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1、5进制转换第5章 进制转换问题 基础知识5.1.1 相关概念1数制数制是人们利用符号进行计数的一种科学方法。数制也称为计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。2进制进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。3数码数制中表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。4基数数制所使用数码的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。5位权位权表示数的符号在不同的位置上时所代表的值是不同的。也就是数制

2、中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。5.1.2 各种常见的进制人们通常采用的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。1十进制（Decimal）十进制是人们日常生活中最熟悉的进位计数制。在十进制中，数码共有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号。计数规则是逢十进一。2二进制（Binary）二进制是在计算机系统中采用的进位计数制。二进制数有两个特点：在二进制中，数码只有0和1两个符号。计数规则是逢二进一。为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加上B表示。例如：二进制数可以

3、写成（）2，或写成B。3八进制数（Octal）由于二进制数据的基数比较小，所以二进制数据的书写和阅读很不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基数R=8=23，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加O表示 例如：二进制数据 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 ，对应的八进制数据 8或。4十二进制（Duodecimal）十二进制在生活中也是经常用到的，例如，长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是12码。此外还有一打12个，钟表转一圈12

4、小时等等。一般在十二进制中，10和11可用M和N表示，有时候也可用A和B表示。5十六进制（Hexadecimal）十六进制是人们在计算机指令代码和数据的书写中经常使用的数制。在十六进制中，由十六个字符09以及A，B，C，D，E，F（或a，b，f）组成（它们分别表示十进制数1015）来描述。计数规则是逢十六进一，即基数R=16=24，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。6六十进位制数（Sexagesimal）古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时，角度的单

5、位度都嫌太大。必须进一步研究他们的小数。它们的小数都具有这样的性质：使1/2，1/3，1/4，1/5，1/6等都能成为他的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60这种小数的进位制在表示有些数时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制中要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。因此就出现了六十进制。5.1.3 进制转换在实际运算中，我们经常用到各种不同的进制，这就需要在各种数制之间进行转换。1其他进制转换为十进制（按权求和）方法是：将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。 例1：N=（）

6、B=（）D按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=16+4+2+ =（）D例2：(38A.11)16转换为十进制数(38A.11)16=3162+8161+10160+116-1+116-2=768+128+10+=2十进制转换成其它进制方法是：分两部分分别进行的，即整数部分和小数部分。 （1）整数部分：（基数除法）把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；把上一次得到的商再除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；继续上一步，直到最后的商为零，这时的余数就是新进制的最高位。（2）小数部分：（基数乘法）把要转换数的

7、小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位。把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；继续上一步，直到小数部分变成零为止。或者达到预定的精度要求或位数要求也可以。3二进制与八进制、十六进制的相互转换二进制转换为八进制、十六进制：它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可。八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。也就是把一个八或十六进制位转换为3或4个二进制位。例3：N=（C1B）H=（）B （C1B）H=

8、1100/0001/1011=（）B4数制转换的一般化（1）R进制转换成十进制 任意R进制数按权展开，相加即可得十进制数据。例如：N = = 1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4 = 8+4+0+1+0+0+ = N = 5A.8H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+ = （2）十进制转换R进制十进制数转换成R进制数，须将整数部分和小数部分分别转换。整数转换除R取余法，规则：1 用R去除给定的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R进制数据的整数部分最低位数字；再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数据的高一

9、位数字；重复执行操作，直到商为0结束。小数转换乘R取整法，规则：1 用R去乘给定的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字；再用R去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R进制小数的低一位数字；2 重复操作，一直到乘积为0，或已达到精度要求或位数要求为止。解决数制转换问题时，如果所给的数值不是用十进制表示的，一般用一个字符型数组来存放。数组的每个元素分别存储它的一位数字。然后按位转换求和，得到十进制表示；再把十进制表示转换成所求的数制表示。转换的结果也用一个字符型数组表示，每个元素表示转换结果的一位数字。根据数制表示中相邻位的基数关系，可以把不

10、同的数制分成两类。一类数制表示中，相邻位的基数是等比关系，例如我们熟悉的十进制表示。另一类数制表示中，相邻位的基数是不等比的。例如在时间表示中，从秒到分采用60进进制；从月到年则采用12进制。把一个数值从数制B的表示bmbm-1b m-2 . b1 转换成十进制表示dnd n-1d n-2 . d1 比较简单。假设数制B中，第i位的基数为basei(1=i=m)，直接把basei与bi 相乘，然后对全部乘积求和。从十进制表示dnd n-1d n-2 . d1 到bmbm-1b m-2 . b1 的转换需要分两种情况考虑： 数制B 中相邻数字的基数是等比关系，即：basei(1=i=m)可以表示

11、成Ci-1 ，其中C是一个常量。将dnd n-1d n-2 . d1 除以C，余数即为b1；将dnd n-1d n-2 . d1 和C 相除的结果再除以C，余数即为b2； ；直至计算出为bm 止。 数制B 中相邻数字的基数不等比。需要先判断dnd n-1d n-2 . d1 在数制B 中需要的位数m，然后从高位到低位依次计算bm、bm-1 、b m-2 、.、b1。 例5001 特殊的四位数（来源： 2405/ 2196）问题描述：找出并输出所有的4位数（十进制数）中具有如下属性的数：四位数字之和等于其十六进制形式各位数字之和，也等于其十二进制形式各位数字之和。 例如：十进制数2991，其四位

12、数字之和2+9+9+1 = 21。由于2991 = 1*1728 + 8*144 + 9*12 + 3，其十二进制形式为1893(12), 其各位数字之和也为21。但是它的十六进制形式为BAF(16)，其各位数字之和等于11+10+15 = 36。因此你的程序要舍去2991这个数据。 下一个数2992，其十进制、十二进制、十六进制形式各位数字之和均为22，因此2992符合要求，应该输出来。（只考虑4位数，2992是第一个符合要求的数）输入：本题没有输入。输出：你的程序要求输出2992及其他更大的、满足要求的四位数（要求严格按升序输出），每个数占一行（前后都没有空行），整个输出以换行符结尾。输出

13、中没有空行。输出中的前几行如输出样例所示。输入样例：本题没有输入。输出样例：29922993299429952996299729982999.解题分析： 该题在求解时要用到枚举的算法思想，即枚举所有的四位数（1000-9999），判断其是否满足十六进制、十二进制和十进制形式的各位数之和相等。由于题目已经告诉你3000以内的所有满足条件的数，因此我们可以直接输出这些数，从3000开始枚举。 将一个十进制数N转换到B进制，其方法是：将N除以B取余数，直到商为0为止，存储得到的余数，然后逆序输出余数即可得到B进制下的数，但由于此题只需要得到N在16、12和10进制下各位的和，所以不需要对余数逆序，直

14、接累加其余数即可。参考程序（zzg）：#include #include #include int base(int b,int n) int sum = 0; while( n != 0 ) sum += n%b; n /= b ; return sum;int main() int i,a; printf(2992n2993n2994n2995n2996n2997n2998n2999n); for(i=3000; i10000; i+) a = base(12,i); if( base(10,i) = a & a = base(16,i) ) printf(%dn,i); return 0

15、; 例5002 进制转换（来源： 2031）问题描述：输入一个十进制数N，将它转换成R进制数输出。输入：输入数据包含多个测试实例，每个测试实例包含两个整数N（32位整数）和R（2=R=16，R10）。输出：为每个测试实例输出转换后的数，每个输出占一行。如果R大于10，则对应的数字规则参考16进制（比如，10用A表示，等等）。输入样例：7 223 12-4 3输出样例：1111B-11解题分析： 这题就是考察十进制转换为其他进制的用法，由于需要转换的是整数，因此只需要把十进制整数除以R取余即可。这里可以采用循环或递归来实现即可。由于R不确定，因此我们可以编写个函数来实现十进制转换为R进制的功能。

16、参考程序（hxx）：#include int TenToR(int num,int r) char m; if(num=0) return 0; TenToR(num/r,r); m=(num%r9 num%r-10+A:num%r+0); printf(%c,m); int main() int n,r; while(scanf(%d %d,&n,&r)!=EOF) if(!n) printf(0); else if(n0) TenToR(n,r); else printf(-); TenToR(-n,r); printf(n); return 0; 例5003 skew数（来源： 2973

17、）问题描述：在skew 二进制数表示中，第k位的值xk 表示xk*(2k+1-1) 。每个位上的可能数字是0或1，最后面一个非零位可以是2，例如, 10120(skew) = 1*(25-1) + 0*(24-1) + 1*(23-1) + 2*(22-1) +0*(21-1) = 31 + 0 + 7 + 6 + 0 = 44. 前十个skew 数是 0、1、2、10、11、12、20、100、101以及102。输入：输入包含一行或多行，每行包含一个整数n。如果n = 0 表示输入结束，否则n 是一个skew 数。输出：对于每一个输入，输出它的十进制表示。转换成十进制后， n 不超过 231

18、-1 = 2 147 483 647。输入样例：101200000000000000000000000100000000000000000001110000000输出样例：44463474737解题分析1: 由于n不超过231-1，因此可以直接用int类型来保存n，位权可以采用移位来实现。参考程序1(hsl):#include #include #include int main() char str1010; while(scanf(%s,str)!=EOF) if(strcmp(str,0)=0) break; int l=strlen(str); int i,j,ans=0,t1=1,t

19、2; for(i=l-1;i=0;i-) t1=t11; t2=t1-1; ans+=(stri-0)*t2; printf(%dn,ans); return 0;解题分析2： 由于skew数位数比较多，超过了int的范围，因此我们只能采用字符数组的形式来接收输入。这里，最大的skew二进制数对应到十进制数为231-1 = 47，对应的skew数为：000000000000000000。一共31位，因此采用长度为32的字符数组即可。剩下的工作就是按位权展开求和就能得到想要的结果。参考程序2：#include #include #include int main() char str32; /读

20、入的每个skew二进制数 while(scanf(%s,str)!=EOF) int len=strlen(str); int num=0; /对应的十进制数 if(len=1 & str0=0) break; int weight=2; /每位的权值为weight-1 int i; for(i=len-1;i=0;i-) num+=(stri-0)*(weight-1); weight*=2; printf(%dn,num); return 0; 例5004 周易（来源： 2989）问题描述： 有人说，中国古代的“周易”是二进制系统的起源，在该系统中，他们用“- -”表示1，“-”表示0。因

21、此，二进制数字“011010”可以表述为“-n- -n- -n-n- -n-n”（符号“n”表示换行）。现在的问题是如何把一个十进制数转换为“周易”中的二进制输入：文件中包含多组测试数据。每个测试数据占一行，包括一十进制整数n（0 = n = 1000000）和表示二进制位数的k（0 k = 20 且 n 2k）。n=0，k=0表示输入结束。输出：对于每组测试数据，输出“周易”中对应的k行二进制数。每组测试数据之间输出一个空行。输入样例：7 30 326 60 0输出样例：- - - - - - -解题分析： 这题首先要把十进制数转换为二进制数，这个可以采用除2取余，再逆序输出即可。其次就是如

22、何输出k位，这里可能涉及到两种情况，一是k要大于实际二进制数的位数，那么前面需要用0来填补。二是k小于实际的位数，那么需要在输出时控制只输出前k位（这里不会出现这种情况，因为题目中已经明确了n 0且k=20，因此我们可以使用一个20位长的整数数组来存储转换后的二进制数，初始化时全部为0。参考程序（hxx）：#include#includeint main() int a20; int n,k; int i; while(1) scanf(%d %d,&n,&k); if(n=0 & k=0) break; for(i=0;i=0;i-) if(ai=1) printf(- -n); else

23、printf(-n); printf(n); return 0; 例5005 奶牛计算器（来源： 3191）问题描述： 由于缺乏数学经验，奶牛想建立一个计算机器（它被称为Cowmpouter），使用二进制数字（基数为2），但它是建立在-2的基础上。他们非常高兴，因为在-2进制表示的数字中不需要符号位。 你知道基数的权值都是从1开始的（0位），然后从右到左依次为基数1次方，基数2次方等等。在-2进制中，其权值从右到左，依次为1，-2，4，-8，16，-32，。因此，从1计数依次是：1，110，111，100，101，11010，11011，11000，11001等等。 很怪异的是，负数也那个用1

24、和0表示，但没有符号位。从-1向下计数依次为：11，10，1101，1100，1111等等。 请帮助奶牛把普通的十进制整数（范围为：-2,000,000,000到2,000,000,000）转换为-2进制对应的数。输入： 输入只有一行，一个需要转换为-2进制的十进制整数。输出： 对应的-2进制的数，没有前导0，0就表示0本身，只用1个0。输入样例：-13输出样例：110111解题分析：此题的解法基于以下几点：（1） 如果一个数是奇数，那么它的二进制形式的最后一位肯定是1，我们可以去掉此 1，就是（x-1)/-2，进入（2）。（2） 如果一个数的最后一位为 0 ，我们可以把这个数右移（可以类比以

25、 2 为基的二进制数的操作）一位，然后它的二进制的倒数第二个数就成了最后一个，就是 x=x/-2，然后进入（1）迭代，直到变为 0。参考程序（hxx）：#include#includeint value;char cache100;int cnt;void reverse() int i; char tmp; for(i=0;icnt/2;i+) tmp=cachecnt-i-1; cachecnt-i-1=cachei; cachei=tmp; int main() scanf(%d,&value); if(value=0) printf(0); goto end; while(value!

26、=1) if(abs(value)%2!=0) cachecnt+=1; value=(value-1)/(-2); else cachecnt+=0; value=value/(-2); reverse(); cachecnt=0; printf(1%s,cache); end:; return 0; 例5006 计算器设计（来源： 1546/ 1334）问题描述： Really Neato计算器公司最近邀请你的团队为他们设计一款超级Neato一代计算器。作为计算机科学家，你建议该计算器能够在各种进制之间进行转换。他们认为这是一个很好的想法，并要求你的团队先给出实现进制转换的算法原型。公司经

27、理告诉你，该计算器应该具有以下一些特征： （1）可以显示7位； （2）按键除了数字0到9外，还包括大写字母A到F； （3）支持216进制。输入：输入文件中的每行为一个进制转换，包括3个数，第1个数是原进制下的一个整数，第2个数就是原进制，第3个数是转换后的进制。这3个数的两边可能有一个或多个空格。输入数据一直到文件结尾。输出：实现所有的进制转换，转换后的数右对齐到7位显示。如果转换后的数的位数太多，超过7位，则输出“ERROR”，也是右对齐到。输入样例：1111000 2 101111000 2 162102101 3 102102101 3 15 12312 4 2 1A 15 212345

28、67 10 16 ABCD 16 15输出样例： 120 78 1765 7CAERROR1100112D687 D071参考程序（zzg）：#include #include long b2ten(char * x,int b);int main() char numsrc10,numdest10; /用来存储读入的数和转换后的数 char temp10; char error10=ERROR; long num; int src,dest; /转换前的进制和转换后的进制 int i,j; /freopen(,r,stdin); while(scanf(%s%d%d,numsrc,&src,&dest)!=EOF) /先把src进制的数转换为10进制数，存放到temp中 num=b2ten(numsrc,src); if(dest=10) if(num9999999) printf(%7sn,error); else printf(%7dn,num); else i=0; while(num)