压轴题放缩法技巧全总结.docx

1、压轴题放缩法技巧全总结压轴题放缩法技巧全总结高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 的值; (2)求证: . 解析:(1)因为 ,所以 (2)因为 ,所以 技巧积累:(1) (2) (3) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为

2、,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先 ,所以容易经过裂项得到 再证 而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3.求证: 解析: 一方面: 因为 ,所以 另一方面: 当 时, ,当 时当 时所以综上有 例4.(2008年全国一卷)设函数 .数列 满足设 ，整数 .证明: . 解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列, 故 若存在正整数 , 使 , 则 , 若 ,则由 知因为 ,于是 例5.已知 ,求证:解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证 , 即等价于 , 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知 , ,求

3、证: . 解析: 所以 从而 例7.已知 , ,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：解析:先构造函数有 ,从而 cau所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案 函数构造形式:例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 , 首先: ,从而, 取 有所以有 , , , ,相加后可以得到: 另一方面 ,从而有 取 有所以有 ,所以综上有 例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: (加强命题) 例13.证明:

4、 解析:构造函数 ,求导,可以得到: ,令 有 ,令 有所以 ,所以 ,令 有所以 ,所以 例14. 已知 证明解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用 和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是 ， 即 注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 来放缩： ， 即 例16.(2008年福州市质检)已知函数 若 解析:设函数 函数 ）上单调递增，在 上单调递减. 的最小值为 ，即总有 而 即 令 则 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立. (I)求证：函数 上是增函数； (II)当 ；

5、 (III)已知不等式 时恒成立， 求证： 解析:(I) ,所以函数 上是增函数 (II)因为 上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令 ,有 所以 (方法二) 所以 又 ,所以 三、分式放缩 姐妹不等式: 和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式: 和 也可以表示成为 和 解析: 利用假分数的一个性质 可得 即 例20.证明: 解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系

6、 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ 0）上的点列 满足 ，直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 解析:(1) 依题设有： ，由 得： ,又直线 在 轴上的截距为 满足 显然，对于 ，有 (2)证明：设 ，则 设 ，则当 时，。 所以，取 ，对 都有： 故有 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数 ，若 的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数 都有 ？并证明你的结论。 解析:首先求出 , , , , ,故当 时因此，对任何常数A，设 是不小于A的最小正

7、整数， 则当 时,必有 . 故不存在常数A使 对所有 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 , 设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证:解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为 ,所以原命题得证 五、迭代放缩 例25. 已知 ,求证:当 时解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论 例26. 设 ,求证:对任意的正整数k,若kn恒有:|Sn+kSn|解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设 则 ,从而 ,相加后就可以得到 所以 例28. 求证: 解析: 设 则 ,从而 ,相加后就可以得到 例29. 若

8、,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有 解析:容易得到由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当 且 为奇数时 （减项放缩），于是 当 且 为偶数时 当 且 为奇数时 （添项放缩）由知 由得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。 解析:由 知 即 由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为 因此对一切 ， 的充要条件是， 即 ， 满足约束条件 ， 由线性规划得， 的最大值为5 九、均值不等式放缩 例32.设 求证 解析: 此数列的通项为 ， ， 即 注：应注意把握放缩的“度”：

9、上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数 ，若 ，且 在0，1上的最小值为 ，求证： 解析: 例34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， . 解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ， 令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ， 而 ， 则 = ，所以 ，即对每一个 ， . 例35.求证 解析: 不等式左 = ， 原结论成立. 例36.已知 ,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知 ,求证: 解析: 其中: ,因为 所以 从而 ,所以例

10、38.若 ,求证:解析: 因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号所以 所以 所以 例39.已知 ,求证:解析: . 例40.已知函数f(x)=x2(1)k2lnx(kN*).k是奇数, nN*时, 求证: f(x)n2n1f(xn)2n(2n2). 解析: 由已知得 ， (1)当n=1时，左式= 右式=0.不等式成立. (2) , 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以 综上，当k是奇数， 时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数 （1）求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围； （2）令 求证： 例42. (2008年江西高考试题)已知函数 , .对

11、任意正数 ,证明： 解析:对任意给定的 , ,由 , 若令 ，则 ,而 （一）、先证 ；因为 ， ， ， 又由 ，得 所以 （二）、再证 ；由、式中关于 的对称性，不妨设 则 （）、当 ，则 ，所以 ，因为 ， ，此时 （）、当 ，由得 , ， ， 因为 所以 同理得 ，于是 今证明 , 因为 ， 只要证 ，即 ，也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数 ，皆有 例43.求证: 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二项放缩例44. 已知 证明 解析: ， 即设 ，求证：数列 单调递增且 解析: 引入一个结论：若 则 （证略） 整理上式得 （ ） 以 代入（ ）式得 即

12、单调递增。 以 代入（ ）式得 此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。 注：上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有 对通项作如下放缩： 故有 上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可

13、以给出非常漂亮的解决！详见文1。 例46.已知a+b=1,a0,b0,求证： 解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为 成等差数列，设 ， 从而 例47.设 ，求证 . 解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得 ，即 ，得证. 例48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数 ，满足： 对任意 ，都有 ； 对任意 都有 . （I）试证明： 为 上的单调增函数； （II）求 ； （III）令 ，试证明：解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 ,所以可以得到也就是 ,不妨设 ,所以,可

14、以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 ,令 ,则可以得到 ,又 ,所以由不等式可以得到 ,又 ,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为 ,所以 , , 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合有(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难所以数列 的方程为 ,从而一方面 ,另一方面 所以 ,所以,综上

15、有 例49. 已知函数fx的定义域为0,1，且满足下列条件： 对于任意 0,1，总有 ，且 ； 若 则有 （）求f0的值；（）求证：fx4； （）当 时，试证明： . 解析: （）解：令 ，由对于任意 0,1，总有 ， 又由得 即 （）解：任取 且设 则 因为 ，所以 ，即 当 0,1时，（）证明：先用数学归纳法证明： （1）当n=1时， ，不等式成立； （2）假设当n=k时， 由 得 即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式 对一切正整数都成立. 于是，当 时， ， 而 0,1，

16、 单调递增 所以， 例50. 已知： 求证： 解析:构造对偶式：令 则 又 （ 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 . 例51.求证：解析: ， ， 时， ， ， ， . 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证： ，解析: 考虑函数 在区间 上的定积分. 如图，显然 - 对 求和， 例53. 已知 .求证：解析:考虑函数 在区间 上的定积分. - . 例54. （2003年全国高考江苏卷）设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的点 的横坐标为 （ ）.从 上的

17、点 作直线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 . 的横坐标构成数列 . （）试求 与 的关系，并求 的通项公式； （）当 时，证明 ； （）当 时，证明 . 解析: （过程略）. 证明（II）：由 知 ， ， . 当 时， ， . 证明（）：由 知 . 恰表示阴影部分面积， 显然 . 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如： ； ； ； . 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 例56. 设 求证： 解析: 又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩）， ， 于是 例57.设数列 满足 ，当 时 证明对所有 有 ； 解析: 用数

18、学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得 注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:解析:(i)当 时(ii)当 时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当 时 所以当 时 有 (iii)当 时, ,由(ii)可知: 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 ,只要证明 ,其中 通过寻找分析,归纳完成

19、. 例59.求证:对一切 ,都有 . 解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 ,只要证明: . 例60.已知数列 满足: ,求证: 解析: ,从而 ,所以有 ,所以 又 ,所以 ,所以有 所以 所以综上有 引申:已知数列 满足: ,求证: . 解析:由上可知 ,又 ,所以 从而 又当 时, ,所以综上有 . 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列记 , .求证:当 时. (1) ;

20、(2) ; (3)解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 时, ,结论成立; (ii)假设当 时, ,则 时从而 ,所以 所以综上有 ,故 (2)因为 则 , , ,相加后可以得到: ,所以 ,所以 (3)因为 ,从而 ,有 ,所以有 ,从而 ,所以 ,所以 所以综上有 . 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项 , , (1)证明:对任意的 , , ; (2)证明:解析:(1)依题,容易得到 ,要证即证 即证 ,设 所以即证明 从而 ,即 ,这是显然成立的. 所以综上有对任意的(法二)原不等式成立 (2)由(1)知，对任意的 ，有 取 ， 则 原不等式成立 十

21、四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数 .若 在区间 上的最小值为 , 令 .求证: . 证明:首先:可以得到 .先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为 ,相乘得: ,从而 . (方法三)设A= ,B= ,因为AB,所以A2AB, 所以 , 从而 . 下面介绍几种方法证明 (方法一)因为 ,所以 ,所以有 (方法二) ,因为 ,所以 令 ,可以得到 ,所以有 (方法三)设 所以 , 从而 ,从而 又 ,所以 (方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 时,左边= ,右边= 显然不等式成立; (ii)假设 时, ,则 时所以要证明 ,只要证明 ,这是成立的. 这就是说当

22、时,不等式也成立,所以,综上有 探究2.(2008年全国二卷)设函数 .如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围 解析:因为 ,所以 设 ,则因为 ,所以 (i)当 时, 恒成立,即 ,所以当 时, 恒成立. (ii)当 时, ,因此当 时,不符合题意. (iii)当 时,令 ，则 故当 时因此 在 上单调增加.故当 时即 .于是，当 时， 所以综上有 的取值范围是 变式：若 ,其中 且 , ,求证: 证明：容易得到 由上面那个题目知道 就可以知道 同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x(0,1) 恒有 f (x) 1, 求 a的取值范围解析:函数f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为() 当0 a2时, f (x) 在区间 (-, 1) 为增函数, 故对于任意x(0, 1) 恒有 f (x) f (0) =1, 因而这时a满足要求. () 当a2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时a不满足要求. () 当a0时, 对于任意x(0, 1) 恒有 , 这时a满足要求. 综上可知, 所求 a的取值范围为 a2