初三数学圆的复习与整理.docx

1、初三数学圆的复习与整理中考总复习：圆一、目标与策略学习目标： 理解圆及其有关概念，掌握垂径定理和推论，了解弧、弦、圆心角的关系，并会利用这些性质解题； 探索圆的性质，掌握过不在同一条直线上的三点画一个圆； 了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征； 探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系； 了解三角形的内心和外心，外接圆和内切圆； 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积复习策略： 本专题内容突出点在于知识点多，题目变化灵活，是中考的考查重点.复习时，应准确理解与本专

2、题有关的所有概念、性质及有关的定理等.会利用圆心角、圆周角、弦切角解证与角、线段相等的几何问题；利用垂径定理、切线长定理证明一类与圆有关的几何问题；借助于分割与转化的思想方法巧解弧长、扇形面积、圆柱、圆锥有关的问题；综合运用圆、方程、函数、三角、相似等知识解决一类与圆有关的中考压轴题二、学习与应用知识框图知识点一：圆的有关概念和性质（一）圆的有关概念（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 圆可以看成是所有到 的距离等于 的点的 .定点是 ，定长是 圆心确定圆的 ，半径确定圆的 （2）弦、弧、圆心角、圆周

3、角弦：连接圆上任意两点的 叫做弦直径：经过 的弦叫做直径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧：大于 的弧叫做优弧；劣弧：小于 的弧叫做劣弧圆心角：顶点在 的角叫做圆心角圆周角：顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫圆周角（二）圆的有关性质（1）圆是轴对称图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是 （2）垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ；平分弦(不是直径)的 垂直于 ，并且平分弦所对的 （3）弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 ；同圆或等圆中，两

4、个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，它们所对应的其余各组量也 （4）圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 ，都等于这条弧所对的 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 知识点二：与圆有关的位置关系（一）点和圆的位置关系设O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d，则有：（1）点P在圆外d r；（2）点P在圆上d r；（3）点P在圆内d r（二）直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 直线和圆

5、 公共点，我们说这条直线和圆相离（1）直线和圆公共点的个数：直线与圆相交 个公共点；直线与圆相切 个公共点；直线与圆相离 公共点（2）d与r的关系：设O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d，则有：直线与圆相交d r；直线与圆相切d r；直线与圆相离d r.（三）切线的判定和性质（1）切线长的概念：经过圆外一点作圆的 ，这点和 之间的长，叫做这点到圆的切线长；（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 （四）圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有五种：外离、内含、相交、内切、外切（1）两圆公共点的个数：两圆外离 公共点两圆内含 公共点两圆相交 个公

6、共点两圆外切 个公共点两圆内切 个公共点（2）圆心距、半径及两圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r(Rr)，圆心距为d，则两圆外离d R+r；两圆内含d R-r；两圆相交R-r d R+r；两圆外切d R+r；两圆内切d R-r知识点三：圆与正多边形（一）三角形的外接圆和内切圆（1）不在 上的 个点确定一个圆.（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做 三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边 线的交点，叫做这个三角形的 （3）三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做 三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条 的

7、交点，叫做三角形的 （二）圆与正多边形顺次连接圆上的n 点得到的多边形是正n边形（1）一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的 圆；把一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心；外接圆的 叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的 角；中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距（2）圆内接四边形的对角 （3）圆内接正n边形都是 图形，有 条对称轴.圆内接正2n边形是 图形，对称中心是正多边形的 ，即外接圆的圆心（4）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是 圆（5）常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系：设正n边形的半径为r，边心距为d（1

8、）圆内接正三角形中，r= 或d= r；（2）圆内接正四边形中，r= d或d= r；（3）圆内接正六边形中，d= r知识点四：与圆有关的计算（一）弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长为（二）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.在半径为R，为扇形的弧长，n的圆心角所对的扇形的周长：扇形的面积：（三）圆锥（1）连接圆锥 和底面 上任意一点的线段叫做圆锥的母线（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形，若为圆锥母线长，r为底面半径，则圆锥的母线=扇形的半径R；圆锥底面圆周长2r=扇形弧长.圆锥的侧面积： 圆锥的全面积： 经典例题-自主学习考点一：圆的有关概念和性质

9、例1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个考点：本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念例2下列判断中正确的是（ ）A平分弦的直线垂直于弦 B平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦考点：垂径定理例3如图，在两半径不同的同心圆中，AOB=AOB=60，则（ ）A B C的度数=的度数 D的长度=的长度例4如图，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数是（ ）A80

10、B100 C120 D130考点：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补总结升华： 举一反三：【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 考点：垂径定理思路点拨：本题可用几何语言叙述为：如图，AB为O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长解析：【变式2】如图，AB是O的直径，ACD=15，则BAD= 考点：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90思路点拨：AB是直径，则ADB=90，ACD=ABD=15，可求得BAD解析：【变式3】如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB

11、=60，求CD的长思路点拨：因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE= (1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在RtOEF中可求EF的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长解析：考点二：与圆有关的位置关系例5圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与O的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D相切或相交考点：直线和圆的位置关系解析：例6如图，AB、AC是O的切线，将OB延长一倍至D，若DAC=60，则D= 解析：例7若两圆半径分别为R和r(Rr)，圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd， 则两圆的位置关系为（ ）A内切 B内切或外切 C外切 D相交考点：

12、圆和圆位置关系的判定解析：例8OA平分BOC，P是OA上任一点，P不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D不确定考点：直线和圆的位置关系解析：例9ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则ABC的面积为( )A (a+b+c)r B2(a+b+c) C (a+b+c)r D(a+b+c)r考点：内心到三角形三边的距离相等解析：举一反三：【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）A0d3r Brd3r Crd3r Drd3r考点：相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系解析：【变式2】如图

13、，AB是O的直径，AE平分BAC交O于点E，过点E作O的切线交AC于点D，试判断AED的形状，并说明理由考点：角平分线的性质和切线的性质解析：【变式3】在射线OA上取一点A，使OA=4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA所夹的锐角取怎样的值时，A与OB（1）相离；（2）相切；（3）相交考点：直线与圆的位置关系的判定思路点拨：判定直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较：设O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：（1）直线与圆相交dr；（2）直线与圆相切d=r；（3）直线与圆相离dr解析：【变式4】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2

14、和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1AO2= 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦解析：【变式5】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1O2= 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理解析：【变式6】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，则O1O2= 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理思路点拨：分两种情况：1、圆心O1、O2在AB的同侧，如图1；2、圆心O1、O2在AB的两侧，如图2图1 图2解析：考点三：圆与正多边形例10如图，A是半径为2的O外一点，OA=4，

15、AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 考点：切线的性质和扇形面积公式解析：例11扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为 ，扇形的圆心角度数为 考点：弧长公式和扇形面积公式解析：例12用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为 思路点拨：本题中圆柱的侧面展开图为正方形，圆柱底面圆的周长是正方形的边长解析：例13如图，已知扇形AOB的圆心角为60，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点， 则阴影部分的面积等于 考点：扇形面积公式思路点拨：可将阴影部分通过旋转得到一个扇形解析：例14圆锥的母线长5cm，底面半径

16、长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（ ）A180 B200 C225 D216考点：圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长解析：举一反三：【变式1】如图，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是（ ）A B1.5 C2 D2.5思路点拨：五个扇形(阴影部分)的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和，半径为1的扇形面积解析：【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A60 B90 C120 D180考点：此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关

17、概念解析：【变式3】如图所示，在RtABC中，BAC=90，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积考点：会把不可求的阴影面积转化为可求面积思路点拨：连接AD，则阴影面积等于ACD的面积，即等于ABC面积的一半解析：【变式4】在ABCD中，AB=4，AD=2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影部分的面积为 思路点拨：本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式解析：考点四：与圆有关的计算例15边长为2a的正六边形的面积为 考点：正六边形的面积等于六个等边三角

18、形的面积之和解析：例16下列命题正确的是（ ）A各边相等的多边形是正多边形B各内角分别相等的多边形是正多边形C既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D各边相等，各角也相等的多边形是正多边形考点：正多边形的概念及对称性解析：例17同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为 考点：圆和正多边形的关系，边长都用圆的半径表示解析：例18边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为 .考点：用正n边形的边长a 分另表示外接圆与内切圆的半径解析：举一反三：【变式1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）个正三角形；正方形；正五边形； 正六边形；线段；圆；菱形；平行四边

19、形A3 B4 C5 D6考点：会判断轴对称图形和中心对称图形解析：【变式2】如图所示，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为（ ）A24cm B22cm C20cm D18cm思路点拨：正六边形的边长为原正三角形边长的解析：【变式3】如图所示，图，M，N分别是O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON（1）求图中MON的度数；（2）图中MON的度数是 ，图中MON的度数是 ；（3）试探究MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）考点：正多边形和圆的有关计算

20、解析：三、总结结合圆的有关性质求角的度数和线段的长，利用弧长、扇形面积等公式求阴影部分的面积.都是结合图形的直观性解决数的抽象性，并进行形数互化（二）分类讨论思想在判断和圆有关的位置关系时，要注意有几种情况，或在求圆中一条弦所对的圆周角、圆中平行两弦的弦心距等都是利用分类讨论的思想，在不同条件和图形下得到不同的结论（三）化归与转化思想在解决有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形、等信息，从而归结一个相对较容易解决的问题，达到解决问题的目的（四）注意观察、分析、总结 圆这一单元的知识点较多，要注重积累并会应用到实际问题中，总结各种题型之间的变化和联系，拓展解题思路，并会运用数学思想和方法及学会演绎推理的方法，提高推理和表达能力