高中数学竞赛教材讲义 第四章 几个初等函数的性质.docx

1、高中数学竞赛教材讲义 第四章 几个初等函数的性质2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第四章 几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂：。3对数函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1时，y=logax为增函数。4对数的性质（M0, N0）；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）l

2、oga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x)在a, b上连续，且f(a)f(b)0.【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc

3、+ca+10.例2 （柯西不等式）若a1, a2,an是不全为0的实数，b1, b2,bnR，则（）（）()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, , n时成立。【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,因为0，且对任意xR, f(x)0，所以=4()-4（）()0.展开得（）()()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, , n。例3 设x, yR+, x+y=c, c为常数且c(0, 2，求u=的最小值。【解】u=xy+xy+2=xy+2.令xy=t，则0t=xy,设f(t)=t+,0t因为0c2，所以00，所以=例5 对于正整数a, b

4、, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且l

5、ogax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-,+)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方

6、程组：（其中x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6，代入得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 已知a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，

7、则k21，所以0k1.综上，当k(-,-1) (0, 1)时，原方程有解。三、基础训练题1命题p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y0”的_条件。2如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_.3已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_。4若log2a0，则a 取值范围是_。5命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则

8、p是q的_条件。6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_。8若x=，则与x最接近的整数是_。9函数的单调递增区间是_。10函数f(x)=的值域为_。11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数, n2, aR.若f(x)在x(-,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx0在x时恒成立，则m的取值范围是_.3

9、若xx|log2x=2-x，则x2, x, 1从大到小排列是_.4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_.5. 命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_条件.6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8若x=，则与x最接近的整数是_.9函数y=的单调递增区间是_.10函数f(x)=的值域为_.11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数，n2,

10、aR。若f(x) 在x(-,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是_.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是_.8函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是_.（1）b0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b0且c=0。9已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)

11、(t0)，则F(x)是_函数（填奇偶性）.10已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1, |b|1，则f(a)+f(b)=_.11设aR，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n) x1 x2 x30，都有log1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立，则k的

12、最大值为_.3实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为_.4已知0b1, 000的解集为_.9已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).10（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。11对于任意nN+(n1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn。六、联赛二试水平训练题1设x, y, zR+且x+y+z=1，求u=的最小值。2当a为何值时，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一个解（a1且a1）。3f(x)是

13、定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x).4. 求所有函数f：RR，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5设m14是一个整数，函数f：NN定义如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ.7是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8设p, q是任意自然数，求证：

14、存在这样的f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有9设，为实数，求所有f: R+R，使得对任意的x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立。2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（10）直线与圆的方程一、基础知识1解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。2 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足

15、条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcos+ysin=p（其中为法线倾斜角

16、，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=,tan=.6平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7两点P1(x1, y1)与

17、P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。8点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为，半径为。若点P

18、(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例1 在ABC中，AB=AC，A=900

19、，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：ADB=CDE。例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。2到角公式的使用。例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正PQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。3代数形式的几何意义。例4 求函数的最大值。4最值问题。例5 已知三条直线l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0围成ABC，求m为何值时，ABC的面积有最大值、最小值。5线性规划。例6 设x, y满足不等式组（1）求点(x, y)所

20、在的平面区域；（2）设a-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。6参数方程的应用。例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。7与圆有关的问题。例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定AT1T2垂心 的轨迹。例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是和，见图10-7，求证：sin(+)是定值。例10 已知O是单位

21、圆，正方形ABCD的一边AB是O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。例11 当m变化且m0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。三、基础训练题1已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是_.2已知0,，则的取值范围是_.3三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是_.4若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是_.5

22、若R。直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d_.6一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14，则此圆的方程为_.7自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为_.8D2=4F且E0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的_条件.9方程|x|-1=表示的曲线是_.10已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为_.11已知函数S=x+y，变量x, y满足条

23、件y2-2x0和2x+y2，试求S的最大值和最小值。12A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0.MN，a的最大值与最小值的和是_.6圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=_.7已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范围是_.8当a为不等于1的任何实数时，圆x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为_.9在ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsin

24、C成等差数列，那么直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是_.10设A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐标平面xOy上的点集，C=所围成图形的面积是_.11求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12设集合L=直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？（2）设aR+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中点P的轨迹。五、联赛