1、离散数学课后习题答案左孝凌版1-1,1-2(1)解:a)是命题,真值为T。b)不是命题。c)是命题,真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题,真值为T。f)是命题,真值为T。g)是命题,真值为F。h)不是命题。i)j)不是命题。(2)解:原子命题:我爱北京天安门。复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。(3)解:、-a)(P R)Qb)QRc)P d)PQ(4)解:&a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。RQ:我在看电视边吃苹果。c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除
2、。(QR)(RQ):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。(5) 解:a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。PQ b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。PQc)设P:气候很好。Q:气候很热。PQd)e)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。PQf)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Qg)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P Q) R(6) 解:a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQb)P:天气炎热。R:湿度较低。 PRc)R:天正在下雨。S:湿度很高。 RSd)A:刘英上山。B:李进上山。 ABe)M:老王是革新者。N
3、:小李是革新者。 MNf)L:你看电影。M:我看电影。 LMg)h)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQRi)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ1-3(1)解:a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(d))e)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)f)/g)是合式公式。 (2)解: a)A是合式公式,(AB)是合式公式,(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为:A;(AB);(A(AB) 同理可记b)A;A ;(AB) ;(AB)A)c)A;A ;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(
4、BA)d)A;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA)(3)解:a)(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b)?c)(BA)(AB)。(4)解: a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (PP)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到,在a) 中用 P(QP)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到,用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.(5)解:a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Qb) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ)d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R:
5、你伴奏。 P(Q R)(6)解:P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。这个人起初主张:(PQR) S后来主张:(PQ S)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于:后来认为有PQ必同时有R,开头时没有这样的主张。(7)解:a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(PQ) (P(RS)b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP?1-4 (4)解:a) P Q RQRP(QR)PQ(PQ)RT T TT T F|T F TT F FF T TF T FF F TF F FTFFF:TFFFT
6、FFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以,P(QR) (PQ)Rb)| P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F%|。所以,P(QR) (PQ)R)()()()|】所以,P(QR) (PQ)(PR))P QPQPQ(PQ)PQ(PQ):T TT FF TF FFFTTFT$FTFTTTFTTT)FFFTFFFT所以,(PQ) PQ, (PQ) PQ(5)解:如表,对问好所填的地方,可得公式F1F6,可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T( T T T F T T
7、 F F T T) F F F T F F F T F T。 T F F T T F T F F F! T F T T F F T T T F$ F T T F F T F T F F、 F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T TF1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)PQ1 234 5678910-111213141516FF FT;F TFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTT FF*TTTFFFFFTT&TTFFFFTTTTTTFFFFFF
8、FF)TTTTTTTT解:由上表可得有关公式为 2.(PQ) 3.(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(P Q) 8.(PQ) Q Q Q P Q (7) 证明:a)A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB)b)(A B) (AB)(AB) (AB)(AB)| (AB)(AB) 或 (A B) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) (AB)(AB)c)(AB) (AB) ABd)(A B) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB)e)(ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD)
9、 (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(A B)D)f)A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (AB)Cg)(AD)(BD) (AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)Dh)(AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C(8)解:a)(AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TC Cb)A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc)(ABC)(ABC) ) (AA) (BC) T(BC)
10、 BC(9)解:1)设C为T,A为T,B为F,则满足AC BC,但A B不成立。 2)设C为F,A为T,B为F,则满足AC BC,但A B不成立。 3)由题意知A和B的真值相同,所以A和B的真值也相同。 习题 1-5(1)证明:a)(P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT Tb)P(PQ) P(PQ) (PP)Q? TQ Tc)(PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR) (PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d)(ab)(bc) (ca) (ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca)
11、(ac)(bc)(ba)|所以(ab)(bc) (ca) (ab)(bc)(ca) 为重言式。(2)证明:a)(PQ) P(PQ)解法1:设PQ为T(1)若P为T,则Q为T,所以PQ为T,故P(PQ)为T(2)若P为F,则Q为F,所以PQ为F,P(PQ)为T命题得证解法2:设P(PQ)为F,则P为T,(PQ)为F,故必有P为T,Q为F,所以PQ为F。#解法3:(PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T所以(PQ) P(PQ)b)(PQ)Q PQ设PQ为F,则P为F,且Q为F,故PQ为T,(PQ)Q为F,所以(PQ)Q PQ。;c)(Q(PP)(R(R(PP) R
12、Q设RQ为F,则R为T,且Q为F,又PP为F所以Q(PP)为T,R(PP)为F所以R(R(PP)为F,所以(Q(PP)(R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP) RQ成立。(3)解:a) PQ表示命题“如果8是偶数,那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的,那么8是偶数”。c)a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数,那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的,那么8不是偶数”。(4)(5)解:a)如果天下雨,我不去。设P:天下雨。Q:我不去。PQ 逆换式QP表示命题:如果我不去,则天下雨。逆反式QP表示命题:如果我去,则天不下雨b)仅当你
13、走我将留下。设S:你走了。R:我将留下。RS逆换式SR表示命题:如果你走了则我将留下。逆反式SR表示命题:如果你不走,则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。(6)解:联结词“”和“”不满足结合律。举例如下:a)给出一组指派:P为T,Q为F,R为F,则(PQ)R为T,P(QR)为F故 (PQ)R P(QR).b)给出一组指派:P为T,Q为F,R为F,则(PQ) R为T,P(QR)为F故(PQ)R P(QR).(7)证明:设变元P,Q,用连结词 ,作用于P,Q得到:P,Q,P,Q,P Q,P P,Q Q,Q P。但P Q Q P,P P Q Q,故实际有:P,Q,P,Q,P Q
14、,P P(T) (A)用作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):P,Q,P,Q,(P Q), T,F, P Q (B)用 作用于(A)类,得到:P Q,P P F,P Q (P Q),P (P Q) Q,P (P P) P,Q P (P Q),Q Q F,Q (P Q) P,Q T Q, P Q P Q,P (P Q) Q,P T P, Q (P Q) P,Q T Q,(P Q) (P Q) P Q.因此,(A)类使用运算后,仍在(B)类中。对(B)类使用运算得:P,Q,P,Q, P Q, F,T,(P Q), 仍在(B)类中。对(B)类使用 运算得:P Q,P P F,P Q (P Q),P (P Q) Q,P T P,P F P,P (P Q) Q, Q P (P Q),Q Q F,Q (P Q) P,Q T Q, Q F Q, Q (P Q) P, P Q P Q,P (P Q) Q,P T P, P F P,P (P Q) Q, Q (P Q) P,Q T Q, Q T Q,Q (P Q) P,(P Q) T (P Q),(P Q) F P Q,(P Q) (P Q) FT F F,T (P Q) P QF (P Q) (P Q)(P Q) (P Q) P Q.故由(B)类使
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