角形内角和来解决，即复杂图形向基本图形化归；研究圆周角的性质，先从一切一条边经过圆心的圆周角这一特

31、殊情况入手，其他情况都转化成这一特殊情况，即向特殊情况化归；三维空间的问题往往转化为二维空间的问题，即向低层次化归；空间两点间距离的计算和二面角的概念，最终都是转化为平面几何中线段长度的计算和角的概念，即立体几何问题向平面几何问题化归。四、 平面三角中的基本数学思想方法与教学（一） 函数、映射、对应的思想方法如前所述函数、映射、对应的思想方法是一种考虑对应、运动变化、相互关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，它贯穿于研究三角函数的全过程之中。在直角坐标系中，由角的终边上一点引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角三角函数： 在建立任意角的三角函数

32、的概念和引入弧度的基本概念基础上，建立角的集合与实数集之间的一一对应，建立正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx的概念，并借助于单位圆和三角函数线（及有向线段），进一步画出每个三角函数的图像，导出三角函数的性质，形成一个完整的三角函数的知识体系。自始至终贯穿了函数、映射、对应的思想方法。反三角函数是各三角函数在其主值区间上的反函数。从研究三角函数的反函数的存在性开始，到合理寻求各自的主值区间，直至建立反三角函数的概念，并通过对称变换绘制反三角函数的图像，导出反三角函数的性质，贯穿始终的基本思想也是函数、映射、对应的思想方法。（二） 数形结合的思想方法与研究中学数学中各类函数一样，研究三角函数定义和性质所采用的基本方法就是数形结合。数形结合的思想方法在平面三角中体现得最集中，最突出的是三角函数线、三角函数的图像与性质以及解斜三角形等内容。在分析和解决有关比较三角函数值的大小，角的终边位置与三角函数值的符号关系，已知三角函数值求角，已知三