波利亚的《怎样解题》word版.docx

1、波利亚的怎样解题word版1帮助学生第一部分 在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、 实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不 到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多， 那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合 理的工作。如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立 工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，

2、并且提出一个学生自己可能会产生的 问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2问题、建议、思维活动 在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中， 我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个 问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注 意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议， 并加以分类是

3、有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问

4、题都是有意义的，而且有助于我们解 题。事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。4常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。

5、你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不 过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路 行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做； 我们这张表却尝试去表达这些。

6、5教师与学生，模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表 有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然， 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并 非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他 就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生

7、有所帮助，那么他就会注 意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地 提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时 刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师 可以做些什么事呢?解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学 会游泳。当试图解

8、题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并 且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6四个阶段主要部分，主要问题在求解过程中，我们很可能再三地改变我们

9、的观点，或者改变考虑问题的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问 题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我 们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。 首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须 了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的 思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的 解答，对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了一个 异常好的念头，于

10、是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答，则可能失去某些最好的效果。7、弄清问题回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。 在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级 里发生这样

11、的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解 出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选， 所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点，他 可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还 应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时， 不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在

12、上面标出未知数与已知数据。如果 对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望 有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还 有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢?(在本书第二部分中，把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深人理解问题”)。8、例子让我们说明上节中的某几点内容。 我们选下列简单问题：已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几 何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时

13、可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体，其尺寸可 以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更加形象。以下是老师与学生间的对话： “未知数是什么?” “长方体对角线的长度。” “已知数是什么?” “长方体的长、宽、高。”“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数?” “x”“长、宽、高应选哪些字母?” “a，b，c” “联系a，b，c与x的条件是什么?”“x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a，b，c” “这是个合理的问

14、题吗?我意思是说，条件是否充分，足以确定未知数吗?” “是的，是充分的。如果我们知道a，b，c，我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。”9拟定计划当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、 要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过 程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要

15、诱发这样一种好念头。 为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗?困难就在于：通常有相

16、当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗?上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变 化、

17、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件?10例子我们回到第8节中的例子。“你是否知道一个与此有关的问题?” “看着未知数，你是否知道

18、一个具有相同未知数的问题?” “好，未知数是什么?”“平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?”“你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知 数是直线长度的问题?”“当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。” “好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它吗？”“你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?”图1“看这里，你所想起的是一个关

19、于三角形的问题。图中有三角形吗?”我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。“你是否想在图1中有个三角形?” “在图中，你想有哪种三角形?”“你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?”经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图 中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信

20、其学生对问题的理 解已有足够的深度。“我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否有未知数?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?” “一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另一个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。”11实现计划想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到

21、每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤。根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合，直接观察

22、与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!)主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗?12例子我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最

23、后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到2x =y2+c2y2=a2+b2于是消去辅助未知数y，从而有2 2 2x2=a +b +cx= a 2 b 2 c 2如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问： “你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗?”对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是如果老师不满足于学生的直观猜测，他应该继续提问：“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否则教师不应当提出这个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题

24、的回答可 能成为大多数学生的主要困难。13回顾即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。这样， 他似乎

25、有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗?为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗?教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完

26、全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗?14例子在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a，b，c，那末对角线为a 2 b 2 c 2 你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的

27、良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”， 这将表明结果中存在严重的缺点。“你是否使用了所有的数据?是否所有数据a，b，c都在你的对角线公式中出现?”“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a，b，c 来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗?当a，b，c互换时公式是否保持 不变?”“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体

28、的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?”“如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令c=0，是否得到矩形对角线的正确公式?”“如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增加，则对角线也按同一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a，12b，12c，则对角线也将乘以12，是否这样?”“如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如 果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此?”(后

29、两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节)上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得 了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生 的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方

30、 的习惯，他解题的能力肯定会提高。你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论 证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前 提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末尾处)?你能把这结果或方法用于其它问题吗?在受到一些鼓励并且经过一两个示 范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学 元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方 体，他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食 堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来 更

31、有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给 定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离”。学生可以利用刚才解决的问题的结果，因为所求距离是对角线的一半。或 者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种办法对于本例来说，是 不那么显而易见的，并且多少有点笨拙)。在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结 构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱 是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到 他的问题上来：你能把结果或方法用于某个其他问题吗?现在学生有机会找到更 有趣的具体应用了，例如，下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物 的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆，我们需要四 根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点开始，而另一端是 建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?”学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上 引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用 上面的结果：设想有一个长方体，其对角线x就是四根缆绳之一而它的边是a=10.5, b=8, c=6直接应用公式可求出x=14.5。更多的例子可见“你能利用这个结果吗?”那一节。