矩形专题培优训练.docx

1、矩形专题培优训练四边形 -矩形专题培优训练基础与巩固1下列条件中，不能判定四边形 ABCD为矩形的是（ ）A ABCD，AB=CD，AC=BD B A=B=D=90C AB=BC，AD=CD，且 C=90 D AB=CD，AD=BC， A=902已知点 A、B、C、D在同一平面，有 6 个条件： ABCD， AB=CD，BCAD，BC=AD， AC=BD， A=90从这 6 个条件中选出（直接填写序号） _3个，能使四边形 ABCD是矩形拓展与延伸4已知：如图，在 YABCD中，以 AC为斜边作 RtACE，且 BED为直角 ?求证： ?四边形 ABCD是矩形例 5、已知：如图， O 是矩形

2、ABCD对角线的交点， AE平分 BAD，AOD=120，求 AEO的度数智力操 如图，以 ABC的三边为边，在 BC?的同侧分别作 3?个等边三角形， ?即ABD、 BCE、 ACF请回答问题并说明理由：（1）四边形 ADEF是什么四边形？（2）当 ABC满足什么条件时，四边形 ADEF是矩形？一选择题（共 7 小题）1（2009?）在矩形 ABCD 中， AB=1 ，AD= ，AF 平分 DAB ，过 C 点作 CEBD 于E，延长 AF 、EC 交于点 H，下列结论中： AF=FH ； BO=BF ； CA=CH ； BE=3ED 正确的是（ ）A B C D 2如图，矩形 ABCD 中

3、， DEAC 于 E，且 ADE ：EDC=3：2，则BDE 的度数为（ ）A36 B18 C27 D93（2007?莱芜）如图，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF ，若 CD=6，则 AF 等于（ ）A B C D84如图，矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，如果 BAF=60 ，则AEF=（ ）A60B7075D80C5如图，矩形纸片 ABCD 的边 AD=9 ，AB=3 ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，则折叠后 DE 的长与折痕 EF 的长分别为（ ）A4， B5， C4

4、，2 D5，26已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴； （2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形； （4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形其中正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个7（2007?）在矩形ABCD中，AB=3 ，AD=4 ，P 是AD上的动点，PE AC于E，PFBD于 F，则PE+PF的值为（）A B2 C D1二填空题（共 7 小题）8（2009?）如图，l m，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则= _ 度9如图，过矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点 K 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ，那么图中矩

5、形 AMKP 的面积 S1 与矩形 QCNK 的面积 S2 的大小关系是 S1 _ S2；（填 “”或“”或“=”）10如图，在矩形 ABCD 中，AD=5 ，AB=4 ，点 E、G、H、F 分别在 AB 、BC、CD、 AD 上，且 AF=CG=2，BE=DH=1 ，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连接 PE、PF、PG、PH，则 PEF 和PGH 的面积和等于 _ 11如图， RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4，点 P 为 AB 边上任一点，过 P 分别作 PE AC 于 E，PFBC 于 F，则线段 EF 的最小值是 _ 12如图在 ABC 中，BC=8，AC=6，

6、AB=10 ，它们的中点分别是点 D、E、F，则 CF 的长为 _ 13如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，E、F、G、H 分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形 EFGH 的面积是 _ 14如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为 _ 三解答题（共 16 小题）15如图，已知 RtABC 中，BAC=90 ，AB=AC ，P 是 BC 延长线上一点， PEAB 交 BA 延长线于 E，PFAC 交 AC 延长线于 F，D 为 BC 中点，连接 DE，DF求证：DE=DF16如图，在矩形

7、ABCD 中，AB=24cm ，BC=8cm，点 P 从 A 开始沿折线 ABC D 以 4cm/s 的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 2cm/s 的速度移动， 如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t （s）当 t 为何值时，四边形 QPBC 为矩形？21（2008?）如图，在ABC 中，点设 MN 交BCA 的角平分线于点（1）求证： EO=FO；O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN BC，E，交BCA 的外角平分线于点 F（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论2

8、3如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 BD=12cm，AC=16cm ，AC，BD 相交于点 O，若 E，F 是 AC 上两动点，分别从 A，C 两点以相同的速度向 C、A 运动，其速度为 0.5cm/s（1）当 E 与 F 不重合时，四边形 DEBF 是平行四边形吗？说明理由；（2）点 E，F 在 AC 上运动过程中， 以 D、E、B、F 为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间 t 的值；如不能，请说明理由24如图所示矩形 ABCD 中，F 在 CB 延长线上，且 BF=BC，E 为 AF 中点，CF=CA 求证： BE DE初二下矩形专题培优训练参考答案与试题解析一选

9、择题（共 7 小题）1（2009?）在矩形 ABCD 中， AB=1 ，AD= ，AF 平分 DAB ，过 C 点作 CEBD 于E，延长 AF 、EC 交于点 H，下列结论中： AF=FH ； BO=BF ； CA=CH ； BE=3ED 正确的是（ ）A B C D 考点：矩形的性质；角平分线的性质； 等腰三角形的性质； 等边三角形的性质 1637559分析：这是一个特殊的矩形：对角线相交成 60的角利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答解答：解： AB=1 ，AD= ，BD=AC=2 ，OB=OA=OD=OC=1 OB=OA=OD=OC=AB=CD=1 ，OAB ，OCD 为等边三角

10、形 AF 平分 DAB ，FAB=45，即 ABF 是一个等腰直角三角形BF=AB=1 ，BF=BO=1FAB=45，CAH=45 30=15ACE=30（正三角形上的高的性质）AHC=15 ，CA=CH由正三角形上的高的性质可知： DE=OD2，OD=OB，BE=3ED 故选 D点评：本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质2如图，矩形 ABCD 中， DEAC 于 E，且 ADE ：EDC=3：2，则BDE 的度数为（ ）A36 B18 C27 D9考点：矩形的性质；三角形角和定理 1637559分析：本题首先根据 ADE ：EDC=3：2 可推出 ADE 以及 EDC 的度数，然后求出O

11、DC 各角的度数便可求出 BDE解答：解：已知 ADE ：EDC=3：2? ADE=54 ，EDC=36，又因为 DEAC，所以 DCE=9036=54，根据矩形的性质可得 DOC=180254=72所以 BDE=180DOCDEO=18故选 B点评：本题考查的是三角形角和定理以及矩形的性质，难度一般3（2007?莱芜）如图，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF ，若 CD=6，则 AF 等于（ ）A B C D8考点：矩形的性质 1637559专题：操作型分析：先图形折叠的性质得到 BF=EF，AE=AB ，再由 E

12、是 CD 的中点可求出 ED 的长，再求出 EAD 的度数，设 FE=x，则 AF=2x ，在ADE 中利用勾股定理即可求解解答：解：由折叠的性质得 BF=EF，AE=AB ，因为 CD=6，E 为 CD 中点，故 ED=3，又因为 AE=AB=CD=6 ，所以 EAD=30 ，则FAE=（9030）=30，设 FE=x，则 AF=2x，在AEF 中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，x2=12，x1=2，x2=2（舍去）AF=2 2=4故选 A点评：解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答4如图，矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，如果 BAF=60

13、 ，则AEF=（ ）A60B7075D80C考点：矩形的性质 1637559专题：计算题分析：根据矩形的性质，求出 EAF=15，从而得出 AEF 的度数即可解答：解： EAF 是DAE 折叠而成，EAF=DAE ，ADC= AFE=90，EAF=15，在AEF 中AFE=90，EAF=15，AEF=180AFE EAF=1809015=75故选 C点评：本题考查了矩形的性质， 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量5如图，矩形纸片 ABCD 的边 AD=9 ，AB=3 ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，则折叠后

14、DE 的长与折痕 EF 的长分别为（ ）A4， B5， C4，2 D5，2考点：矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题） 1637559专题：计算题分析：利用直角三角形 ABE 可求得 BE，也就是 DE 长，构造 EF 为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解解答：解：连接 BD 交 EF 于点 O，连接 DF根据折叠，知 BD 垂直平分 EF根据 ASA 可以证明 DOEBOF，得 OD=OB则四边形 BEDF 是菱形设 DE=x，则 CF=9x在直角三角形 DCF 中，根据勾股定理，得： x2=（9x）2+9解得： x=5在直角三角形 BCD 中，根据勾股定理，得 BD=3 ，则 OB

15、=在直角三角形 BOF 中，根据勾股定理，得 OF=，则 EF=故选 B点评：此题主要是能够根据对角线互相垂直平分得菱形 DEBF，根据菱形的性质得到边之间的关系，熟练运用勾股定理进行计算6已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴； （2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形； （4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形其中正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个考点：矩形的判定与性质 1637559分析：根据矩形的轴对称性、 矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数解答：解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所

16、在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（ 1）和（ 4）故选 C点评：本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定， 准确掌握其性质和判定是解题的关键7（2007?）在矩形 ABCD中，AB=3 ，AD=4 ，P 是AD上的动点，PE AC于E，PFBD于 F，则 PE+PF的值为（）A B2 C D1考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质 1637559

17、专题：动点型分析：根据 AEPADC ；DFPDAB 找出关系式解答解答：解：设 AP=x ，PD=4xEAP=EAP，AEP=ADC ；AEPADC ，故 = ；同理可得 DFPDAB ，故= + 得=，PE+PF=故选 A 点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可二填空题（共 7 小题）8（2009?）如图， l m，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则 =25 度考点：矩形的性质；平行线的性质；三角形角和定理 1637559 专题：计算题；证明题分析：建立已知角和未知角之间的联系是关键 作平行线的截线， 根据平行线的性质建立它们之间的联系解答：解：延长 DC

18、 交直线 m 于 Elm，CEB=65在 RtBCE 中， BCE=90，CEB=65，=90CEB=9065=25点评：此题很简单，只要熟知两直线平行的性质及三角形角和定理即可9如图，过矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点 K 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ，那么图中矩形 AMKP 的面积 S1 与矩形 QCNK 的面积 S2 的大小关系是 S1 = S2；（填“”或“”或“=”）考点：矩形的性质；三角形的面积；三角形中位线定理 1637559 专题：证明题；几何综合题分析：根据矩形的性质，首先设矩形的边长分别为 a，b，S1 的边长分别为 x，y，利用比例得出 xy=abby要使

19、矩形的面积最大， 故让 S1 的边长分别是 ABC ，ADC的中位线，得出边长的值，然后求出面积即可（也可用矩形的对角线平分矩形的面积分析得出答案）解答：解：设矩形 ABCD 的边长分别为 a，b，S1 的边长分别为 x，yMK AD=，即，则 x=?a同理： y=?b则 S1=xy=ab同理 S2=ab所以 S1=S2故答案为 S1=S2点评：本题的关键是利用函数分析最大取值， 即都是三角形的中位线 然后利用三角形的面积公式即可求得相等10如图，在矩形 ABCD 中， AD=5 ，AB=4 ，点 E、G、H、F 分别在 AB 、BC、CD、 AD 上，且 AF=CG=2，BE=DH=1 ，点

20、 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连接 PE、PF、PG、PH，则 PEF 和PGH 的面积和等于 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 1637559分析：连接 EG、FH，易证得 AEF CHG，FHDGEB，即可得 FH=EG、EF=GH，由此可证得四边形 EFHG 是平行四边形，可过 P 作 EF、GH 的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形 EFHG 面积的一半，按此思路进行求解即可解答：解：连接 FH、EG；AF=CG=2 ，AE=CH=4 1=3，A= C=90，AEFCHG，S AEF =SCHG =3；同理可证： FHD G

21、EB，S FHD =S GEB =1.5；FH=EG，EF=GH，即四边形 EFHG 是平行四边形；且 S 平行四边形 =S 矩形 2S AEF 2S FHD =11；过 P 作 EF、GH 的垂线，交 EF 于 M ，GH 于 N；则 S EFP+SGHP=EF（PM+PN）=EF?MN=S?EFHG =故答案为：点评：此题考查了矩形的性质、 全等三角形的判定和性质、 平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法， 能够判断出四边形 EFHG 是平行四边形是解答此题的关键所在11如图， RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4，点 P 为 AB 边上任一点，过 P 分别作 PE AC 于

22、E，PFBC 于 F，则线段 EF 的最小值是 考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理 1637559 专题：计算题分析：根据勾股定理求出 AB ，证矩形 EPFC，推出 EF=CP，过 C 作 CDAB ，得到 CD=EF，求出 CD 的长即可解答：解：连接 CP，ACB=90 ，AC=3，BC=4，由勾股定理得： AB=5 ，PEAC，PFBC，PEC=PFC=ACB=90 ，四边形 EPFC 是矩形，EF=CP，即 EF 表示 C 与边 AB 上任意一点的距离，根据垂线段最短，过 C 作 CDAB，当 EF=DC 最短，根据三角形面积公式得： ACBC=AB CD，C

23、D= ，故答案为：点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到 CD=EF 是解此题的关键12如图在 ABC 中，BC=8，AC=6，AB=10 ，它们的中点分别是点 D、E、F，则 CF的长为 5 考点：矩形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理 1637559分析：利用勾股定理的逆定理可以推知 ACB=90 ；然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形 CEFD 是矩形、 EF 与 CE 的长度；最后在直角三角形 DFC 中利用勾股定理求得 CF 的长度解答：解： 在 ABC 中， BC=8，AC=6 ，AB=10 ，AB

24、2=AC 2+BC2，ACB=90 ；又点 D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，EFBC，且 EF=BC=4，FDAC ，且 FD=AC=3 ，四边形 CEFD 是矩形，EF=CD，CF=5；故答案是： 5点评：本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理解答该题的突破口是根据已知条件 “在ABC 中，BC=8，AC=6，AB=10 ”利用勾股定理的逆定理推知 ABC 是直角三角形13如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，E、F、G、H 分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形 EFGH 的面积是 12 考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理

25、1637559 专题：计算题分析：根据 E、F、G、H 分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出 EH 和 EF，判定四边形 EFGH 是矩形，然后即可四边形 EFGH 的面积解答：解： E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，EH BD 且 EH=BD ，FGBD 且=BD ，EH FG， EH=FG，同理 EFHG，EF=HG，又AC BD，四边形 EFGH 是矩形，四边形 EFGH=EFEH=AC BD= 86=12点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题14如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理 1637559分析：根据勾股定理可得 BD=5，由折叠的性质可得 ADG ADG ，则 AD=AD=3 ，AG=AG ，则 AB=5 3=2，在 Rt ABG 中根据勾股定理求 AG 的即可解答：解：在 RtABD 中， AB=4 ，AD=3 ，BD=5 ，由折叠的性质可得， ADG ADG ，AD=AD=3 ，AG=AG ，AB=BD AD=5 3=2，设 AG=x ，则 A