1、离散数学习题解答共33页离散数学习题(xt)答案习题(xt)一1. 判断下列句子(j zi)是否为命题?若是命题说明是真命题还是假命题。(1)3是正数(zhngsh)吗?(2)x1=0。(3)请穿上外衣。(4)210。(5)任一个实数的平方都是正实数。(6)不存在最大素数。(7)明天我去看电影。(8)9512。(9)实践出真知。(10)如果我掌握了英语、法语,那么学习其他欧洲语言就容易多了。解:(1)、(2)、(3)不是命题。(4)、(8)是假命题。(5)、(6)、(9)、(10)是真命题。(7)是命题,只是现在无法确定真值。2. 设P表示命题“天下雪”,Q表示命题“我将去书店”,R表示命题“
2、我有时间”,以符号形式写出下列命题。(1)如果天不下雪并且我有时间,那么我将去书店。(2)我将去书店,仅当我有时间。(3)天不下雪。(4)天下雪,我将不去书店。解:(1)(PR)Q。(2)QR。(3)P。(4)PQ。3. 将下列命题符号化。(1)王皓球打得好,歌也唱得好。(2)我一边看书,一边听音乐。(3)老张和老李都是球迷。(4)只要努力学习,成绩会好的。(5)只有休息好,才能工作好。(6)如果a和b是偶数,那么a+b也是偶数。(7)我们不能既游泳又跑步。(8)我反悔,仅当太阳从西边出来。(9)如果f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处可微。反之亦然。(10)如果张老师和李老师都不讲这
3、门课,那么王老师就讲这门课。(11)四边形ABCD是平行四边形,当且仅当ABCD的对边平行。(12)或者你没有(mi yu)给我写信,或者信在途中丢失了。解:(1)P:王皓球打得好,Q:王皓歌唱(gchng)得好。原命题可符号化:PQ。(2)P:我看书(kn sh),Q:我听音乐。原命题可符号化:PQ。(3)P:老张是球迷(qim),Q:老李是球迷。原命题可符号化:PQ。(4)P:努力学习,Q:成绩会好。原命题可符号化:PQ。(5)P:休息好,Q:工作好。原命题可符号化:QP。(6)P:a是偶数,Q:b是偶数,R:a+b是偶数。原命题可符号化:(PQ)R。(7)P:我们游泳,Q:我们跑步。原命
4、题可符号化:(PQ)。(8)P:我反悔,Q:太阳从西边出来。原命题可符号化:PQ。(9)P:f(x)在点x0处可导, Q:f(x)在点x0处可微。原命题可符号化:P Q。(10)P:张老师讲这门课,Q:李老师讲这门课,R:王老师讲这门课。原命题可符号化:(PQ)R。(11)P:四边形ABCD是平行四边形,Q:四边形ABCD的对边平行。原命题可符号化:P Q。(12)P:你给我写信,Q:信在途中丢失了。原命题可符号化:P (PQ)。4. 判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。(1)(QRS) (2)(P (RS)(3)(PQ) (QP)(4)(RSF)(5)(P(QR)(PQ) (PR)
5、解:(1)、(2)、(5)是合式公式,(3)、(4)不是合式公式。5. 否定下列命题: (1) 桂林处处山清水秀。(2) 每一个自然数都是偶数。解:(1)桂林并非处处山清水秀。(2)并不是每一个自然数都是偶数。或:有些自然数不是偶数。6. 给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。(1) 如果天下雨,我将不去。(2) 仅当你去我才不去。(3) 如果=b24ac0,则方程ax2+bx+c=0无实数解。(4) 如果我不获得奖学金,我就不能完成学业。解:(1)逆命题:如果我不去,那么天下雨。否命题:如果天不下雨,我就去。逆否命题:如果我去,那么天不下雨。(2)逆命题:如果你去,我将不去。否命题:
6、如果我去,你将不去。逆否命题:如果(rgu)你不去,我就去。(3)逆命题:如果(rgu)方程ax2+bx+c=0无实数(shsh)解,则=b24ac0。否命题(mng t):如果=b24ac0,则方程ax2+bx+c=0有实数解。逆否命题:如果方程ax2+bx+c=0有实数解,则=b24ac0。(4)逆命题:如果我不能完成学业,那么我没有获得奖学金。否命题:如果我获得奖学金,我就能完成学业。逆否命题:如果我就能完成学业,那么我就获得奖学金。7. 求下列各式的真值表。(1)P(RS) (2)(PR) (PQ)(3)(PQ) (QP)(4)(PQ) R(5)(P(QR)(PQ) (PR)解:(1)
7、P(RS)PRSRSP(RS)1111111011101111000001111010110011100001(2)(PR) (PQ)PQRPRPQ(PR) (PQ)111111110011101101100000011011010011001011000011(3)(PQ) (QP)PQPQQP(PQ) (QP)11111101110111100001(4)(PQ) RPQRQPQ(PQ) R111011110010101111100110011000010000001111000110(5)(P(QR)(PQ) (PR)PQRQRP(QR)PQPR(PQ) (PR)原公式111111111
8、1100010011011101111001100110111111110100111110011111110001111118. 用真值表判断(pndun)下列公式的类型:(1) PQQ(2) (PQ)(RS)(PR)(QS) 解:(1) PQQPQQPQPQQ11011101100100100110(1)为可满足(mnz)式。(2) (PQ)(RS)(PR)(QS)PQRSPQRS(PQ)(RS)PRQS(PR)(QS)原公式11111111111111010111111101111111111001111111101101111111010000100110010111111100001
9、110000111111111101101001111010111101110100111011100111111111001010110000001111011100001110011(2)为可满足(mnz)式。9. 证明(zhngmng)下列等价式。(1)P(QP) P(PQ)(2)(P Q) (PQ) (PQ)(3)(PQ) PQ(4)(P Q) (PQ) (PQ)(5)P(QR) (PQ) R(6)(PR) (QR) (PQ) R(7)(PQ)R) (Q(SR) (Q(SP) R证明(zhngmng):(1)P(QP) P(QP) P(PQ)P(PQ)(2)(P Q)(PQ) (PQ)
10、 (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(3)(PQ) (PQ) PQ(4)(P Q) (PQ)(QP) (PQ) (QP) (PQ) (PQ)(5)P(QR) P(QR) (PQ) R (PQ) R(6)(PR) (QR) (PR) (QR) (PQ)R(PQ)R (PQ) R(7)(PQ)R) (Q(SR) (PQ) R) (Q(SR) Q(PS)R(Q(SP) R (Q(SP) R (Q(SP) R10. 使用恒等式证明(zhngmng)下列各式,并写出它们对偶的公式。(1)(PQ)(PQ) P(2)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(3)Q(PQ)P) T证明:(1)(PQ)(PQ)
11、(PQ)(PQ)P(QQ) PTP(2)(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ)(PQ)PF(PQ) P(PQ)(PP)(PQ) F(PQ)(PQ) (PQ)(3)Q(PQ)P)Q(PQ)P) Q(PQ)P( QPP ) (QPQ) TTT11. 试证明,不是全功能联结词集合。证明:若是最小联结词组,则 P( P.)对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,等价式矛盾。若是最小联结词组,则 P P ( P( P.).)对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,等价式矛盾。12. 证明下列蕴涵式:(1)PQ(PQ) (2)P (QP) (3)(P(QR) ( PQ) (PR)证明:(
12、1)PQ(PQ)( PQ)(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ)T因为PQ(PQ)为永真式,所以PQ(PQ)。(2)P ( QP) P(QP) Q(PP) T因为(yn wi)P ( QP)为永真式,所以(suy)P (QP)。(3)(P(QR) ( PQ) (PR) (P(QR)(PQ) (PR)(P(QR)(PQ) (PR) (PQR)(PPR)(QPR)(PQR)(PQR)(P(PQR)(Q(PQR)(R(PQR) ) T因为(yn wi)(P(QR) ( PQ) (PR)为永真式,所以(suy)(P(QR) ( PQ) (PR)。13. 对下列各公式,试仅用或表示。(1)P(2)PQ(3
13、)PQ(4)PQ解:(1)P(PP) PP(2)PQ(PQ)(PQ)(3)PQ(PQ) (PQ) (PP)(QQ)(4)PQPQ (PP)Q (PP)(PP)(QQ)14. 将下列公式化成与之等值且仅含,中联结词的公式。(1)(PQ)R(2)P (QR)P解:(1)(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)(PR)(QR)(RP)(RQ)(RP)(RQ)(2)P (QR)P(P(QR)P)(QR)P)P)(P(QR)P)(QR)P)P) T(QR)P)P)(QR)P) P(QR)P(QR) P(QR)15. 如果A(P,Q,R)由R(Q(RP)给出,求它的对偶A*(P,Q,R),并求出与A及A*等价
14、且仅包含联接词“”,“”及“”的公式。解:A*(P,Q,R):R (Q(RP)R(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)R (Q(RP)RQ(RP)16. 把PQ表示为只含有“”的等价公式。解:PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)17. 证明:(1)(PQ)PQ(2)(PQ)PQ证明:(1)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)PQ(2)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)PQ18. 求公式(gngsh)P(PQ)的析取范式和合取范式。解:P(PQ) P(PQ) 合取范式 (PP)(PQ) 析取范式19. 求下列(xili)公式的主析取范式和主合取范式。(1)(PQ)(QP
15、) (2)(P (PQ)R(3)(P QR)(P (QR)解:(1)真值表法PQPQQP(PQ)(QP)11111101110110000011主析取范式为:(PQ)(PQ)(PQ)主合取范式为:PQ公式化归法(PQ)(QP)(PQ)(QP) (PQ)(QP)(PQP)(QQP) PQ 主合取范式 (PQ)(PQ)(PQ) 主析取范式(2)真值表法(P (PQ)RPQRPQP (PQ)(P (PQ)R111111110111101111100111011111010111001011000011原式为永真式,其主析取范式为所有(suyu)小项的析取,即:m000m001m010m011m100
16、m101m110m111不能表示(biosh)为主合取范式。公式化归法(P (PQ)R(P(PQ)RTR T(3)真值表法(P QR)(P (QR)PQRQRP QRQRP (QR)原公式1111101111000010101000101000011001111000010010000010100000001111主析取范式为:(PQR)(PQR)m111m000m7m0主合取范式为:M1M2M3M4M5M6 M001M010M011M100M101M110(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)20. 求下列(xili)公式的主析取范式和主合取范式,并指出该公式(gngs
17、h)的类型。(1)(PQ)(P Q)(2)Q(PQ)(3)P(P(Q(QR)(4)(P(QR)(P(QR)(5)P(P(Q P)(6)(QP)(PQ)解:(1)PQPQP Q(PQ)(P Q)11001101110111100100主析取范式为:(PQ)(PQ)(PQ)主合取范式为:PQ公式(gngsh)为可满足式。(2)PQPQQ(PQ)1111101001000010主析取范式为:PQ主合取范式为:(PQ)(PQ)(PQ)公式(gngsh)为可满足式。(3)P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR 主合取范式 M000M0 m1m2m3m4m5m6m7 主析取范式公式为可满足式。(4
18、)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) M100M101M111M010M011M001M4M5M7M2M3M1 主合取范式 m0m6 m000m110 主析取范式公式为可满足式。(5)P(P(Q P)P(P(QP)(PP)(P(QP)T主析取范式为:m0m1m2m3公式(gngsh)为永真式。(6)(QP)(PQ)(QP)(PQ)(QPQ)(PPQ) F主合取范式为:M0M1M2M3公式(gngsh)为永假式。21. 用将合式公式化为范式的方法(fngf)证明下列各题中两式是等价的。(1)
19、(PQ)(PR) ,P(QR)(2)(PQ)(PQ),(PQ)(QP)(3)PQ(PQ),PQ(PQ)(4)P(P(PQ),PQ(PQ)证明(zhngmng):(1)(PQ)(PR) (PQ)(PR) P(QR) P(QR) (PQ)(PR)(2)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)P(QQ)P(PQ)(QP) (PQ)(QP)P(QQ) P(3)PQ(PQ) (PQP)(PQQ) FPQ(PQ) (PQP)(PQQ) F(4)P(P(PQ) P(P(PQ) T(PQ) TPQ(PQ) (PQP)(PQQ) T22. 用推理规则证明以下各式。(1)(PQ),QR,R P(2)A(
20、BC),(DE)A,DE BC(3)BC,(B C)(DE)DE(4)PQ,(QR)R,(PS)S证明:(1)(PQ),QR,R P证明:(1) R P(2) QR P(3) Q T(1)(2) I(4) (PQ) P(5) PQ T(4) E(6) P T(3)(5) I(2)A(BC),(DE)A,DE BC证明:(1) DE P(2) (DE)A P(3) A T(1)(2) I(4) A(BC) P(5) BC T(3)(4) I(3)BC,(B C)(DE)DE证明:(1) BC P(2) B C T(1) I(3) (B C)(DE) P (4) DE T(2)(3) I(4)PQ,(QR)R,(PS)S证明(zhngmng):(1) (QR)R P(2) QR T(1) I(3) R T(1) I(4) Q T(2)(3) I(5) (P
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