自习教室开放的优化管理.docx

1、自习教室开放的优化管理装 订 线2011长安大学数学建模暑期培训第轮模拟竞赛题目B题参赛队编号: J0301队员1队员2队员3姓名但佳洪杨亚情吴玲学号120209011322020902282202090230自习教室开放的优化管理摘 要本文在合理的假设之下，针对三个问题建立了合适的模型。对于各个问题，既能达到省电且方便管理的目的，又能使同学们的满意程度在合理范围内。问题一：针对其要求，要使用电量达到最省，并且又要更好的满足同学们的需要。我们把用电量最省作为目标函数，其它条件（如上自习的学生人数、同学的满足程度、教室满座率）作为约束条件建立了一个0-1规划模型，并利用Lingo 9.0求得应该

2、开放35个教室，其用电量最合理为74093w。问题二：对于如何安排教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意度的问题，先考虑到学生的满意度与教室的满座率和宿舍区到自习区的距离这两个因素有关，我们运用模糊数学建立满意度函数，对满意度进行量化，最后再运用最优规划模型建立0-1规划模型，并用Lingo 9.0求解得出最优结果，既能达到省电的目的又能提高学生的满意程度使得满意度达到0.9717。问题三：我们先假设开放全部教室，很显然，不能满足要求，所以我们先计算出了还所需的座位数，再由用电量最省作为约束条件，并利用Visual C+ 6.0求出最优方案。最后对各模型做出了评价。【关键词】 0-1规划模

3、型 模糊数学 Visual C+ 6.0一、问题的重述近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。附录表1是某学校收集的部分数据，管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00-10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。请完成以下问题：1. 假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室

4、满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。2. 假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3. 假设临近期末，

5、上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。二 、模型假设与符号说明1、 模型假设（1）距离与座位数（满座率）的权重为；（2）如果哪个教室被开放，则假设此教室的

6、所有灯管全部打开；（3）学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。2、符号说明符 号含 义各教室的灯管数各教室每根灯管的功率各教室的用电功率各教室的座位数三、问题的分析问题一，针对其要求，要使用电量达到最省，并且又要更好的满足同学们的需要。我们把用电量最省作为目标函数，其它条件（如上自习的学生人数、同学的满足程度、教室满座率）作为约束条件建立了一个0-1规划模型，并利用Lingo 9.0求得应该开放35个教室，其用电量最合理为74093w。问题二，对于如何安排教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意度的问题，先考虑到学生的满意度与教室的满座率和宿舍区到自习区的距离这两个因素

7、有关，我们运用模糊数学建立满意度函数，对满意度进行量化，最后再运用最优规划模型建立0-1规划模型，并用Lingo 9.0求解得出最优结果，既能达到省电的目的又能提高学生的满意程度使得满意度达到0.9717。问题三，我们先假设开放全部教室，很显然，不能满足要求，所以我们先计算出了还所需的座位数，再由用电量最省作为约束条件，并利用Visual C+ 6.0求出最优方案。四、模型的建立及求解 问题一我们对附录表1中表格的数据进行计算，得到了45个教室的用电功率：即： 这样就得到了每一个教室的用电功率，如下表所示：教室座位数该教室的总用电功率164168028816803193240041932400

8、512816206120162071201728812016209110144010120162011641080122473375131902304142102500157016801685168017192240018195240019128162020120162021120172822120162023110144024160162025701080262563375271902304282102500291902304302052500311101440321601620337010803425633753519023043621025003719023043819023043921

9、0250040200230441150250042150230443180230444701250451202160SUM684491187依条件，上自习的学生相互独立，且去上自习的可能性为0.7。显然，去上自习的学生人数服从二项分布：那么上自习的学生人数R为其次我们要满足开放的教室满座率不低于，同时尽量不超过90%，那么每一个开放的教室上自习的学生数为：由题意的要求，要求达到节约用电的目的，那么要求总用电功率最小,在这里我们引入0-1变量：依据上面的两个条件，我们建立以下目标函数Z上的线性表达式和约束条件，得到了以下的标准形式：对此01线性规划问题，我们用Lingo 9.0软件进行求解，运行

10、得到的结果见附录程序一，各自习区教室开放与关闭的情况整理如下表所示（红色表示关闭，绿色表示开放）：1区2区3区4区5区6区7区8区9区161116212631364127121722273237423813182328333843491419242934394451015202530354045按上表所示的安排，我们在满足学生上自习的同时，可以近最大程度达到节约节约用电的目的。 问题二实际生活中上自习学生的满意度一般与两个因素有关，即宿舍区距教室的距离和教室中的座位的满座率。在现实生活中，对我们每个人而言，我们肯定会选择靠近宿舍的教室上自习，如果靠近的教室得不到满足，我们选择较远教室时同时满意

11、程度就相应下降，距离越远，则越不满意，在确定学生区到自习区距离和教室中的座位数对满意度的影响时，可以用模糊分布函数来描述。关于距离因素，结合实际情况，我们对模糊分布函数提出以下假设：1. 在300400米，满意度接近为1； 2. 函数是单调递减的；3. 当距离增加趋于时，函数应该趋近为0。关于教室中的座位数因素，结合实际情况，我们对模糊分布函数也提出以下假设：1. 由问题一，开放的教室满座率不低于,同时尽量不超过90%时，满意程度就不低于95%。在第二题中如果一个区的学生去一个自习区，若要使满意度为95%，由每区800人可知，则座位数不低于约600，不超过700，即当一个自习区的的座位数达到6

12、00700时，满意度为95%；2. 函数是单调递增的；3. 当座位数增加较多时，函数应该趋近为1。 只考虑学生区到自习区距离对满意度的影响根据问题二的分析，综合目标模糊分布函数要求，同时参考我们主观心理，最终选择偏大型的正态分布函数为满意度函数，表达式为：其中，X为学生区到自习区的距离。对于未知的求解，由假设可知，当距离为300左右，满意度接近1，所以我们假设当距离为350时，满意度为0.99，因此求得，通过MATLAB，我们将距离和满意度的关系表示如下：由图形可知，当X=300时满意度为1，同时符合单调递减，在距离增加时，函数趋近于0，符合我们的假设。 只考虑教室的满座率即总共的座位数对满意

13、度的影响与上述相同，得到满意度函数，表达式为：其中，X为座位数。由假设可知，当座位数达到时，满意度为95%，因此求得，通过MATLAB，我们将座位数和满意度的关系表示如下：函数是单调递增的，同时当座位数增加时，函数趋近于1，符合我们的假设。由图可知各指标所对应的满意度约为：距 离 指 标座 位 数 指 标距离满意度座位数满意度300-40018001400-5000.95700-8000.98500-6000.9600-7000.95600-7000.8500-6000.9因此我们建立模糊函数综合评价模型，然后我们以10个区分别讨论，这里以区为例：该矩阵是学生区分别到分别关于距离（第一行）、座

14、位数（第二行）的满意度的评价矩阵。由我们假设可知距离与座位数（满座率）的权重为，即距离与座位数（满座率）同等重要，它的综合模糊评价向量，就是分别到的满意度。由以上的方法可以分别得到的满意度，最终，所有满意度可得出如下所示：令，则表示第j个宿舍区到第i个自习区的满意度矩阵。 多目标优化模型1. 节约用电的目标；2. 满意程度高的目标；3. 尽量安排开放同区的教室的目标。 节约用电的目标模型： 满意程度高的目标模型： 即： 尽量安排开放同区的教室的目标模型：下面我们将三个目标函数相乘，由约束条件取最小值，转化为单目标优化模型如下：我们用Lingo 9.0软件进行求解，运行得到的结果见附录程序二，各

15、自习区教室开放与关闭的情况整理如下表所示（红色表示关闭，绿色表示开放）：1区2区3区4区5区6区7区8区9区161116212631364127121722273237423813182328333843491419242934394451015202530354045通过运用软件对模型的求解，可以得到总目标函数的值为35588750，通过表格，可以看出9个自习区全部开放，且每个自习区开放的教室数最少为3个，尽量安排了开放同区的教室。下面，我们根据上表求最优用电量，根据开放的教室，以及各个教室中的灯管数和每只灯管的功率，可以得到总的用电功率最小为：,用电时间为晚，共计三个小时，利用物理学中的公

16、式:可以计算得到最小的用电量为: 将所得结果返回第一个分目标函数，可得到此种安排方式的最低满意程度为90.94%，最高可达100%。 问题三通过题意知道了上自习的同学的期望值为（人），要使需要上自习的同学的满足程度不低于，所以最少提供个座位。我们先假设开放全部教室（都开放的话共计6844个座位），很显然，这并不能满足要求开放的教室满座率不低于4/5、同时尽量不超过95%的要求，故必须搭建临时教室。根据题意知道需要建教室，在不考虑教室座位的限制的情况下，让学生的满意度达到最大值。下面，我们将计算出在全部45个教室都开放的前提下还所需的座位数（设G为还所需的座位数），则由下式：可得，。再者，由用电

17、量最省作为约束条件，并利用Visual C+ 6.0可求得出的优化方案如下所示：方案搭建数搭建总功率搭建总座数搭建教室1教1所在区教1座位数教1总功率搭建教室2教2所在区教2座位数教2总功率方案012306027023511014403271601620方案022306027024516016203171101440方案03230602709211014403271601620方案042306023819412816203171101440方案05230602389211014402251281620方案06230602389211014402451281620方案07230602385112

18、816203171101440方案0823060238511281620921101440方案092306023022512016203171101440方案102306023020412016203171101440方案11230602306212016203171101440方案12230602308212016203171101440方案132306023010212016203171101440 从上表中可以看出，上表中的13种临时教室搭建方案中，搭建的教室的总功率均为最优（最小）：3060W，且均是搭建两个教室，但是相比之下方案1、方案2和方案3为最优，因为这三种方案不仅最节电，而且

19、教室的总座位数（270）相比之下均比其它方案多。所以，最优方案为上表中的方案1、方案2或方案3。五、结果的分析对于问题二，应用模糊数学求得满意度，利用最优化模型并用Lingo 9.0求得结果，可以减少一些人工误差，但是为了求解的简便，我们赋权重，这样会使答案与实际有一定的偏差。六、模型评价与推广 模型评价 优点1. 对问题所给的数据进行了仔细的分析和全面的统计；2. 模型一的最优化方案的设计综合考虑了教室满座率和用电量最少，具有实用性。 缺点在权重的赋值时，存在人为因素，导致结果有偏差。 模型推广该模型不仅应用在学校，而且还在其他的优化系统中有着很广泛的应用，由于线性规划的问题涉及的因素很多，

20、因此我们建立约束条件来满足所有的因素。因此我们在解答线性规划的优化问题时，首先建立目标函数，其次依据所有的因素建立目标函数的约束条件，最后借助数学软件来求解，得到我们满意的方案。因此，对于生活中的实际问题，我们依据模型中的方法，我们可以为决策者提供一定经验，让决策者采用更合理的方案。对决策者有一定的指导意义。参考文献【1】 谭浩强，程序设计（第二版），清华大学出版社，年月【2】 面向对象程序设计，清华大学出版社，年月【3】 姜起源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003年8月【4】 董臻圃，数学建模方法与实践，国防工业出版社，2006年8月【5】 【6】 附录 表1 教室相关数据教室

21、座位数灯管数开关数一个开关控制的灯管数灯管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w41935051048w51283621845w61203621845w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w1164273940w122477551545w131904831648w142105051050w15704231440w16854231440w171924841250w181955051048w191283621845w201203621845w21120364948w221203631245w23110

22、3631240w24160364945w2570273940w262567551545w271904831648w282105051050w291904831648w302055051050w311103631240w32160364945w3370273940w342567551545w351904831648w362105051050w371904831648w381904831648w392105051050w402004831648w411505051050w421504831648w431804831648w4470255550w451204531548w 表2 学生区(标号为A)到

23、自习区(标号为B)的距离(单位:米)B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A4324541320466422650306607688A5696616475499386557428684591A6465598407476673573385636552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A10

24、482477441361570580591491522 程序一Lingo 9.0源代码：model:sets: row/1.3/:b; col/1.45/:c,x; matrix(row,col):A;endsetsmin=sum(col:c*x);for(col:BIN(x);for(row(i): sum(col(j):A(i,j)*x(j)=b(i);data:c=1680,1680,2400,2400,1620,1620,1728,1620,1440,1620,1080,3375,2304,2500,1680,1680,2400,2400,1620,1620,1728,1620,144

25、0,1620,1080,3375,2304,2500,2304,2500,1440,1620,1080,3375,2304,2500,2304,2304,2500,2304,2500,2304,2304,1250,2160; b=5320,-5320,1;A=57.6,79.2,173.7,173.7,115.2,108,108,108,99,108,57.6,222.3,171,189,63,76.5,172.8,175.5,115.2,108,108,108,99,144,63,230.4,171,189,171,184.5,99,144,63,230.4,171,189,171,171,189,180,135,135,162,63,108,-51.2,-70.4,-154.4,-154.4,-102.4,-96,-96,-96,-88,-96,-51.2,-197.6,-152,-168,-56,-68,-153.6,-156,-