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1、重庆师范大学课 程 教 学 大 纲(理论课)课 程 名 称： 高等代数 适 用 专 业： 数学与应用数学 课 程 类 别： 学科基础课程 制 订 时 间： 2006年8月 数学与计算机科学学院 制高等代数课程教学大纲（2000年制订，2006年修订）一、课程代码：0501121002二、课程类别：学科基础课程(必修)三、预修课程：无四、学分：10分五、学时：186学时六、课程概述：高等代数是数学与应用数学专业必修的重要基础课程，其理论性较强，概念多，内容比较抽象。本课程主要讲授：一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、欧几里得空间等基础知识基础理论和基本方法。七、教学目的

2、：通过高等代数课的教学，使学生掌握一元多项式及线性代数的基础知识和基础理论、初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法、理解具体与抽象、特殊与一般，有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，为学习本专业其余课程奠定基础，同时加深对中学数学的理解。八、学时分配表：教学内容(章)理论学时实验学时习题课其它备注第一章 多项式307第二章 行列式174第三章 线性方程组266第四章 矩阵172第六章 线性空间307第七章 线性变换174第九章 欧几里得空间154九、教学基本内容第一章多项式（37学时）教学要求：掌握数域的概念，能够判定一些数集是否数域，懂得任何数域都包含有理数域；掌握数域上一元

3、多项式的概念、运算及多项式的和与积的次数，会用多项式相等求待定系数；掌握带余除法定理的结论，能熟练地用竖式作带余除法；掌握多项式整除的概念和性质，能熟练地运用这些性质；掌握最大公因式的概念，特别是(f(x),g(x)；掌握定理2(最大公因式的存在性、基本关系式)的结论，看懂其证明。能熟练地运用辗转相除法求最大公因式；掌握多项式互素的概念，定理3(多项式互素的条件)及多项式互素的性质的证明和结论，并能熟练地运用它们；掌握不可约多项式的概念，不可约多项式与任意多项式的关系及不可约多项式的性质(定理5)的证明及结论，并能正确地运用它们；掌握因式分解及唯一性定理的结论和标准分解式，会用标准分解式求最大

4、公因式；理解多项式的导数及重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别法则；掌握多项式函数及多项式根的概念。掌握定理7(余数定理)及其推论(因式定理)，定理8(根的最多个数)的结论及证明，并能正确运用它们。能熟练地运用综合除法。了解数域P上多项式相等与多项式函数相等(即恒等)的一致性；掌握代数基本定理的结论，复数域上多项式因式分解的结论；了解实系数多项式非实复根的性质，掌握实数域上多项式因式分解的结论；理解有理系数多项式的因式分解问题，可以归结为整系数多项式的因式分解问题，进而熟练地掌握有理系数多项式有理根的求法；掌握艾森斯坦因判别法，能判定整系数多项式在有理数域上不可约，同时懂得有理数域上存在任

5、意次数的不可约多项式；本章重点是：多项式互素、不可约多项式、本原多项式的概念和性质、最大公因式和有理系数多项式有理根的求法。教学内容：一、数域 定义和例子、任何数域都包含有理数域二、一元多项式的定义和运算三、多项式的整除性带余除法定理、整除的定义和基本性质四、多项式的最大公因式最大公因式的概念、性质、辗转相除法和互素多项式五、多项式的因式分解定理 不可约多项式的概念及性质、因式分解定理六、多项式的重因式多项式的导数、多项式有重因式的充要条件七、多项式函数多项式函数和多项式根的概念、余数定理、综合除法因式定理、多项式根的个数、多项式相等的条件八、复数域和实数域上多项式的因式分解(代数基本定理不证

6、明)九、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式、高斯引理、整系数多项式在有理数域上的可约性问题、有理数域上多项式的有理根、艾森斯坦因判别法、有理数域上存在任意次数的不可约多项式。第二章行列式（21学时）教学要求：明确什么是奇、偶排列及其在对换之下的性质；正确理解n级行列式的定义；掌握行列式的性质，能够准确、熟练地运用这些性质，并学会计算行列式的一些常用方法；掌握克兰姆法则(明确定理的前提、结论，熟记求解公式；明确n元齐次线性方程组只有零解的条件)； 本章重点是：行列式的性质，计算。教学内容：一、二级和三级行列式的结构二、排列排列的概念 逆序数及排列的奇偶性 对换及其对排列的作用三、n级行列

7、式的定义四、n级行列式的性质五、行列式按一行(列)展开子式与代数余子式的概念；行列式按一行(列)展开六、行列式的计算七、克兰姆法则第三章线性方程组（32学时）教学要求：理解线性方程组的同解和初等变换的概念，明确消元法的理论根据，理解消元法与矩阵初等行变换的关系，能熟练地运用矩阵的初等行变换解一般线性方程组；理解n维向量和数域P上n维向量空间的概念，掌握n维向量的加法、数量乘法及其运算性质；理解向量的线性组合及向量组等价概念；正确理解和掌握向量组的线性相关、线性无关概念并熟练掌握它们的判别法则；熟练掌握向量组的极大无关组和秩的概念及求法；理解和掌握矩阵秩的概念，能熟练地求矩阵的秩；掌握线性方程组

8、有解判别定理及其应用；明确齐次线性方程组的解集合的基本性质，熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的概念、求法和一般线性方程组解的结构。本章重点是：消元法、向量组的线性相关、线性无关、向量组与矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、齐次线性方程组的基础解系。其中，向量组的线性相关与线性无关也是本章难点。教学内容一、消元法 线性方程组的消元法，矩阵的概念，矩阵的初等变换概念，线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换，任何一个mn矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵定理，用矩阵的行初等变换解线性方程组。二、n维向量空间三、线性相关性线性组合、线性表出、等价向量组的定义及性质、线性相关、线性无关的定义及性质、向量组的

9、基本性质定理、极大无关组、秩的定义及性质。四、矩阵的秩行秩、列秩与矩阵的秩，方阵非退化与满秩的关系，k级子式的定义，矩阵的秩即非零子式的最大级数，初等变换不改变矩阵秩的定理，用初等变换法求矩阵的秩。五线性方程组有解的判别法线性方程组有解判别定理及解的个数定理，线性方程组解的行列式结构公式。六线性方程组解的结构齐次线性方程组的解集合对Pn的两个运算的封闭性，齐次线性方程组的基础解系的概念、求法以及齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。第四章 矩阵（19学时）教学要求：明确矩阵和矩阵相等的概念，掌握矩阵的加法、数量乘法、乘法、转置及其运算性质，并能熟练地运用它们；掌握矩阵乘积的行列式及

10、秩的定理；正确理解和掌握可逆矩阵的概念；掌握可逆矩阵的性质，矩阵可逆的充要条件和求逆矩阵的方法；理解初等矩阵的概念，掌握初等矩阵与初等变换的关系；理解用初等变换求逆矩阵的原理，并且能熟练地使用这个方法；理解矩阵等价的概念，掌握矩阵的等价标准形定理；理解分块矩阵的含义，理解分块矩阵的加法、乘法的意义，会用分块矩阵去简化运算和证明有关问题；本章重点是：矩阵的运算，特别是矩阵乘法、矩阵可逆的条件及逆矩阵的计算。教学内容：一、矩阵的概念二、矩阵的运算矩阵的加法、数量乘法、乘法和转置三、矩阵乘积的行列式与秩四、矩阵的逆可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式五、矩阵的分块分块矩阵，分块矩阵

11、的运算，准对角矩阵六、初等矩阵初等矩阵的定义及基本性质 矩阵等价的概念及等价标准形 用初等变换求逆矩阵的原理及方法第六章线性空间（37学时）教学要求：正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集等概念，掌握集合的简单运算及其性质，掌握证明两个集合相等的最基本的方法；正确理解和掌握映射，变换，映上的映射，1-1的映射，1-1对应，映射的相等，映射的乘积，逆映射等概念；掌握线性空间的概念及其简单性质，初步了解公理化的思想方法，了解常用的线性空间；掌握n维线性空间的维数与基的概念及其求法，理解基在线性空间理论中所起的重要作用；掌握向量空间中向量坐标的概念及其意义，基变换及坐标变换公式，过渡矩阵的概

12、念及其性质；理解和掌握线性空间的子空间的概念和判别方法。理解有限个向量生成的子空间的概念，会求它的一组基。掌握基的扩充定理；掌握子空间的交与和的概念，掌握维数公式；正确理解子空间的和是直和的概念，掌握子空间的和是直和的充要条件，理解任一n维线性空间都能分解成两个子空间的直和；理解线性空间同构的概念、性质及其重要意义，掌握有限维线性空间同构的充要条件；本章重点是：线性空间的维数与基，子空间的和、直和、维数公式、线性空间的同构，其中直和是本章难点。教学内容：一、集合集、子集、集的相等、集合的交与并及其运算律。二、映射 映射、变换、映上的映射、1-1的映射、1-1对应、映射的相等、映射的乘积、可逆映

13、射。三、线性空间的定义、例子及简单性质四、维数、基与坐标五、基变换与坐标变换 基变换及坐标变换、过渡矩阵六、线性子空间 子空间的定义及判别法、由1,2,S生成的子空间、基的扩充定理。七、子空间的交与和子空间的交与和、维数公式八、子空间的直和 子空间的和是直和的定义、和是直和的三个充要条件、n维线性空间分解成两个子空间的直和。九、线性空间同构的定义及同构的充要条件第七章线性变换（21学时）教学目的：理解线性变换的定义，会判别一个变换是不是线性变换。掌握线性变换的简单性质；掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法及其简单性质，理解和掌握可逆线性变换的概念，理解线性变换的多项式；正确理解线性变换的矩阵的概

14、念，并熟练地求出线性变换在给定基下的矩阵。掌握矩阵相似的概念及其基本性质。牢固掌握以下三个基本关系： (1)取定数域P上n维线性空间V的一组基后，V上全体线性变换的集合L(V)与Pnn间存在同构映射； (2)线性变换前后，向量坐标间的关系； (3)基变换前后，线性变换矩阵间的关系。理解特征值和特征向量的概念并且熟练地掌握其求法；理解特征子空间，特征多项式的概念，明确特征多项式的基本性质；全面掌握线性变换(矩阵)可以对角化的条件及其化法；本章的重点是：线性变换的矩阵、特征值、特征向量的定义、性质与计算、矩阵相似的定义与性质；线性变换(矩阵)可以对角化的判定及其化法。教学内容：一、线性变换的定义及

15、其简单性质二、线性变换的运算 线性变换的加法，数量乘法，乘法，可逆线性变换及其逆变换三、线性变换的矩阵 线性变换的矩阵，线性变换与矩阵的同构对应，向量的象的坐标公式，基变换前后线性变换矩阵间的关系，矩阵的相似及其基本性质。四、特征值与特征向量 特征值、特征向量和特征子空间的定义和求法，特征多项式的定义及其基本性质。五、可对角化的矩阵属于不同特征值的特征向量的线性无关性 特征子空间的维数与所属特征值的重数的关系 线性变换和矩阵可对角化的条件第九章欧几里得空间（19学时）教学要求：正确理解内积概念，掌握欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、正交、距离等概念。掌握柯西布涅柯夫斯基不等式和三角不等式。

16、牢固掌握度量矩阵的概念以及不同基的度量矩阵的关系；掌握标准正交基的概念，能熟练地求出一组标准正交基并且理解标准正交基的作用；掌握正交矩阵的概念、性质及其与标准正交基的关系；理解欧氏空间同构的概念及欧氏空间同构的充要条件；理解和掌握正交变换的概念和性质，明确正交变换与正交矩阵的关系；本章的重点是：标准正交基的定义、性质、作用及求法；正交变换(矩阵)的定义、性质；对实对称矩阵A，求正交矩阵T，使为对角矩阵的方法。教学内容：一、欧氏空间的定义与基本性质欧氏空间的定义与内积的简单性质，向量的长度及其性质(包括柯西布涅柯夫斯基不等式，三角不等式)，两向量的夹角与正交“勾股定理” 基的度量矩阵和内积的矩阵

17、表示二、标准正交基 标准正交基的定义、存在性、作用及求法(施密特正交化方法)；正交矩阵的定义、性质及其与标准正交基的关系。三、欧氏空间的同构 定义及充要条件四、正交变换 正交变换的定义、性质；n维欧氏空间的正交变换与n级正交矩阵的关系。十、实验部分：无十一、教材及主要教学参考书教材：北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳、石生明修订，高等代数(第三版)，北京.高等教育出版社，2003年7月。主要教学参考书：重庆师范大学数学与计算机科学学院代数与几何教研室编，高等代数习题课教程(内部交流)；张禾瑞、郝丙新编，高等代数(合订本第一版)，北京.人民教育出版社，1980年5月。执笔人：孟开成2006年8月审定人：李忠碧2006年8月院（系）负责人：李世宏2006年8月