初中数学经典函数图像性质总结.docx

1、初中数学经典函数图像性质总结初中数学经典函数图像性质总结 初中数学经典函数图像性质总结 初中数学函数性质、图像性质学问点总结-成长家教初中数学一次函数性质、图像性质学问点总结: 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式敏捷，综合应用性强。甚至有存在探究题目消失。主要考察内容：会画一次函数的图像，并把握其性质。会依据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。能用一次函数解决实际问题。考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：正确理解把握一次函数的概念，图像和性质。运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。把握用待定系

2、数法球一次函数解析式。做一些综合题的训练，提高分析问题的力量。 一、函数性质： 1.y=kx+b（k，b为常数，k0）称y是x的一次函数。当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。当b=0(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特别的一次函数。2.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k一样，b也一样时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k一样，b不一样时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k、b不一样时，两一次函数图像相交。当两一次函数表达式中的k不一样，b一样时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 二、图像性质 1作法与图形：通

3、过如下3个步骤：（1）列表. 人生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些初中数学函数性质、图像性质学问点总结-成长家教 （2）描点；一般取两个点,依据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。正比例 函数y=kx(k0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点）.2性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满意等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数

4、与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4k，b与函数图像所在象限： 1y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k0,b初中数学函数性质、图像性质学问点总结-成长家教 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x

5、1)/(x2-x1)（直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）有用型（由实际问题来做）公式 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 解：设两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y

6、=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/27.若两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b28.如两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1k2=-19.y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 二次函数学问点 一、二次函数概念： b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强1二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以为零二次函数的定义域是全体实数调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，2.二次函数yaxbxc的构造特征： 22人

7、生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些初中数学函数性质、图像性质学问点总结-成长家教 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a，二、二次函数的根本形式 1.二次函数根本形式：yax的性质：a的肯定值越大，抛物线的开口越小。 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质 00，00，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值02.yaxc的性质：上加下减。 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对

8、称轴性质 c0，c0，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值ca0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c3.yaxh的性质：左加右减。 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质0h，0h，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0a0 向下X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值04.yaxhk的性质：上加下减 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质（h,k）xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；

9、xh时，y有最小值ka0向下（h,k）X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 人生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些 扩展阅读：初中数学函数局部总结 初中数学函数局部总结 正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数属于一次函数，但一次函数却不肯定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数y=kx+b中，若b0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K0时（一三象限），K越大，图像与

10、y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大 当K0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则渐渐减小编辑本段正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变例如：汽车每小时行驶的速度肯定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 以上各种商都是肯定的，那么被除数和除数所表示的两种相关联的量，成正比例关系留意：在推断两种相关联的量是否成

11、正比例时应留意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不肯定，它们就不能成正比例例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。编辑本段反比例函数的定义 一般地，假如两个变量x、y之间的关系可以表示成ykx(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 由于y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-。 编辑本段反比例函数表达式 ykx其中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k1/xxy=ky=kx-1 y=kx(k为常数(k0），x不等于0）编辑本段

12、反比例函数的自变量的取值范围 k0;一般状况下,自变量x的取值范围是x0的一切实数;函数y的取值范围也是一切非零实数.编辑本段反比例函数图象 反比例函数的图象属于双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K0）。编辑本段反比例函数性质 1.当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b+4km（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。编辑本段反比例函数的应用举例 【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于

13、t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式分析： 要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程 解：m,n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根m+n=3，mn=k,又PO=根号13，m2+n2=13， （m+n）2-2mn=13，9-2k=13k=-2 当k=-2时，=9+80，k=-2符合条件， 【例2】直线与位于其次象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：（1）直线与双曲线的解析式；（2）点A、A1的坐标. 分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是

14、A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|,AC=|m|，依据矩形的面积公式知|mn|=6.【例3】如图，在的图象上有A、C两点，分别向x轴引垂线，垂足分别为B、D，连结OC，OA，设OC与AB交于E，记AOE的面积为S1，四边形BDCE的面积为S2，试比拟S1与S2的大小编辑本段数学术语 【读音】ychnsh 【解释】函数的根本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为yKxb（其中b为任意常数,k不等于0），当b0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特

15、别状况。可表示为y=kx 编辑本段根本定义变量：变化的量常量：不变的量 自变量x和X的一次函数y有如下关系： y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数） 当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。假如有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。 特殊的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。编辑本段相关性质 函数性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k0)（k不等于0，且k，b为常数

16、）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b). 3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tan(角为一次函数图象与x轴正方向夹角,90) 形、取、象、交、减。 4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特别的一次函数. 5.函数图像性质：当k一样，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都一样时，两条直线重合。 图像性质 1作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表 （2）描点；一般取两个点,依据“两点确定一条直线”的道理； （3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成

17、直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满意等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线必通过其次、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b时： 当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。当k0,b特殊地，当b=0时，

18、直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过第一、三象限，不会通过其次、四象限。当k0时，直线只通过其次、四象限，不会通过第一、三象限。4、特别位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）编辑本段表达式 解析式类型 ax+by+c=0一般式y=kx+b斜截式 （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）y-y1=k(x-x1)点斜式 （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2

19、-x1)两点式（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）x/a-y/b=0截距式 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性： 所需条件较多（3个）； 、不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；参数较多，计算过于烦琐； 不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设始终线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)编辑本段常用公式 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)

20、2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0，则分子为0)xy+在第一象限+-在第四象限-+在其次象限-

21、在第三象限 8.若两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b29.如两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1k2=-110. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位 口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只转变k）y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只转变b）编辑本段相关应用 生活中的应用 1.当时间t肯定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft

22、。 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）肯定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数） 数学问题 一、确定字母系数的取值范围 例1已知正比例函数，则当kx2B.x10，且y1y2。依据一次函数的性质“当k0时，y随x的增大而增大”，得x1x2。应选A。三、推断函数图象的位置 例3.一次函数y=kx+b满意kb0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（） A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限 解：由kb0，知k、b同号。由于y随x的增大而减小，所以k典型例题 例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量

23、成正比例.假如挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.假如弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围. 分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长最大伸长最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12，得k=0.5 所求函数解析式为y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=22 自变量x的取值范围是0x22 例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自

24、刻，除租用刻录机120元外，每张还需本钱4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？此题要考虑X的范围 解:设总费用为Y元，刻录X张电脑公司：Y1=8X学校：Y2=4X+120当X=30时，Y1=Y2当X30时，Y1Y2当X定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：1：y=ax2;+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函 数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a) 2：顶点式：y=a(x-h）2+k或y=a(x+m)2+k(两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子) 3：交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 重

25、要概念：（a，b，c为常数，a0，且a打算函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。5.常数项c打算抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数 =b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。_ =b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-bb24ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变 当b=

26、0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)7.特别值的形式 当x=1时y=a+b+c当x=-1时y=a-b+c当x=2时y=4a+2b+c当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R 值域：（对应解析式，且只争论a大于0的状况，a小于0的状况请读者自行推断）(4ac-b2)/4a， 正无穷）；t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式： y=ax2+bx+c一般式a0 a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下；极值点：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；=b2-4ac, 0，图象与x轴交于两点： （-b-/2a，0）和（-b+/2a，0）；0，

27、图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）； 0，图象与x轴无交点；y=a(x-h)2+k顶点式 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a；y=a(x-x1)(x-x2)交点式（双根式）（a0）对称轴X=(X1+X2)/2当a0且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。 编辑本段二次函数与一元二次方程 特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即

28、ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象外形一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2;y=ax2+Ky=a(x-h)2;y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c 顶点坐标(0，0)(0，K)(h，0)(h，k) (-b/2a，4ac-b2/4a) 对称轴x=0x=0x=hx=hx=-b/2a 当h0时，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到，当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)+k的图象； 当h0；当a