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1、信息光学习题第二章 习题解答2.1一列波长为，的单位振幅平面光波，波矢量 k与x轴的夹角为45，与y轴夹角为60 ，试写出其空间频率及 z =乙平面上的复振幅表达式。2.2尺寸为ax b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明， 求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。2.3波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的2.5图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成， 它们的宽度为a ,长度为b ,中心相距为d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为 z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定 b = ：a及d =a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。

2、如果 对其中一个矩形引入位相差 二，上述结果有何变化？图题2.5 (1)由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场U 0(X0 , y0) - 1 ，透射光场d . d“ x y_2 x y+2U(X0,y) =U(X0,y0)Ut(X0,y0)=rect( 0)rect( 2) rect( 0)rect( 2) (2)a b a b由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离 z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样利用傅立叶变换的相移定理，得到_dF u (xy = F rect(x)rect( p + F rectx)rect(a b a= absinc(afx)sinc(bfy) ex

3、p(_j二 fyd) exp(j二 fyd)ax by n dy= 2absin c( )sin c( ) cos( )/. z /. z /. z把它带入(3 )式，则有exp(jkz)exp j (x2 y2)2z ax、. by、 /： dy、U (x , y ) 2absin c( )sin c( ) cos( )jXz Zz Zz Z z强度分布2,/ 、 f2ab . 2 Fax . 2 iby 2 怎 dy I (x , y ) sinc sinc cos Iz z z z不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:它

4、和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件 b=4a,d=1.5a沿x轴，此时fy =0I (fx，fy) =8a2sinc2 afx中心光强：I(0,0)=8a2极小值位置为：fx = n (n = 1,士2,11 ()a沿y轴：此时fx二0，故2 2 2l(fx,fy)=8a sinc(4afy) cos 1.5二afy中心光强：I(0,0)=8a2n e 1 士2 n极小值位置：f- 及f - (n =1_2,|()y 4a y 3ay方向上强度分布的截面图示意如下：图题2.5 ( 3)t(x,y)= rect 勺 re

5、ct 匹 、x0,=rect二 rect二 rect7 rect f ；弓exp I -j 二 J 、x, yla丿 bexp I-j 兀】+ rectXla丿rectf b由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场U0(x1,y1)=1 ，透射光场，b=4a,d=1.5a 时U(Xi, yj =U(Xi,yi)bt(为，yjd d )rect 空 Irect%巧exp j兀】+rect 竺 irectla丿b2丿bI )I )仝），即z z由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离 z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U（x , y ），它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标利用

6、傅立叶变换的相移定理，得到= 8a2 sin c(afx)sin c(4afy)exp( 1.5jn： fy)exp (j 兀)1+8a2sin c(afx)sin c(4afy)exp(1.5 j兀 fy) =8a si nc(afx)si n c(4afy) exp(1.5 j 二 fy - j 二)exp(1.5j 二 fy)把它带入（3 ）式，则有exp强度分布2；.2 Fax 、 sine ./. z /. z /2.6图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为 t x. =stepx.。采用单位振幅的单色平面波垂直照明， 求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复

7、振幅分布。画出在x方向上的振幅分布曲线。答:F%y肌诫。必却fx片金fy*+耳士 U x,y =花网jkz exp j节 亍土 盏叱.exM丄丄expk A）丄;j 2Xz 匕z入z丿2冗x i V 2z丿丿Uz.丿振幅分布曲线图从略。2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜？(2)给出此屏的焦距表达式。(3 )什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)？ 答：(1 )解t(x,y) = 112衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式:cos: (x2 y2) circXJ I(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透

8、射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因k 2 2子exp |-j亠(x2 +y2)比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分1 2f别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似(2 )解 把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于1 2 2expj: (x y )项，令 ，则有4 2f1k :焦距f1为正，其作用相当于会聚透镜，对于1 2 2 k-exp j - (x y )叽令 ，则有4 2f2f -上-亠f1 焦距f2为负，其作用相当于发散透镜，对于1-”这一项来说，平行光波直接透过，仅振2幅衰减，

9、可看作是(3 )解由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像， 例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像， 另一个像在无穷远(直接透射光)(参看图4.12 )。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接 收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。 除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长成反比。例如取o 0任=6900A , tue =4000A，则有0-57fblue这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。2.10用波长为 =6328 A的平面光波垂直照明半径

10、为 2mm的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。衍射分别要求n( L 詁L孑)即 z用 n (12+15?卩=旳8. 7mm4沙 卩 4x0. 63210z k X? y . mm2.11单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为 a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。答：圆形孔径的透过率可表示为根据式(2.53)有轴上的振幅分布为轴上的强度分布为2.12余弦型振幅光栅的复振幅透过率为时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为U x： ,y：

11、 =a bcos冗一强度分布为a bC0Sf角谱为Afx,fy = a bcosn普 exp j r x.fx yf dx；.dy. d=a A fx, fy冷,叶彳f冷fy jj传播距离z后，根据式(2.40)得到角谱A fx,fy ,z =A- fx,fy expjkz：tfxfy = I,fy exp jkz、-匸入fx 入fy 7d利用二项式近似有wxp(jkzbxpj 事Fy 弋 fx d,fy A fx,fy ,z) wxpjkzaS(fx,fy 片贸丁与 A fx,fy仅相差一个常数位相因子， 因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。心. bf ( 1 ) f 1 FA( fx,fy,Z)FXp.|j- a A fx,f- & fx丁, fy F& f-,fy I-入J 2i I d 丿I d 丿丿对应复振幅分布为因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。Ztz =4A fx,fy ,z)二expljkz ia 5 fx,f对应复振幅分布为U&,yTj叶-心2勺强度分布为I x ,y 2a - b cos2 d