鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解.docx

1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）+ （每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数二鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+ （每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数二兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2 X36） -（4-2 ） =14 （只） 兔；36-14=22 （只） 鸡。解二 （4 X36-100 ） -（4-2 ） =22 （只） 鸡；36-22=14 （只） 兔。（答略）（2 ）已知总头数

2、和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）-（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每 只免的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式。（每只鸡的脚数x总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每 只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（4 ）得失问题（鸡兔问题的推广题） 的解法，可以用下面

3、的公 式：（1只合格品得分数x产品总数-实得总分数）+ （每只合格品得 分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数。或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）宁（每只合格品得分数+每 只不合格品扣分数）二不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4 X1000-3525 ） -（4+15 ）=475 -19=25 （个）解二 1000- （15 X1000+3525 ） -（4+15 ）=1000-185

4、25 -19= 1000-975=25 （个）（答略）“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元。它的解 法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔 各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）-（每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）-（每只鸡兔脚数之差）-2二鸡数；（两次总脚数之和）-（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）-（每只鸡兔脚数之差）-2二兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解（52+44 ） -（4+2

5、） + （52-44 ） -（4-2 ）-2=20 +2=10 （只） 鸡（52+44 ） + （4+2 ） - （52-44 ） + （4-2 ）+2=12 +2=6 （只） 兔（答略）鸡兔同笼目录1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意 思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头,从下面 数，有94只脚。问

6、笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数X鸡的脚数）+ （兔的脚数-鸡的脚数）二兔的只数（94 35 X2） +2=12（兔子数）总头数（35 ）兔子数（12 ）=鸡数（23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡：2X35=70 （只）鸡脚比总脚数少：94 70=24 （只）兔：24 +（4-2）=12 （只）鸡：35 12=23 （只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59 （只）然后再抬起一只脚，这时

7、候鸡两只脚都抬起来就摔倒了， 只剩下用两 只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24 （只） 兔：24 -2=12 （只）鸡：35-12=23 （只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x ）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24 宁 2x=1235-12=23(只)或解：设鸡有x只，贝卩兔有(35-x )只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只)答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有

8、x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35) X2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入(x+y=35)x+12=35x=35-12 (只)x=23 （只）。答：兔子有12只，鸡有23只4抬腿法 法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2只脚，还有94除以2=47只脚。 笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12 , 就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94 35 X2=24只脚，这时鸡 是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上， 所以有24 -2=12只兔子，

9、就有35 12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元 5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35 X2=70 （只），比题中所说的94只要少94-70=24 （只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2只，即70+2=72 （只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚

10、数又增加 2 ,2 , 2, 2，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24 -2=12 （只），从而鸡有35-12=23 （只）。我们来总结一下这道题的解题思路： 如果先假设它们全是鸡，于 是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚 数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来， 解鸡兔同笼题的基本关系式是： 兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔 总数）-（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔 子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 x,鸡的数量为y那么：x+y=35那么4x+

11、2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12 只，鸡有23只。7详细解法基本问题鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经 中许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型 解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔 各有多少只解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立，一只脚站着；而每只兔子都用 两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一 半，也就是244 +2=122 （只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=

12、34 （只），有34只兔子.当然鸡就有54只。答：有兔子34只，鸡54只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数+ 2-总头数二兔子数总头数-兔子数二鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上 能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是4和2,4又是2的2倍可是，当其他问题转化成这类问题时，脚 数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。因此，我们对这 类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4 X88只脚，比244只脚多了88 X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88 X4-244）

13、 -（4-2）= 54 （只）.说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡因此可 以列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）-（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2 X88=176 （只）， 比244只脚少了244-176=68 （只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68 -2=34 （只）.说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）-（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去 减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 假设法.现在，拿一个具体问

14、题来试试上面的公式。例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子 有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了 利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(19 X16-280) +(19-11)=24弋=3 (支)红笔数=16-3=13 (支).答：买了 13支红铅笔和3支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 例2中的脚 数19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只 是鸡,根据这一设想，脚数是8 X

15、(11 + 19)=24O (支)。比280少40.40 +(19-11)=5 (支)。就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡(蓝铅笔)数是3.30 X8比19 X16或11 X16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠 心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。 例如，设想16只中，兔数为10,鸡数为6，就有脚数19 X10+11 X6=256.比280少24.24 +(19-11)=3,就知道设想6只鸡，要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领 .下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成乙单独打字需10小时完 成，现在甲单独打

16、若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7小时。 甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30份（30是6和10的最小公倍数）， 甲每小时打30弋=5 （份），乙每小时打30 -10=3 （份）.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总 头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转 化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔”数=（30-3 X7）勺5-3）=4.5,鸡”数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5小时，乙打字用了 2.5小时。答：甲打字用了 4小时30分.例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和 是17岁。四年后（

17、2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄 是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3倍时，是公元哪 一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25 ,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的 年龄看作兔头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年 龄是(25 X4-86) +(4-3)=14 (岁).1998年，兄年龄是14-4=10 (岁).父年龄是(25-14) X4-4=40 (岁).因此，当父的年龄是兄的年龄的 3倍时，兄的年龄是(40-10) +(3-1)=15 (岁).这是2003年。答：公元2003年时，父年龄是兄

18、年龄的3倍.例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对 翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫 各几只？解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫 分成8条腿与6条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-6 X18)勺8-6)=5 (只).因此就知道6条腿的小虫共18-5=13 (只).也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式蝉数=（13 X2-20） +（2-1）=6 （只）.因此蜻蜓数是13-6=7 （只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。例6某次数学考试考五道题，全班 52人参加，共做对181道

19、题， 已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人, 做对2道和3道的人数一样多，那么做对 4道的人数有多少人？ 解：对2道，3道，4道题的人共有52-7-6=39 （人）.他们共做对181-1 X7-5 X6=144 （道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（2+3） -2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39.对4道题的有（144-2.5 X39）勺4-2.5）=31 （人）.答：做对4道题的有31人。以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有 88个头，244只脚，鸡 和兔各有多少只？以简单的X方程计算的话

20、，我们一般用设大数为X,那么也就是设兔为X,那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X ）只。解：设兔为X只。则鸡为（88-X ）只。4X+2 X(88-X ) =244上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X 就是兔子的脚数，2X(88-X )就是鸡的脚数。4X+2 X88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X -2=68 -2X=34即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。答：兔子有34只，鸡有54只。习题一1.龟鹤共有100个头，350只脚龟，鹤各多少只？2.学校有象棋，跳棋共26畐农恰好可供120个

21、学生同时进行活动。 象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5 分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？4.某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50 张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多 少张？5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16天甲先做了多少天？6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段 中，有的是由一段上坡路（3千米），一段平路（4千米），一段下坡路 （2千米）和一段平

22、路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）， 一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的。已知摩托车跑完 全程后，共跑了 25段上坡路全程中包含这两种阶段各几段？7.用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1 角的邮票多少张？二、两数之差的问题鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应 该怎样去解呢例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数 就一样多.（680-8 X40） +（8+4）=30 （张）,这就知道，余下的邮票中，8分和4

23、分的各有30张。因此8分邮票有40+30=70 （张）.答：买了 8分的邮票70张，4分的邮票30张。也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是4X20+8 X60=560.比680少，因此还要增加邮票。为了保持差是40，每增加1张4 分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是（680-4 X20-8 X60）勺4+8）=10 （张）.因此4分有20+10=30 （张），8分有60+10=70 （张）.例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天，工程要多少天才能完成解：

24、类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份用上一例题解一的方法，晴天有（150-8 X3） -（10+8）= 7 （天）.雨天是7+3=10 天，总共7+10=17 （天）.答：这项工程17天完成。请注意，如果把雨天比晴天多3天去掉，而换成已知工程是17天 完成，由此又回到上一节的问题 差是3，与和是17,知道其一，就 能推算出另一个。这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28 +2=

25、14 （只），鸡与 兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4 +2=2 （倍）于是鸡的只数是兔的 只数的2倍。兔的只数是（100+28 -2）勺2+1）=38 （只）.鸡是 100-38=62 （只）.答：鸡62只，兔38只。当然也可以去掉兔28 +4=7 （只）兔的只数是（100-28 +4） +（2+1）+7=38 （只）.也可以用任意假设一个数的办法。解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50 （只）.此时脚数之差是4X50-2 X50=100,比28多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） 为了保持总数是100 , 一只兔换成一只鸡，少了 4只兔脚，多了 2只鸡脚，相差为6只（千万注意，

26、不是 2）.因此要减少的兔数是（100-28） +（4+2）=12（只）兔只数是50-12=38 （只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四 句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了 20个字.问两种诗各多少首？解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13 X5 X4+20=280 （字）.每首字数相差7 X4-5 X4=8 （字）.因此，七言绝句有 280 +（28-20）=35 （首）.五言绝句有35+13=48 （首）.答：五言绝句

27、48首，七言绝句35首。解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10 首.字数分别是20 X23=460 （字），28 X10=280 （字），五言绝句的 字数，反而多了460-280=180 （字）与题目中”少20字”相差180+20=200 （字）.说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13首，增加一首五言绝句， 也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假 设增加200 +8=25 （首）.五言绝句有23+25=48 （首）.七言绝句有10+25=35 （首）.在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于 例7,例9和例10三个问题，当然也

28、可以这样假设。现在来具体做 一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常 有趣的事.例7,假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8 X40）勺8+4）=30 （张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是（100 X4-28）勺4+2）=62 （只）.10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20 X13+20） +（28-20）=35 （首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与 鸡兔同笼公式比较，这三个算式只是有一处-成了 +其奥妙何在呢当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白， 从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例11有一辆货车运输

29、2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数 目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1元结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）因此破损只数是（400-379.6）勺1+0.2）=17 （只）.答：这次搬运中破损了 17只玻璃瓶。请你想一想，这是鸡兔同笼同一类型的问题吗例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包 含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不 答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分 比第二次测验得分多10分，问小

30、明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24题全对，得5 X24=120 （分）.那么第二次只做对30-24=6 （题）得分是 8 X6-2 x（15-6）=30 （分）.两次相差120-30=90 （分）.比题目中条件相差10分，多了 80分。说明假设的第一次答对题数 多了，要减少第一次答对减少一题，少得 5+1=6 （分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。 两者两差数就可减少6+10=16 （分）.（90-10） +（6+10）=5 （题）.因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11 （题）.第一次得分 5 X19-1 X（24- 19）=90.第二次得分 8 X11-2 x（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分。解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9 （题）.第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6 （分）,第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10 （分）答错题互换一下，两次得分要相差6+10=1