高等数学第六版课后全部答案.docx

1、高等数学第六版课后全部答案习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解 在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2(x, y)ds, dIy=x2(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为I x = y 2 ( x, y)ds , I y = x2 ( x, y

2、)ds .L Lwww. kh dL L和L2, 则2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1L f (x, y)ds =Ln课x=M y L x ( x, y)ds M y (x, y)ds = , y= x = L . M M ( x, y)ds (x, y)ds后曲线 L 的重心坐标为1f ( x, y)ds + f ( x, y)ds .L2证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 f (i,i )si = f (i,i )si +i =1 i =1 n n1n1答dMx=y(x, y)ds, dMy=x(x, y)ds .令=maxs

3、i0, 上式两边同时取极限 0 0lim f (i ,i )si = lim f (i ,i )si + limi =1 i =1即得L f (x, y)ds =L1f ( x, y)ds + f ( x, y)ds .L23. 计算下列对弧长的曲线积分:awi = n1 +1曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为案 f (i,i )si . f (i,i )si ,nn1 0.c oi = n1 +1为小弧段 ds 上任一点.网m(1) ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0t2);L解L (x2 + y2)n ds =

4、 02 0 22(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt= (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt0L解 L 的方程为 y=1x (0x1);1www. kh d1 10课= x 1+(x2 )2 dx + x 1+ ( x)2 dx01后L xdx = L xdx + Lxdx12= x 1+ 4x 2 dx + 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12x2 + y2 L(4) eds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x

5、及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L=L1+L2+L3, 其中L1: x=x, y=0(0xa),L2: x=a cos t, y=a sin t (0 t ) , 4 L3: x=x, y=x (0 x 2 a) , 2因而L ea 0x2 + y2ds = eL1x2 + y 2ds + eL2= e 1 + 0 dx + x 2 24 ea 0(a sin t) + (a cos t) dt + 2 2awx2 + y2答解 L1: y=x2(0x1), L2: y=x(0x1) .案(3) xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;L网L (x

6、 + y)ds = 0 (x +1 x)11+(1 x)2 dx = ( x +1 x) 2dx = 2 .0ds + eL3= ea (2 + a) 2 . 4.c o1 x2 + y2(2) (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;ds ,02a 2 e 2x12 +12 dxm= a 2n+1dt = 2a 2n+1 .(5) 1 ds , 其中为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从 0 变到 2 2 x + y +z22 的这段弧; dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt d

7、t dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,2 1 1 ds = 2t x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt解 =AB+BC+CD, 其中AB: x=0, y=0, z=t (0t1), CD: x=1, y=t, z=2(0t3),www. kh d故 = 0dt + 0dt + 2t 02 +12 + 02 dt = 9 .0 0 0 1 3 3 x2 yzds = AB x2 yzds + BC x2 yzds + C

8、D x2 yzds(7) y 2ds , 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0t2);L解L y 2ds = 02= 2a3 (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15L(8) ( x2 + y 2 )ds , 其中 L 为曲线 x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0t2). dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt课BC: x=t, y=0, z=2(0t3),2a 2 (1 co

9、s t)2 a(t sin t)2 +a(cos t)2 dtL( x2 + y 2 )ds = a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 atdt0后2答(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);aw案(6) x2 yzds , 其中为折线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)、网=203 et dt = 3 et 2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2.c om= a3(1+ t 2 )tdt = 2 2a3(1+ 2 2 ) .024. 求半径为 a, 中心角为 2的均匀圆弧(线密度=1

10、)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示, 由对称性可知 y = 0 , 又L答(1) I z = ( x2 + y 2 ) (x, y, z)ds = ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )dsL2www. kh dL L0课= a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 a 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4 2k 2 ) . 0 3 (2) M = (x, y, z)ds = (x2 + y 2 + z 2 )ds = (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt= 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4 2k

11、 2 ) , 32x= 1 ML x(x2 + y 2 + z 2)ds = M 06ak 2 , 3a 2 + 4 2k 2 1 2 y = 1 y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6ak2 2 , 3a 2 + 4 k 1 2 z = 1 z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3k (a + 2 k ) , = 3a 2 + 4 2k 2 3k (a 2 + 2 2k 2 ) 6

12、2 6 2 故重心坐标为 ( 2 ak 2 2 , 2 ak 2 2 , ). 3a + 4 k 3a + 4 k 3a 2 + 4 2k 2 =aw12后案解 ds = x2 (t) + y2 (t) + z2 (t)dt = a 2 + k 2 dt .网5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中 012, 它的线密度(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心., 0)a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt.c o所以圆弧的重心为 (a sin mx=Mx a s

13、in = 1 xds = 1 a cos ad = , M 2a L 2a ww课 后 答 案 网w. kh d aw .c o m习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: 证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是L P(x, y)dx = 0 .证明 P( x, y)dx = P( x, 0)dx .L ab证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以b bL解 L: y=x2, x从 0 变到 2, 所以www. kh d56 L (x2 y2)dx = 0 (

14、x2 x4)dx = 15 .2(2) xydx , 其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第L一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t从 0 变到, L2: x=x, y=0, x从 0 变到 2a,因此L xydx = L xydx +L xydx1 2= a(1+ cos t)a sin t(a + a cos t)dt + 0dx0 0课后的一段弧;答(1) (x2 y 2 )dx , 其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4)= a3( sin 2 tdt +

15、 sin 2 td sin t) = a3 . 0 0 2 L(3) ydx + xdy , 其中 L 为圆周 x=Rcost, y=Rsint 上对应 t 从 0 到 的一段弧;2aw2a案3. 计算下列对坐标的曲线积分:网L P(x, y)dx = a P(x, 0)(x)dx = a P(x, 0)dx .c omP(a, t)( da )dt = P(a, t)0dt =0 . b1 dt 1 2. 设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线,L P(x, y)dx = bb2b2解Lydx + xdy = 2 R sin t(R sin t) + R

16、cos tR cos tdt0= R 2 2 cos 2tdt = 0 .0(4) L( x + y)dx (x y)dy , 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); x2 + y 2解 圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t 从 0 变到 2, 所以L后应 从 0 到 的一段弧;www. kh d= (k 3 2 a 2)d = 1 3k 3 a 2 . 0 3(6) xdx + ydy + (x + y 1)dz , 其中 是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 解 的参数方程为 x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t 从 0 变到

17、1.一段直线;课解 x2dx + zdy ydz = 0 (k )2 k + a sin (a sin ) a cosa cos d答(5) x2dx + zdy ydz , 其中 为曲线 x=k, y=acos, z=asin 上对xdx + ydy + (x + y 1)dz = (1+ t) + 2(1+ 2t) + 3(1+ t +1+ 2t 1)dt0 1 0= (6 +14t)dt = 13 .(7) dx dy + ydz , 其中 为有向闭折线 ABCA , 这里的 A, B, C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 =AB+BC+CA,

18、 其中 AB: x=x, y=1x, z=0, x 从 1 变到 0, BC: x=0, y=1z, z=z, z 从 0 变到 1,aw1案2 = 12 (a cos t + a sin t)(a sin t) (a cost a sin t)(a cost)dt a 0 2 = 12 a2dt = 2 . a 0.c o( x + y)dx (x y)dy x2 + y 2网mCA: x=x, y=0, z=1x, x 从 0 变到 1, 故 dx dy + ydz = AB dx dy + ydz + BC dx dy + ydz + CA dx dy + ydz= 1 (1 x)dx

19、+ (1 z) + (1 z)dt + dx = 1 . 0 0 0 21 1 1到(1, 1)的一段弧. 解 L: x=x, y=x2, x从1 变到 1, 故L (x2 2xy)dx + ( y2 2xy)dy= 2 ( x2 4x4 )dx = 14 0 15L1www. kh dL (x + y)dx + ( y x)dy2= ( y 2 + y)2 y + ( y y 2 )1dy = 34 . 1 3 (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解 L: x=3y2, y=y, y 从 1 变到 2, 故L (x + y)dx + ( y x)dy2 1= (3 y 2 + y

20、) y + ( y 3 y + 2)1dy =11(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=1, y=y, y从 1 变到 2, L2: x=x, y=2, x从 1 变到 4,故L (x + y)dx + ( y x)dy= ( x + y)dx + ( y x)dy + ( x + y)dx + ( y x)dyL1 L2课解 L: x=y2, y=y, y从 1 变到 2, 故后(1)抛物线y=x2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;答4. 计算 ( x + y)dx + ( y x)dy , 其

21、中 L 是:aw案网= (x 2 2x3) + ( x 4 2x3)2xdx11.c om(8) ( x2 2xy)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中L是抛物线y=x2上从(1, 1)L= ( y 1)dy + ( x + 2)dx =14 .1 124(4)沿曲线x=2t +t+1, y=t2+1 上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.2解 L: x=2t2+t+1, y=t2+1, t从 0 变到 1, 故L (x + y)dx + ( y x)dy的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功. x=R cos , y=R sin , 从

22、0 变到 , 于是场力所作的功为 2 解 已知场力为 F=(|F|, 0), 曲线 L 的参数方程为L后W = F dr = | F | dx = 2 | F |(R sin )d = | F | R .L 0www. kh d则重力所作的功为 沿直线移到(x2, y2, z2)时重力作的功.解 已知F=(0, 0, mg). 设为从(x1, y1, z1)到(x2, y2, z2)的直线,课6. 设z轴与力方向一致, 求质量为m的质点从位置(x1, y1, z1)W = F dr = 0dx + 0dy + mgdz = mg dz = mg(z2 z1) .z17. 把对坐标的曲线积分 P

23、(x, y)dx + Q( x, y)dy 化成对弧长的曲线L积分, 其中 L 为:(1)在 xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦 cos = cos = cos = 1 , 4 2故L P(x, y)dx + Q(x, y)dyL= P( x, y) cos + Q( x, y) cos dsLP( x, y) + Q( x, y) ds . 2 (2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1); =awz2答案.c o= (3t 2 + t + 2)(4t +1) + (t 2 t)2tdt = 32 . 0 3 5. 一力场由沿横轴正方向的常力 F

24、所构成, 试求当一质量为 m1网m解 曲线 L 上点(x, y)处的切向量为 =(1, 2x), 单位切向量为 (cos , cos ) = e = ( 1 , 2x ) , 1+ 4x 2 1+ 4x 2故L P(x, y)dx + Q(x, y)dyP( x, y) + 2xQ( x, y) ds . 1+ 4x2L(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解 L 的方程为 y = 2x x2 , 其上任一点的切向量为www. kh d= P( x, y) cos + Q( x, y) cos dsL L= 2x x 2 P( x, y) + (1 x)Q( x, y

25、)ds .8. 设为曲线x=t , y=t2, z=t3上相应于t从 0 变到 1 的曲线弧,把对坐标的曲线积分 Pdx + Qdy + Rdz 化成对弧长的曲线积分. 解 曲线 上任一点的切向量为=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为课故L P(x, y)dx + Q(x, y)dy后(cos , cos ) = e = ( 2x x 2 , 1 x) ,答单位切向量为(cos , cos , cos ) = e =L Pdx + Qdy + Rdz = P cos + Q cos + R cos dsL=P + 2xQ + 3 yR ds . 1+ 4x2 + 9

26、 y 2aw1 (1, 2 x, 3 y) , 1+ 2x 2 + 9 y 2案 = (1,1 x ) , 2x x2.c o=网m= P( x, y) cos + Q( x, y) cos dsLww课 后 答 案 网w. kh d aw .c o m习题 103 1. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性: (1) (2xy x2)dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围 成的区域的正向边界曲线;lL (2xy x2)dx + (x + y2)dy= (2xy x 2 )dx + ( x + y 2 )dy + (2xy x 2 )dx + (

27、 x + y 2 )dyL1 L2= (2x3 x2 ) + ( x + x4 )2xdx + (2 y3 y 4 )2 y + ( y 2 + y 2)dy0 110答而( x y )dxdy = (1 2x)dxdy = 0 dyyD Dwww. kh d所以( x y )dxdy = l Pdx + Qdy .DQ P(2) ( x2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中 L 是四个顶点分别为(0, 0)、l(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 解 L=L1+L2+L3+L4, 故L (x2 xy3)dx + ( y2 2xy)dyL1 L2

28、 L3 L4= ( + + + )( x 2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy= x2dx + ( y 2 4 y)dy + ( x2 8x)dx + y 2dy0 0 2 22课1 = ( y 2 y y 2 + y 4 )dy = 1 , 0 3012= 8xdx + 4 ydy = 8 ,0 022而( x y )dxdy = (2 y + 3xy2)dxdyD DQ Paw1 y2Q P案1 1 = (2x5 + 2x3 + x 2 )dx (2 y5 + 4 y 4 + 2 y 2 )dy = 1 , 0 0 30后00.c o(1 2x)dx网m解 L=L1+L2, 故= dx (2 y + 3xy2 )dy = (8x 4)dx = 8 ,0 0 0222所以( x y )d