运筹学课件例题集锦.docx

1、运筹学课件例题集锦1.1线性规划标准型maxZ=c1x1+c2x2+cnxns.t. a11x1+a12x2+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+a2nxn =b2 am1x1+am2x2+.+amnxn =bm x1,x2.xn 0用两个变量的差值代替无约束变量，左边加一个变量将变=，左边减一个变量将变=。目标函数左边乘-1将minZ变maxZ1用对偶单纯形法解下列线性规划问题min S = x1 + 4x2 + 3x4s.t. x1+2x2 - x3 +x4 3 -2x1 - x2+4x3 +x4 2 x1，x2 ， x3， x4 0解：此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法

2、。max S = -x1- 4x2 - 3x4s.t. -x1 -2x2+ x3 -x4 +x5= -3 2x1 + x2-4x3 -x4+x6 = -2 x1，x2 ， x3， x4 ，x5 ，x6 0Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b0x5-1-21-110-30x6214-101-2-1-40-3000常数项是负数且最小，确定出基变量x5。用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1） 主元运算：第一行乘（-1）【提示:表格同上，x5行对应数字乘-1，这里不抄】主元运算：第二行加上 第一行乘（-2）【提示：是对应第

3、二张表的，继续画出表3】计算检验数 确定出基变量X6 确定进基变量X3，主元（-2）Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b0x11211-1030x60-3-2-321-80-2-1-2-10-3主元运算：第一行加 第二行乘（-1/2） 【根据上表继续画表5，行不填】计算检验数：全为非正。但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0）最优值 S = - 7 S=7Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b-1x117/201-2-1/270x303/21-3-1-1/240-1/20-1/2-2-1/2-72用对偶单纯形法解下列线性规划问题min S = x

4、1 + 2x2s.t. -x1+2x2 - x3 1 -x1 -2x2 + x3 6 x1，x2 ， x3 0解：将原问题化成max S = -x1 - 2x2s.t. x1 - 2x2 + x3 + x4 =-1 x1 + 2x2- x3+ x5 =-6 x1,x2,x3,x4,x5 0Cj-1-2000CBXBx1x2x3x4x5b0X41-2110-10X512-101-6-1-20000常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。主元（-2）主元运算：第一行乘（-1/2）【提示：表格同上X4行对应数字乘-1/2，画出表格2】主元运算：第二行加

5、第一行乘（-2）【提示：是对表2而言的，画出表3】常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。3某地区在制定十年电力规划设置决策变量 设备选方案1，2，3的装机台数分别为x1、x2、x3，它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度，备选方案1无前期土建工程要求，备选方案2和3都需要前期土建工程，这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。则x1取值0-5之间的整数，x2、x3取值0-4之间的整数， x4、x5只能取0或1， x6、x7、x8大于零。约束方程 满足装机容量需求约束：10x1+25x2+ 30x3 180满足规划年发电量需求约束：x6+x7 + x8 100各电站容量与发电量平

6、衡方程：每台机组发电量等于单机容量乘全年小时数，再乘与负荷因子，换算亿度量纲，即：方案1：x6=(0.66876010/10000)x1方案2： x7=(0.4876025/10000)x2得三个约束方程：5.782 x1-x6= 0 8.76 x2-x7= 0 18.39 x3-x8= 0每个方案最多的装机台数约束： 方案1：不需前期土建工程； x1 5方案2：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x2 4 x4方案3：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x3 4 x5变量取值限制 x1、x2、x3 0且整数 x6、x7、x8 0 x4或x5=1前期土建工程要求 x

7、4或x5=0 无前期土建工程要求设计目标函数 目标函数：年成本费用最低。 成本包括两大部分：可变成本：与发电量有关的成本，如：原材料，燃料，动力和活劳动消耗等。即参数表中年运行成本。不变成本：指与装机容量及前期土建投资有关的成本。方案1：单机投资回收因子=210.103=2.163(百万元）方案2：单机投资回收因子=700.0578=4.046(百万元）方案3：单机投资回收因子=650.103=6.695(百万元）方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为5040.0578=29.131(百万元）2400.103=24.72(百万元） 对方案1，2，3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,

8、2.28,3.65百万元。则数学模型如下：Min Z = 2.163x1+4.046x2+ 6.695x3 + 29.131x4+ 24.72x5 + 4.11x6 + 2.28x7 + 3.65x8s.t. 10x1+25x2+ 30x3 180 x6+x7 + x8 1004某石油公司四厂七售区炼油厂1234日产量35251540销售区1234567日最大售量25201025101510解：平衡问题，用最小元素法求初始方案。计算检验数。 闭合回路。最优方案如下，最小运费=480000元 有非基变量的检验数=0，有无穷多组解，另外一个解如下：5铁路列车编组站M/M/1/排队问题。其中 =2，

9、 =3，=/=2/32=W1-P0-P1-P2=W1-(l-)- (l-) 1 -(l-) 2=1*3=3=(2/3)3=0.296（小时）故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元6某修理店只有一位修理工解：M/M/1/ /排队问题.其中 =4， =1/0.1=10(人/小时），= /=2/51修理店内空闲的概率P0= 1-= (1-2/5)=0.6店内恰有3个顾客的概率P3= 3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.038店内至少有1位顾客的概率P N1=1-P0=1- (1-)= =2/5=0.4在店内平均顾客数L= / (1-)=(2/

10、5)/(1-2/5)= 0.67(人）每位顾客在店内平均逗留时间W=L/=0.67/4=10分钟等待服务的平均顾客数Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)每个顾客平均等待服务时间Wq = Lq/ =0.27/4=0.0675小时=4分7某单人理发店有6个椅子N=7为系统中最大的顾客数，=3人/小时，=4人/小时1）、某顾客一到达就能理发的概率相当于理发店内无顾客的概率：P0=（1-）/1-N+1=1-（3/4）/1-（3/4）7+1=0.27782）、需要等待的顾客数的期望值？LS=（/1-）-（N+1）N+1/（1-N+1）=(3/4)/1-(3/4）-8(3/4)8/1-(3/4)8

11、=2.11Lq=Ls-(1-P0)=2.11-(1-0.2778)=1.39(人)3）、求有效到达率？e=(1-P0)= 4(1-0.2778)=2.89(人/小时)4）、求一顾客在理发馆内逗留的期望时间？Ws=Ls/e=2.11/2.89=0.73(小时)=43.8（分钟）5）、在可能来的顾客中不等待就离开的概率就是求系统中有7个顾客的概率：P7=（1-）n/1-N+1=(1-0.75)0.757/1-0.758=3.7%8某车间有5台机器解：m=5,=1/15，=1/12, = /=0.8 1）、P0=0.805!/5!+0.815!/4!+0.825!/3!+0.835!/2!+0.84

12、5!/1!+0.855!/0!-1 =1/136.8=0.0073 2）、 P5= 0.855!/0! P0=0.287 3）、Ls=5-（1/0.8）（1-0.0073）=3.76（台） 4）、Lq=3.76-（1-0.0073）=2.77 （台）5）、Ws=5/(1/12)(1-0.0073)-15=46(分钟) 6）、Wq=46-12=34 (分钟) 7)、机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高服务效率，减少修理时间或增加修理工人。9某售票处有三个窗口解：这是一个M/M/c/ / 型排队问题。其中c=3, /=0.9/0.4=2.25, =/c=0.751 1）、整个售票处空

13、闲的概率？P0=(2.25)0/0!+ (2.25)1/1!+ (2.25)2/2!+ (2.25)3/3!1/(1-0.75)-1=0.0748 2）、平均队长？lq=(2.25)30.75/3!(1-0.75)20.0748 =1.7Ls=1.7+2.25=3.95 3）、平均等待时间和逗留时间？Wq=1.7/0.9=1.89(分钟); Ws=3.95/0.9=4,39 4）、顾客必须等待的概率？P(n3)=P(1-P0-P1-P2) =1-0.0748-1 (2.25)1 0.0748/1!- 1 (2.25)2 0.0748/2! =1-0.0748-0.1683-0.1893=0.5

14、67610两个修理工人5台机器解：根据题意，m=5,=1（次/小时），=4（台/小时）c=2, =m/c=5/8=0.625,c/m=0.25P0=(1/5!)(1/5!)(1/4)0+ (1/4!）(1/4)1+( 1/2!3!）(1/4)2+(22/2!）(1/2!)(1/8)3+(1/8)4+（1/8）5-1=0.315 P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018,P5=0.0021）、Lq=P3+2P4+3P5=0.118 2）、Ls=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=1.0923）e=1(5-1.092)=3.908 4）Wq=0.118/3.908=

15、0.03（小时） 5）Ws=1.092/3.908=0.28小时11某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录（1）算出每小时病人平均到达率=nfn/100=2.1（人/小时）每次手术平均时间=vfv/100=0.4（小时/人） 每小时完成手术人数=1/0.4=2.5（人/小时）（2）取=2.1 =2.5。可认为病人到达服从泊松分布，手术时间服从负指数分布。（3）=/=2.1/2.5=0.84说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的，16%空闲（4）病房中病人数Ls=2.1/（2.5-2.1）=5.25（人）排队等待病人数Lq=0.845.25=4.41（人） 病人逗留时间Ws=1/(2

16、.5-2.1)=2.5(小时)病人排队等待时间Wq=0.84/（2.5-2.1）=2.1（小时）12目标规划某人有一笔50万元的资金可用于长期投资解：设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：Max Z=11x1+15x2 +25x3 +20x4+10x5 +12x6+3x7s.t. 3x1+10x2 + 6x3+2x4+x5+ 5x6 5 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7 13 x1+ 3x2 + 8x3 + 6x4+x5+ 2x6 4 15x2 +30x3 +20x4+5x5 +10x6 10 x1+x2 +x3 + x4 +x5 +x6+ x

17、7 = 1 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0整数规划整数规划的一般数学模型:max (min) Z = cjxj s.t. aijxj bi(i=1,2,m)xj 0 且部分或全部是整数13登山准备序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷相机设备重量55261224重要系数201518148410解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品则问题表示成0-1规划:max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4+8x5 +4x6 +10x7s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i

18、=1,2,.714某机械化施工公司解：设每天安排WY50、WY75、WY100液压挖掘机和5t、8t、15t自卸汽车各是X1 、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6台，则根据题意建立整数规划模型为：Min Z = 880 X1 +1060 X2 +1420 X3 +318 X4 +458 X5 +726 X6S.t 401 X1 +549 X2 +692 X3 980 28X4 + 45 X5 + 68X6 980 28X4 + 45 X5 + 68X6 401 X1 +549 X2 +692 X3 X14 X22 X3 1 X4 10 X5 20 X6 10 Xj 0,且为整数。

19、15某种农作物在生长解：假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。数学模型为：min S=4x1+15x2 + 10x3 +13x4s.t. 0.03x1+0.3x2+0.15x4 33 0.05x1+ 0.2x3 +0.1x4 24 0.14x1+0.07x4 24x1，x2 ， x3， x4 0 将模型化为： max S= - 4x1-15x2-10x3-13x4- 0.03x1-0.3x2-0.15x4 +x5= -33 - 0.05x1- 0.2x3 -0.1x4+x6= -24 - 0.14x1-0.07x4+x7 = -24 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0初始

20、可行基B1=（P5，P6，P7）Cj-4-15-10-13000CBXBx1x2x3x4x5x6x7b0x5-0.03-0.30-0.15100-330x6-0.050-0.2-0.10010-240x7-0.1400-0.07001-42-4-15-10-130000第三行乘以1/（-0.14）【提示：根据上表，x7对应行乘那个数字，画出表2】第一行加上 第三行乘（0.03）【提示：对表2而言的，是变第一行，第三行同表2.画表3】第二行加上 第三行乘（0.05）【提示：对表3而言的，是变第二行，第三行同表3.画表4】第一行除（-0.3） 计算检验数Cj-4-15-10-13000CBXBx1

21、x2x3x4x5x6x7b-15x20100.45-3.3300.7800x600-0.2-0.07501-0.36-9-4x11000.500-7.1430000-10-4.25-49.950-18.06-2400第二行除以（-0.2)Cj-4-15-10-13000CBXBx1x2x3x4x5x6x7b-15x20100.45-3.3300.7800x60010.3750-51.845-4x11000.500-7.14300-2850最优解（300，80，45） 最优值S= -2850 S=285016设有街道图，求他的最优投递路线。有四个奇顶点配成两对v2 v4 ，v6 v8（1）任取v

22、2 v4通路v2 v1 v8 v7 v6 v5 v4 任取v8 v6通路v8 v1 v2 v3 v4 v5 v6将通路上的边各重复一次，无奇顶点是欧拉图，有第一个可行方案 重复边总长为=51 （2）调整可行方案：有二条重复边的去了。重复边总长为=21，检查图中圈：总权=24重复边长=14大于24/2（3）去了原重复边，添上原没有的重复边，重复边总长=17，检查图中圈：总权=24， 圈上重复边长=13大于24/2 （4）去了原重复边，添上原没有的重复边重复边总长=15，得最优方案17一个工厂要将产品送到火车站解（1）将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短增流路v0v1v3v4vn，路长为8

23、，可增加1单位的流值。 （2）再求v0到vn的最短增流路v0v1v4vn，路长为9，可增加2单位的流值。（3）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，路长为14，可增加1单位的流值。 （4）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v5vn，路长为18，可增加2单位的流值。最大流为8，最小运费=33+54+34+11+32+22+29+42+43=9018一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若不允许缺货解:R=6000台/月，c3 =1200元，c1 =0.10元/月, k=20元。19一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若允许缺货解： R=6000台/月,c3 =12

24、00元,k=20元,c1 =0.10元/月, c2 =1元/只。、20某店拟出售甲商品解：该站的缺货损失每单位商品为70-50=20。滞销损失每单位商品50-40=10，故k=20， h=1021设某公司利用塑料作原料制成产品出售解：1、计算临界值N=（C2-K）/（C1+C2）=（1015-800）/（1015+40）=0.2042、选 使不等式 成立的Si最小值作S3、原存储I=10，订货量Q=S-I=40-10=304、求s。由于已算出S=40，可以作为s的r值只有30或40两个值。将30作为s得：80030+1015（40-30）0.2+（50-30）0.4+（60-30）0.2=40

25、240将40作为s值，得：60+80040+40（40-30）0.2+1015（50-40）0.4+（60-40）0.2=40260 即左端数值为40240，右端数值为40260，不等式成立，30已是r的最小值，故s=30. 故存储策略为：每个阶段开始时检查存储量I，当I30箱时不必补充存储。当I30箱时补充存储量达到40箱。22木器厂有六个车间，办事员经常要到各个车间了解生产进度。最短路23有一批货物要从v1运到v9求最短运输路线24企业要制定一台重要设备更新的五年计划目标是使总费用最小解：用点vi表示年初。（i=1,2,6）， v6表示第五年底。弧aij=（vi，vj）表示第i年初购置设备

26、使用到第j年初的过程。对应的权期间发生的购置费用和维修费用之和。原问题转变为从v1到v6的一条最短路。得到两条最短路（v1,v3,v6）（v1,v4,v6）表示在第一、三年或第一、四年各购置一台设备，总费用都为53万元。25已知一个地区的交通网络如下，医院。平均路程最短解：这是一个选择地址问题，实际要求出图的中心，可化成一系列求最短路问题。先求出v1到其他各点的最短路长dj ，令d（v1）=max（d1,d2d7），表示若医院建在v1，则离医院最远的小区距离为d（v1）依次计算v2，v3.v7到其余各点的最短路，类似求出d（v2） d（v3）. d（v7），d（vi）中（I=1，27）中最小者。求出各个小区到区中心医院的平均路程的最小者？由于d（v6）= 48 最小，此时离医院最远小区距离为48，比医院建在其他小区时距离都短。同时将区医院建在v6，平均路程为23.71，比医院建在其他小区时距离都短，所以医院应建在v6 。26网络中最大流解：（1）增流路：v0v3v1v2vn增流值=2 （2）增流路：v0v2vn增流值=4 f = 6（3）增流路：v0v1v2v4vn增流值=4 （4）增流路：v0v3vn增流值=3 f =13（5）增流路：v0v1v5v4vn增流值=3 （6）增流路：v0v1v3v4vn增流值=2 f =18（7）判断此时的流