第八单元 直线与圆的方程教学分析.docx

1、第八单元 直线与圆的方程教学分析一教学要求1理解两点间距离公式和中点公式2理解倾斜角和斜率的概念，理解直线方程及直线方程的一般式3掌握直线方程的点斜式与斜截式4了解求两条直线交点的方法和计算点到直线的距离公式5理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件6掌握圆的标准方程和一般方程7理解直线与圆的关系8要加强本单元知识与工程问题的联系，使学生体验解析几何的应用，并掌握解析几何知识的简单应用9通过本单元知识的学习及“解析法”的运用，培养学生数学思维能力及分析、解决问题的能力二教材分析和教学建议（一）编写思路1删繁就简，精心编排本单元教材从两个基本公式讲起，在直线方程部分，在倾斜角和斜率两个重要概念

2、的基础上，介绍了直线方程的点斜式、斜截式及一般式接着给出了求两条相交直线交点的方法，两条直线平行的条件和两条直线垂直的条件，最后是点到直线的距离；在圆的方程部分，首先，给出了曲线与方程的知识，在此基础上，介绍了圆的标准方程和圆的一般方程本单元的最后给出了直线与圆的位置关系及直线与圆的应用2降低难度，贴近学生实际从学生数学的实际水平出发，降低教材起点，将解析几何中的两个基本公式，即两点间距离公式和中点坐标公式写入教材，作为全章的起点同时将例题、练习题、习题和作业题的难度降低，删去传统教材中那些难的和较难的题目，减少题目类型和数量，突出主要题型教材选择解析几何中最基础最经典的内容编写，而没有编入直

3、线方程的点法式、两条直线的夹角、二元一次不等式表示的平面区域等内容3淡化论证，强化计算教材对定理的证明过程和公式的导出过程进行了淡化处理，更多的是强调定理和公式本身，强调其结论的重要性而例题、练习题、习题和作业题都以计算题为主，强调学生对定理会用、用公式会算从而提高学生对定理和公式的使用能力4解析法是全单元的主线借助直角坐标系，利用代数方法研究几何问题的方法叫做解析法解析法的基础是在直角坐标系中：（1）建立点与有序实数对之间的一一对应关系；（2）建立曲线与方程之间的一一对应关系解析几何中两个重要问题是：（1）已知曲线求它的方程；（2）已知方程画出它的曲线通过本单元教学让学生对解析几何的基本思想

4、有所了解和领悟，并初步掌握解析法另外，待定系数法是数学中一种重要的思想方法，教材通过例题详细进行了讲解，并利用试一试引导学生对这个方法进行了总结5重点与难点本单元教材的重点是直线的方程与圆的方程的概念、用“解析法”解决与直线、圆相关的实际问题， 次重点是直线的平行与垂直本单元教材的难点是求直线与圆的方程及用“解析法”解决与直线、圆相关的实际问题（二）课时分配本单元教学约需18课时，分配如下（仅供参考）：81两点间距离公式及中点坐标公式 约1课时82直线的点斜式和斜截式方程 约3课时83直线的一般式方程 约1课时84两条直线的位置关系 约3课时85点到直线的距离公式 约1课时86圆的方程 约5课

5、时87直线与圆的位置关系 约2课时88直线与圆的方程的简单应用 约1课时归纳与总结 约1课时（三）内容分析与教学建议81两点间距离公式及中点坐标公式1. 两点间距离公式 （1）数轴上两点A，B的距离公式AB=x2x1是推导坐标平面上两点间距离公式的基础，在教学中可以利用不完全归纳法，通过实例来验证，归纳，总结得到结论，使学生能认可，并掌握这个就公式. 数轴上两点A，B的距离公式放在平面直角坐标系中，就成了两个，即在x轴上是AB=x2x1，在y轴上是AB=y2y1. 同时，与x轴和y轴平行的直线上的两点距离也适合这个公式. （2）在讲解两点间距离公式之前，需要复习一下勾股定理，它是推导两点间距离

6、公式的主要依据. （3）两点间距离与两点的顺序无关，体现在公式上就是 .2中点坐标公式（1）在教材中，中点坐标公式是利用平面几何中的平行线性质来导出的，以往的教材大多是利用定比分点公式得出，但由于这套教材中没有安排定比分点的内容，因此采用了目前的导出方法（2）数轴上两点的中点坐标公式是坐标平面上两点的中点坐标公式的导出基础，因此首先搞清数轴上两点的中点坐标公式的由来十分必要在教学中可以利用不完全归纳法，通过实例来验证，归纳，总结得出结论，更可以让学生动手练习，参与其中（3）对于中点坐标公式，除了正向应用外，还应做一些反向应用的训练，以使学生能全面掌握这个公式82直线的点斜式和斜截式方程1. 直

7、线的倾斜角和斜率 （1）确定一条直线在坐标平面中的位置，可以用两点来确定，也可以用一点及给定的方向来确定，这后一种方法十分重要，因为用两点确定这些的位置时，也要转化成用方向来确定，因此直线的方向是确定这些位置的要素之一. 倾斜角、斜率都是反映这直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，它们的大小都可以确定直线的方向. 由于斜率可以用两点的坐标来计算，因此在研究直线时，使用斜率比使用倾斜角更为方便. 在研究两条直线的位置关系时，斜率是重要的依据. 因此，搞好斜率公式的教学是学生掌握直线有关知识的关键. （2）倾斜角是一个重要概念，有些学生不能准确地掌握它，关键是对它的定义缺乏全面细致的理解，教学时要逐步

8、讲清定义中的下述问题： 首先可提出问题：在直角坐标系中，过已知点P的任何一条直线，对x轴的相对位置有哪几种情况？ 可根据学生的回答归纳出如图8-1所示的四种情况. 图81教师告诉学生，这四种情况都可以用直线l与x轴所成的角来描述对于图中的（1），（2），（3），我们规定：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于平角的正角叫做这条直线的倾斜角对于图中的（4）则规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0角在得到直线倾斜角的定义之后，需作下述分析：定义中包含三个条件：直线向上的方向；x轴的正方向；最小正角这三个条件缺一不可“直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0角”，这个规定是倾斜角定义的一个重要组

9、成部分倾斜角的取值范围是0180. 根据倾斜角的定义，平面直角坐标系内，任何一条直线都有唯一的倾斜角反之，直线倾斜角的大小确定了直线的方向也就是说，直线的倾斜角客观地表示了直线对x轴的正方向的倾斜程度在求直线的倾斜角时，要特别注意是钝角的情况，学生往往会在此出现错误（3）有关直线的斜率，可作如下分析：直线的斜率k是一个数值，它可以是任何实数用倾斜角的正切，即tan表示直线的倾斜程度最方便，因此不用的其它三角函数表示当倾斜角90时，直线的斜率不存在，但并不是直线不存在，此时直线平行于y轴或与 y轴重合对于此种特殊情况必须给予足够重视，就是说，直线有倾斜角未必有斜率，但直线有斜率时必有倾斜角当倾斜

10、角从0变化到180（不包括180）时，它的斜率变化情况如下： 0时，k0； 090时，k0； 90时，k不存在； 90180时，k0. （4）在推导出过两点的直线的斜率公式后可向学生指出： 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时交换斜率公式表明，直线对于轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不必求出直线的倾斜角，因而，使用时比较方便当x1x2，y1y2，（即直线与x轴垂直）时，直线的倾斜角90，斜率不存在在同一条直线上的任何两点所确定的斜率都相等，这是直线斜率的一个重要性质在求直线斜率时，应尽量使用坐标数值较简单的点斜率公式是研究直线方程各种形式的基

11、础，必须熟记，并且要会灵活运用2直线方程的点斜式（1）在平面内，确定一条直线的位置，除初中平面几何中学过的，利用两点可以确实一条直线外，利用直线上的一点与直线的方向，也可以确定一条直线在直线方程的教学中，要解决的问题是，如何根据直线的某些几何特点来确定直线的方程，如何根据给定的直线方程确定直线的基本特点确定直线方程的条件，尽管有所不同，按已知条件分类，实质上只有两类，一是已知直线上一个点的坐标和这条直线的斜率；二是已知直线上的两个点的坐标由于第二类条件可以转化为第一类条件（由两个已知点求出直线的斜率后就可以转化为一个点和斜率），所以确定直线方程的条件，都可以归结为已知直线上的一点和直线的斜率因

12、此，直线方程的四种形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式中，我们突出点斜式的教学和运用直线方程的其他形式都可以看做是点斜式的推论，这样做不仅适合中职学生的实际水平，减轻学习负担，也可以加深和促进学生对斜率的理解和运用，使重点知识更加突出（2）在推导直线方程的点斜式时，应使学生了解：建立点斜式的主要依据是直线上任意一点与这条直线上一个定点所确定的斜率都相等，并且就是这条直线的斜率 在得出方程k后，必须要把它化成方程yy1k（xx1），因为前者须有xx1，即表示直线上缺少点P1（x1，y1）而后者才是整条直线的方程点斜式yy1k（xx1）是过一点沿一指定方向可以确定一条直线的解析表达式其中，（x1，

13、y1）是直线上的一点，k是直线的斜率对于具体的直线来说，（x1，y1）可以用直线上的另外的点来代替，但k不能改动（3）教材没有给出直线方程的两点式，只是要求学生遇到条件：“已知直线上的两个点的坐标”时，能先利用两点坐标求出直线斜率，然后将其转化为条件“已知直线上的一点的坐标和斜率”再运用点斜式写出直线方程3直线方程的斜截式（1）直线的斜截式方程的重要性并不在于在特定条件下运用它求直线方程比较方便，而在于：它与学生熟悉的一次函数解析式的形式相同，学生易于根据它来研究直线的特点但这里需注意，虽然斜截式方程与一次函数解析式的形式相同，但它们也有不同，即一次函数解析式要求k0，而斜截式却没有这个要求方

14、程中的k和b有明显的几何意义，即k是斜率，b是直线在y轴上的截距因而，我们常用斜截式来研究直线的位置（2）斜截式中的截是直线在y轴上的截距的简称，这里要注意： 截距是坐标的概念，因为它是指直线与y轴交点的纵坐标因此截距可正，可负，可零学生常常会误认为截距是距离的概念，因为它里面有个距字，这是在教学中需要强调的考虑到学生的实际水平，教材没有给出横截距的概念，习题中也未涉及，以免增加难度，教学中也不必补充83直线的一般式方程1本节重点在于建立直线和二元一次方程的对应关系，从而指出二元一次方程的一般形式AxByC0就是直线方程的一般形式建立上述关系，必须解决两点：（1）任何一条直线的方程都可以写成关

15、于x，y的二元一次方程；（2）任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线在论证（1）时，以直角坐标系中每一条直线都有倾斜角为依据，分为90和90两种情况加以研究当90时，直线方程可以写成ykxb；当90时，直线方程可以写成xx1. 这两种形式都可以变形为AxByC0的形式，其中A，B不同时为零教师可以作下述总结：直线二元一次方程在论证（2）时，因为方程AxByC0中，A，B不同时为零，所以将方程分为B0和B0两种情况加以研究 当B0时，方程可化为yx； 当B0时，方程可化为x. 这两种方程，一是直线的斜截式方程，一是与y轴平行或重合的直线方程 教师可以作下述总结：二元一次方程（AxByC0）直

16、线在讲解中，要使学生弄清为什么要论证两点，论证中为什么要分为两类，从而培养学生的分类讨论的能力和思维能力2在直线方程各种形式的互化中，重点是直线方程的点斜式，斜截式化为一般式以及一般式化为斜截式求直线方程时，通常都要求将结果写成一般式将一般式化为斜截式，目的是为了求得直线的斜率和在y轴上的截距，这对于以后研究两条直线的位置关系等问题十分有用3根据直线方程，在直角坐标系中画出直线，是学生必须具备的能力教材中通过例题给出了具体的方法画一条直线时，只要找出直线上任意两点的坐标就可以了通常是令直线方程中的y0，求出x，再令x0，求出y，这样就找到了直线与两条坐标轴的交点A（a，0），B（0，b），过A

17、， B两点的直线，就是所求的直线有时a， b的绝对值很小，A， B两点会很接近，画直线时，误差较大，因而也可以令x 或y取零以外的数值，如1，2，3，等84两条直线的位置关系1两条相交直线的交点（1）求两条相交直线的交点就是解由这两条直线的方程组成的方程组设两条相交直线为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20. 则有P（x0，y0）是l1与l2的交点这样，求两条相交直线的交点坐标的问题就转化为解一个二元一次方程组的问题（2）在这里要强调对二元一次方程组解法的复习解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法，这两种方法都应该要求学生掌握2两条直线平行的条件（1）平行是两条直线位置关系中的

18、重要关系，掌握两条直线平行的条件是这一节教材的教学重点之一为了降低难度，在讨论两条直线平行的条件时，假定了它们都有斜率，且不重合由于教材没有涉及充要条件的概念，但在证明的过程中，仍要讲清问题的两个方面，即“如果l1l2，那么k1k2”和“如果k1k2，那么l1l2” . （2）在证明两条直线平行的条件时，要对初中学过的平面几何中的关于平行线的知识加以复习，同时要对倾斜角和斜率的知识进行复习，以事先扫清教材讲解过程中的障碍在讲解如果k1k2，那么l1l2时，必须强调倾斜角1，2的范围是0180，这样由tan1tan2，才能得到12. （3）由于教材没有涉及充要条件的概念，对于结论l1l2k1k2

19、中的符号可以看做是“如果l1l2，那么k1k2”和“如果k1k2，那么l1l2”的一种综合表示（4）应提醒学生，在使用结论l1l2k1k2时，不要忽略了它的使用前提，即“有斜率 ，且不重合” . （5）在讲解求过已知点（x0，y0）与已知直线AxByC0平行的直线时，除了用书中例题的解法外，在单元后复习时，还可以介绍以下两种解法，以提高学生的解题能力解法1：用求曲线方程的方法设M（x，y）是所求直线上任意一点，由条件知. 化为A（xx0）B（yy0）0. 所得方程即为所求的直线方程解法2：用待定系数法设所求直线方程为AxBym0. 该直线的斜率为，与已知直线的斜率相同，因而两条直线平行因为（x

20、0，y0）是所求直线上的一点，将（x0，y0）代入方程AxBym0，得Ax0By0m0，于是m（Ax0By0）因此，所求直线方程为AxBy（Ax0By0）0. 上述两种解法是解析几何中求曲线方程的常用解法，学生如能灵活运用，会给以后的学习带来方便3两条直线垂直的条件（1）垂直也是两条直线位置关系中的重要关系，掌握两条直线垂直的条件是这一节教材的教学的另一个重点为了降低难度，在讨论两条直线垂直的条件时，假定了它们都有斜率由于教材没有涉及充要条件的概念，但在证明的过程中，仍要讲清问题的两个方面，即“如果l1l2，那么k1”和“如果k1，那么l1l2”（2）在证明两条直线垂直的条件时，要对初中学过的

21、三角形外角定理和互为余角的正切函数公式加以复习，同时要对倾斜角和斜率的知识进行复习，在讲解如果k1，那么l1l2时，必须强调倾斜角1，2的范围是0180，这样由tan1tan（902），才能得到1902. （3）应提醒学生，在使用结论l1l2k1时，不要忽略了它的使用前提，即“有斜率 ”如果没有这个前提，一般情况的结论应该是： 如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数或一个为零，另一个不存在；如果两条直线的斜率互为负倒数或一个为零，另一个不存在，那么两条直线互相垂直（4）负倒数这个概念是相反数和倒数两个概念的合成，求某数的负倒数时，要同时进行两种运算学生在运算中往往顾此失彼，教学中要加强

22、这方面的训练，可给出各种实数，让学生求它们的负倒数（5）在讲解求过已知点（x0，y0）与已知直线AxByC0垂直的直线时，除了用书中例题的解法外，在章后复习时，还可以介绍以下两种解法，以提高学生的解题能力解法1：用求曲线方程的方法设M（x，y）是所求直线上任意一点，由条件知，化为B（xx0）A（yy0）0. 所得方程即为所求的直线方程解法2：用待定系数法设所求直线方程为BxAym0. 该直线的斜率为，与已知直线AxByC0的斜率互为负倒数，因而两条直线垂直 因为（x0，y0）是所求直线上的一点，将（x0，y0）代入方程BxAym0，得Bx0Ay0m0，于是mAy0Bx0. 因此，所求直线方程为

23、BxAy（Ay0Bx0） 0. 85点到直线的距离公式1由于点到直线的距离公式证明较繁，教材将证明过程略去，直接给出公式，主要突出公式的应用在应用时，需注意以下几点：（1）点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式，如果不是，则需先将其化为一般式，然后再用公式（2）点到直线的距离公式的分母部分是一个算术平方根，分子部分是一个绝对值，因此其结果应是一个非负数如果出现负数，说明绝对值的计算出了问题（3）如果计算结果是零，说明点恰好在直线上2如果A0或B0，点到直线的距离公式仍然成立，但是在这种情况下，已无必要再用这个公式例如：（1）求点（2，3）到直线x5的距离d|5（2）|7. （2）求

24、点（2，3）到直线y60的距离d|63|9. 3教材通过例题给出了计算两条平行直线距离的方法，有条件的班级可以利用不完全归纳法，将其总结成公式，即对于两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20，它们的距离是d . 4现给出“证明A（1，1），B（3，3），C（5，4）三点在一条直线上”的四种证法，供教师在教学中参考：证法1：利用ABBCAC. AB2，BC，AC3，ABBCAC. 即A，B，C三点在一条直线上证法2：利用kABkAC. kAB，kAC，kABkAC. 即A，B，C三点在一条直线上证法3：利用点在直线上kAB，又点A坐标为（1，1），直线AB的方程为y1（x1），化成

25、一般式是x2y30. 将C（5，4）代入方程x2y30的左端，得52430，点C在直线AB上，即A，B，C三点在一条直线上证法4：利用点到直线的距离等于0. AB的方程为x2y30. 点C到直线AB的距离为d0，说明点C在直线AB上，即A，B，C三点在一条直线上86圆的方程1曲线与方程（1） 本节以点的轨迹（或集合）知识为基础，运用曲线（点集）与二元方程的解集间的对应关系给出曲线的方程和方程的曲线这两个基本概念这是解析几何中运用联系，运动及变化的观点研究问题的开端曲线与方程的关系反映了事物按一定法则运动，变化，制约的规律同时，这部分内容还体现了形数的统一与转化由此可见，这部分内容有着极其丰富的

26、唯物辩证的思想，是对学生进行思想教育的好机会（2）为使学生深入理解曲线与方程概念的实质，可以进一步分析定义中的两个条件：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”说明曲线上所有的点，它们的坐标都具有方程给出的等式所揭示的性质曲线上没有不具备这个性质的点，这一条反映了点集的纯粹性“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明坐标具备方程所揭示的性质的一切点都在曲线上，无一例外，这一条反映了点集的完备性这两条是缺一不可的，缺第一条不能保证纯粹性，缺第二条不能保证完备性，只有两条全都具备，才能保证曲线的点集与方程的解集一一对应，才能说这个方程是曲线的方程，这条曲线是方程的曲线 （3）我们可以借助于求两条直线的

27、交点问题，通过类比，给出求曲线交点的方法，即求曲线交点就是解由两条曲线的方程组成的方程组在解析几何中，求曲线交点的方法体现了解析几何的基本思想教学中对此务必要给学生讲清楚2圆的标准方程（1）圆是学生熟悉的曲线，本节一开始就根据圆的定义，运用求曲线方程的方法，求出圆的标准方程在圆的标准方程中，圆心坐标和半径，都显而易见因而在一些求圆的方程的问题中，确定圆的标准方程比较简便圆的标准方程又是导出圆的一般方程的依据，所以熟悉掌握圆的标准方程，是学好这一节的关键（2）在求出圆的标准方程之后，可以向学生说明，因为半径大于零，所以化简过程是同解变形，每一步都是可逆的，因此得出的方程确是所求圆的方程（3）在例

28、题的前边，教材安排了一个练一练，已知圆的方程求圆心和半径及已知圆心，半径求圆的方程讲解例题之前，引导学生做好这个练一练，为学习例题做些准备很有必要（4）教材中的例4，求圆的方程还有如下方法，供老师参考：解法1：设所求圆周上任意一点为P（x，y）直径上的圆周角是直角，有PP1PP2（除去P1，P2两点）于是，kPP1kPP21，即1，整理，得x2y210x6y30，即（x5）2（y3）237. 当P点与P1，P2点重合时，上式也成立解法2：设所求圆周上任意一点为P（x，y）由解法1知，PP1P2是直角三角形，|PP1|2|PP2|2|P1P2|2，即（x4）2（y9）2（x6）2（y3）2（46

29、）2（93）2. 整理，得x2y210x6y30，即（x5）2（y3）237. 当P点与P1，P2点重合时，上式也成立3圆的一般方程（1）从方程的形式来看，圆的一般方程比圆的标准方程简单，因而只要把圆的标准方程展开，整理，便可得到圆的一般方程教材首先通过对圆的标准方程的展开，说明任何一个圆的方程都可以化为x2y2DxEyF0的形式然后，根据半径r0，提出当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0为圆的一般方程这时，根据学生情况，可以引导学生思考：D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示什么？可以告诉学生：D2E24F0时，方程表示一个点；D2E24F0时，方程不表示任何曲线（2）将圆的一般方程化为圆的标准方程，有两个方法：一个是背结论，即圆心是，半径是 . 再一个是利用配方法这里，配方法更重要些（3）求圆的方程，如没有特殊要求，结果都要写成一般方程4圆