完整版八年级几何辅助线专题训练.docx

1、完整版八年级几何辅助线专题训练常见的辅助线的作法1.等腰三角形“三线合一”法 ：遇到等腰三角形，可作底边上的高， 利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线 ：倍长中线，使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角 形3.角平分线在三种添辅助线 ：（1）可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角 的两边相交，形成一对全等三角形。 （ 3）可以在该角的两边上，距离 角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上 的某点作边线，构造一对全等三角形。4.垂直平分线联结线段两端 ： 在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线，出一对全等三

2、角形。5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线 段的长，6.图形补全法 ：有一个角为 60度或 120 度的把该角添线后构成等边 三角形.7.角度数为 30度、60度的作垂线法 ：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样 可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件。8.面积方法 ：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、等腰三角形“三线合一”

3、法1.如图，已知ABC 中，A90，ABAC，BE平分ABC，CEBD 于E， 求证： CE= BD.2.中考连接：（2014?扬州，第 7题， 3分）如图，已知 AOB=60，点 P 在边 OAOP=12，点 M，N 在边 OB 上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（ ）A3 B4 C 5 D6二、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图则中线 AD的取值范围是 .例 2、如图，ABC中，E、F 分别在 AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较 BE+CF例 3、如图， ABC中， BD=DC=A，CE是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.DEC中考连接：09 崇

4、文）以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ACE ，BAD CAE 90 ,连接 DE，M、N 分别是 BC、DE的中点探究： AM 与DE 的关系 （ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系 是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 （0 90）后，如图三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=ODA2、如图，已知点 C 是 MAN 的平分线上一点， CEAB 于 E，B、D 分别在AM、AN

5、上，且 AE= （AD+AB ）.问：1和2有何关系？中考连接：（2012年北京）如图， OP是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题：（1）如图，在 ABC中， ACB是直角， B=60， AD、CE分别是 BAC、BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD 之间的数量关系；（ 2）如图，在 ABC 中，如果 ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，4,垂直平分线联结线段两端1. （ 2014?广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰 ABC 中， AB=ACDBC=1

6、5，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ， 则A 的度数是2、如图， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、BE的长.中考连接：（2014年广东汕尾，第 19题 7分）如图，在 RtABC 中， B=90，分别以点 A、C为圆 心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、 E，连接 AE（1）求 ADE ；（直接写出结果）（ 2）当 AB=3， AC=5 时，求 ABE 的周长补充：尺规作图过直线外一点做已

7、知直线的垂线五、截长补短1、如图， ABC中，AB=2AC，AD平分 BAC，且 AD=BD，求证： CDAC2、如图， ADBC，EA,EB分别平分 DAB,CBA，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC。03、如图，已知在 ABC 内， BAC 60 ， C 400 ，P，Q分别在 BC，CA上，01800求证： A CA5.如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意一点， AF 平分 DAE 求证： AEBEDF6.如图， ABC 中， ABC=60，AD 、CE分别平分 BAC ，ACB ，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明 .7.如图，RtABC 中，ACB=

8、90，CDAB 于D，AF 平分 CAB 交 CD于 E， 交 CB 于 F，且 EG AB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。六、综合1、正方形 ABCD中， E为 BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=E，F求 EAF2、如图， ABC为等边三角形，点M , N分别在 BC, AC上，且BM CN，AM 与 BN 交于 Q 点。求 AQN 的度数。3、已知四边形 ABCD中， AB AD，BC CD ， AB BC，ABC 120o， MBN 60o， MBN 绕 B点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长 线）于 E，F 当MBN绕B点旋转到

9、 AE CF时（如图 1），易证AE CF EF 当MBN绕B点旋转到 AE CF 时，在图 2和图 3 这两种情况下，上述结数量关系？请写出你的猜想，不需证明4、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点E,F。 MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。 若 AB=2，求四边形 DECF的面积。5、在等边 ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为VABC外一点，且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB 、 AC上移动时， BM、NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长 Q与等边 ABC

10、 的周长 L 的关系中考连接：（2014?抚顺 第 25 题（ 12分）已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90，ABC=ABC=60，RtABC可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线 CC和 AA 相交 于点 D（1）如图 1所示，当点 C在 AB 边上时，判断线段 AD 和线段 AD之间的 数量关系，并证明你的结论；（2）将 RtABC由图 1的位置旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转 角（0）1，20当A、 C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数例 2、如图， ABC中，

11、 E、 F分别在 AB、 AC上， DEDF，D是中点，试比较 BE+CF与 EF的参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 解：延长 AD至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故： EFBE+FC解：延长 AE至 G使 AG2AE，连 BG， DG,显然 DG AC， GDC=ACD由于 DC=AC，故 ADC= DAC在 ADB与 ADG中，BD AC=DG， ADAD， ADB= AD

12、C+ACD= ADC+ GDC ADG故 ADB ADG，故有 BAD= DAG，即 AD平分 BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 ABC Rt ABD 和 等 腰Rt ACE ， BAD CAE 90 ,连接 DE，M、N分别是 BC、DE的中点探究： AM 与 DE的位置关系及数量关系（1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM与DE的位置关系是 ，线段 AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 （0 AC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证 ;AB-AC PB-PC解：（补短法）延长 AC至 F，使

13、AF AB，连 PD ABP AFP（SAS）故 BP PF由三角形性质知PB PC PF PC CFAFACABAC应用：分析： 此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等 边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接 AC，过 E作EF / BC并 AC于F点 则可证 AEF 为等边三角形即 AE EF ， AEF AFE 60 CFE 120又 AD / BC ， B 60BAD 120又 DEC 60 AED FEC 在 ADE 与 FCE 中EAD CFE ， AE EF ， AED FEC ADE FCE AD FC B

14、C AD AE点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三 角形的性质解决。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证： OE=O，DDC+AE =AC证明 （角平分线在三种添辅助线 ,计算数值法）B=60 度, 则 BAC+ BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线 ,则 OAC+ OCA=60 度=AOE= COD; AOC=120 度 .在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAF.则 OAE OAF(SAS), OE=OF;AE=AF;AOF

15、= AOE=60 度.则 COF= AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF.故 OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中， AD平分BAC， DGBC且平分 BC， DEAB于 E， DFAC于 F.1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长.解：（ 垂直平分线联结线段两端 ）连接 BD，DC DG垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD平分 BAC， DEAB 于 E，DFAC于 F，故有 EDDF故 RT DBE RTDFC（HL） 故有 BE

16、CF。AB+AC2AEAE（ a+b） /2BE=（a-b）/2应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图，在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD 、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、 CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 （1）中的其它条件不变，请问， 你在 （1） 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；B解：（1） FE 与 FD 之间的数量关系为 FE FD2）答：

17、（ 1）中的结论 FE FD 仍然成立。证法一：如图 1，在 AC 上截取 AG AE ，连结 FG1 2 ， AF 为公共边，AEF AGFAFE AFG， FE FGB 60 ，AD、CE 分别是 BAC、 BCA的平分线 2 3 60AFE CFD AFG 60CFG 603 4 及 FC 为公共边CFG CFDGEF HDF可证EGFDHFFEFD五、旋转例1 正方形 ABCD中，E为BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE ，

18、 AF=AG ， 所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB=BAE+DAF 又 EAF+ BAE+ DAF=90所以 EAF=45 度例2 D为等腰 Rt ABC斜边 AB的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。 (1) 当 MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。(2) 若 AB=2，求四边形 DECF的面积。D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点，故有 CDAB，CDDA CD平分BCA90， ECD DCA 45 由于 DM DN，有 EDN90 由于 CD AB，有 CDA 90 从而 CDE FDA 故有 CDE ADF（

19、 ASA） 故有 DE=DF2） SABC=2, S 四 DECF= S ACD=1例3 如图， ABC是边长为 3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且 BDC 1200， 以 D为顶点做一个 600 角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为 ；解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法” , 计算数值法 ) AC 的延长线与 BD的延长线交 于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC 为等边三角形， BCD 为等腰三角形，且 BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30=90，DCE=180 - ACD=180 -

20、 ABD=90 ，又 BM=CE ， BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 -60 =60，在 DMN 和 DEN 中，DM=DEMDN= EDN=60DN=DNDMN DEN ，MN=NE在 DMA 和 DEF 中，DM=DEMDA=60 - MDB=60 - CDE= EDF ( CDE= BDM) DAM= DFE=30DMN DEN (AAS) ，MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：AD，DC （或它们的延长线）MBN 60o， MBN

21、 绕 B点旋转，它的两边分别交于 E， F 当MBN 绕 B点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF当MBN绕B点旋转到 AE CF时，在图 2和图 3这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明则 BAE BCK BE BK ， ABE KBC FBE 60，ABC120 FBCABE60 FBCKBC60 KBFFBE60 KBFEBF KF EF KC CFEF即 AE CFEF图 3 不成立，AE、CF、EF 的关系是 AE CF EF2、（西城 09年一模） 已知:PA=

22、2 ,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,使P、D两点落在 直线 AB的两侧 .（1） 如图 , 当 APB=45时 , 求 AB及 PD的长 ;（2）当 APB变化,且其它条件不变时 ,求PD的最大值,及相应 APB的大小.分析：（1）作辅助线，过点 A作 AE PB于点 E，在 Rt PAE 中，已知 APE ，AP 的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求 出，由 PB的值，可求 BE 的值，在 Rt ABE中，根据勾股定理 可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法， 解法一：可将 PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 P AB ，可得 PAD P AB，求PD 长

23、即为求 P B的长，在 Rt APP 中，可将 PP 的值求出，在 Rt PP B中，根据勾股定理 可将P B的值求出；解法二：过点 P作AB的平行线，与 DA的延长线交于 F，交 PB于G， 在 Rt AEG 中，可求出 AG， EG 的长，进而可知 PG 的值，在 Rt PFG 中，可求出 PF，在Rt PDF 中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将 PAD绕点 A顺时针旋转 90 ，得到 PAB，PD 的最大值即为 P B的最大值， 故当 P 、P、B三点共线时， P B取得最大值，根据 PB PP PB可求 P B的最大值，此时 APB 180 APP 135 解：（1）如图，

24、作 AE PB 于点 E Rt PAE 中， APB 45 ， PA 2 PB 4 BE PB PE 3在 Rt ABE 中， AEB 90 AB AE 2 BE 2 10解法一： 如图， 因为四边形 ABCD 为正方形，可将将 PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 P AB ，可得 PAD PAB， PD PB， PAPAPAP 90 ， APP 45 ， P PB 90 PP 2 ， PA 2 PD P B PP 2 PB2 22 4 2 2 5 ；解法二：如图，过点P 作 AB 的平行线，与 DA的延长线交于F，设 DA 的延长线交PBRtAEG 中，可得AGAERtPFG 中，可得

25、PFRtPDF 中，可得PD PF 2 AD AG（ 2）如图所示， 将 的最大值 PP B 中，PB两侧当 P 、 P、AE cos EAG cos ABEPG cos FPG PG cos1015FG 2103ABEPAD 绕点 A 顺时针旋转 90 , 得到PP PB ， PP 2PA2， PBEG105P AB ，B 三点共线时， P B 取得最大值如图）1 ， PG PE3FG25CABEGD231015P F EPD 的最大值， 即为 P B4且 P、D 两点落在直线 AB 的此时 P B PP PB6 ，即 P B 的最大值为此时 APB 180APP 1353、在等边 ABC的

26、两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 AMN的周长 Q与等边 ABC的周长 L 的关系图1 图2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时， BM 、 NC、 MN 之间的数量 关系是 ； 此时 Q ；L（II ）如图 2，点 M、N 边AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III） 如图 3，当 M、N分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= x ，则 Q=（用x、 L 表示）分析：（1 ) 如 果 DM DN ，DMNDNM， 因 为 BD DC ，那么DBCDCB30 ，也就有 MBDNCD 6030 90 ，直角三角形 MBD、NCD中，因为BDDC ，DM DN ，根据HL 定理，两三角形全等 。那么 BMNC ，BMDDNC60 ，三角形 NCD 中，NDC 30， DN2NC ，在三角形 D