微分中值定理例题.docx

1、微分中值定理例题理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理程功2010/12/281.设f (x) 0,f(0) 0,证明对任何的1 0,X2 0, 有f(X + X)f( xj+f ( X)解：不妨设 X x2,(x)=f(Xi+ x ) f (x + X)f(2X f(x) f (1) % f ( 2)x1X1 X2 1 Xi+X，又 f ，所以原不等式成立。在 (a, b)，且ff (養)f(0)f ( 2) = Xf因为，02所以(x) 02.设 f (x)0 1，f( 1 11n)n解:设XoiXi内二阶可导，且2 nf ( X1) + 2f (X2)f (Xi

2、)f (Xo)Xo)注:0,(x)X1, X2,f1则，试证明+ + nf (Xn) b b,同理可证：Xof ( ) 2匚厂(X 疝 f(xo) f(xo)(xXn(a.b),Xo).XiXoi f(X)i f (Xo)i 1if (Xo)(Xi 1Xo)i f (Xo)(Xi1n(Xo)i 1iXiXo)3.设f(X)在上连续，在(存在 (0,)，使得2f ()tan2f证明：构造辅助函数： F(X)=f(X)ta n在(，)内可导,Q f (0) o, F (0)o,且F()nif (Xo) f (Xo)i 1iXo内可导，且f ( 0)2,则 F( X)在,=o，求证：至少上连续,所以

3、F (X)在, 至少存在 (0,f( )cos2上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知:)，使得F 0,而x cosX -f(x) sin F2 2 2cos - f(2 2)sin 02又 (0,)，所以cos 0,上式变形即得：2f ( ) tan f ，证毕。2 24.设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)可导，且 f (0) f(1) 0 , f(1 12 ，试证：(1)至少存在一点 (丄,1),使得f( ) ;(2)对任意实数，必存在 (0,),使2由零点定理知：(2,1),使得 F( ) 0,即 f ()12,1 F() F(1)，所以2丿UF(x) f(x) x F(x)丄,1,

4、 F(2)证明：(1)设 ，则 2 又 2(2)构造辅助函数：G(x)得 f ( ) 1 f( ) e xf(x)X则G(x) C0, , G(x) D(0,)又G(0) 0, G( ) 0所以将G(x)在0,上应用罗尔定理，有存在 (0,)使得G( ) 0.G( ) e f( ) f ( ) 1 0又 e 0,得f() f ( ) 1 0即f() f ( ) 1 结论成立。25.求证：对任意实数 x， 2xarctanx ln(1 x ).、 证明：设 f(x) 2xarctan ln(1 x2)，贝U f (0) 0)严格单增，有f(x) 0，f (x) 2arctanx,当 x 0时，有

5、 f (x) 0, f (x)在(0,当x 0时，有f (x) 0, f (x)在(,0)严格单减，有f(x) 0， 所以对任意实数x，f (x) 0，结论成立。 (后半部分也可利用偶函数的性质证明).6.(1)设n为正整数，试利用拉格朗日中值定理证明不等式： ln(1 -)-;n 1 n n利用(1)的结果证明数列xn (1 1 1 L -) lnn收敛.2 3 n证明：(1)设f (x) ln x,对于正整数n，显然有f (x)在区间n,n 1上满足拉氏中值定理，所以至少存在一点 (n,n 1)，使得f(n f(n) f ()1即 ln(1 丄)ln(n 1) Inn -又 1 丄，从而l

6、n(1 -) 1 成立。n n 1 n n 1 n n2)xn 1 xn (1=)ln(n1) (1In nln(1-)0. n所以数列为单调递减数列。又 1 1Xn 1 Xn ln(1 -)n 1 n1111( )( )n 1 n n n 1所以此数列有下界，由单调有界准则知此数列收敛xn 1 xn1n 11(2 1) 1丄Xn 1 n1n 1(Xn 1Xn)(XnXn 1)(X2Xi) Xi7.设f x在0,1上二阶可导，且f 0.求证在0,1至少存在一点,使得2f2证明：作辅助函数F(x) x f x ,由f x在0,1上二阶可导,知F(x)在0,1上可导,从而F (x)在o,1上连续.

7、0,1上满足Rolle定理的条件,从而由 Rolle定理知:0,1，使得f又 F(0) 0，F()F(x)在0, 上满足Rolle定理的条件，由 Rolle 定理，有0,0,1,使得F22xf x x f8.已知0,1(2)证明:0,1使得f0 2f0,结论得证.上连续，且在0,1。2存在两个不同的点(1) Q f0,1可导，且f 0x C ,且f 0 0, f 1 1,又0(2)对f x在区间求证(1)存12 ，故由连续函数介值定理上分别应用拉格朗日中值定理，得1f i f 1 2 i1 12 110,，使f f丿覚丄f22 2(1 ) 2.9. 设 f (x)在a,b上二阶可导，且 f(X

8、) 0, f (x) 0，证明在(a,b),方程f(x)*4毁有惟一的实根.证明：(1)根的存在性：设 F(x) xf(x) bf(x) f (a)x，则 f(x) Ca,b, F(x) D(a,b),又F(a) bf (a) F(b)，由罗尔定理知：至少存在一点 (a,b),使得F ( ) 0,即方程 F (x) 0 至少有一个根，而 F (x) f (x) xf (x) bf (x) f (a)F (x) 0,变形即为方程f (x) 便 徑 所以方程f (x) 他 血 至少有一个根. b x b x(2)根的惟一性：f (x) (x b) f (x) f (x) f (a)F (x) 2f

9、 (x) (x b)f (x)( x (a,b)由已知条件，f (x) 0, f (x) 0,x b 0,可知，F (x) 0.F (x)严格单增，F (x)有惟所以方程f (x)叮有惟一一个根10.证明 arcsinx arccosx ( 1 x 1).2证：设 f x arcsinx arccosx， x 1,1则在(1,1)上Q f (x)0f (x) C, x ( 1,1)又 Q f (0) arcsin0 arccosQ 0即 C 2.又 f( 1) i，f x arcsinx arccosx QX 1,111.证明当X 0时，总ln(1 x) X.1由于 (a,b)，故b1 1丄所

10、以丄aIn b In a 1 即 b a， bln-a13.证明：不等式sin xx 1)成立证：设函数f(x)sin x(10,1.则有 f (x)cosx x，f (x)的正负难以确定，继续求导得f (x)x e sin x 1 o证：设f (x)ln(1x)，f(x)在0，x上满足拉氏定理条件，f (x) f(0)f ()(x0), (0x) Qf(0)0,1f (x) ,1 x由上式得ln(1x)x，又Q0x111 x 11 111 x1x xx,即xIn(1x)x1 x 11 x12.设ba 0,证明b a . - Inb babaa证：将待证不等式整理为1 In bIn a1设函数

11、f (x) In x,，则f (x)在a,b上满足拉b baa1f ()格朗日定理的条件，于是存在(a,b)，使得 常(0,1)，使又由于f (0)0,得当0 x 1时,f(x) f (0) 0,从而f (x)严格单调递减，所以当0 x21 时,f(x) f(0) 1 0 (1 0) 0,因此 ex si nx 1 乂(0 x 1).2显然，当0x1时，f (x)0,所以f (x)严格单调递减。14.设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)可导，证明：至少存在一点f ( ) 2 f(1) f (0).证：分析：结论可变形为 丄f-(0)1 0f (x)(x2)设 g(x) x2在(0,1)至

12、少存在一点，有则f(x),g(x)在0,1上满足柯西中值定理条件,f f(0) 即 f( ) 2 f(1) f(0)1 0 215.设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)存在二阶导数，连接A(a, f (a)和B(b, f (b)的直线段与曲线y f(x)相交于C(c, f (c)，其中a c b。证明：至少存在一点(a,b),使得 f() 0 o0)上连续，在(x,X0 )可导，且lim f (x)存在X x证明：分别在a,c和c,b上应用拉格朗日定理，则存在 1 (a,c), 2 (c,b)，使得f (1)f (c)f(a),f(2)f(bb砂代B,C三点共线，故有cabcf (

13、1)f (c)f(a) kkACkBCf(b) f(c) f(、, T ( 2)cab c在1,2上应用罗尔定理,得存在(1, 2) (a,b)，使得 f ()0.16.若函数f(x)在区间x,x (或为x)，则 f (x0) lim f (x)x x)证 任取x(X0,X0 ),则f (x)在区间x,x上满足拉格朗日定理的条件，于是存在(x,x)，使得 f(x) f(x)f ()因此 f (x。)lim f(x) f(x)lim f ( ) lim f (x)x x0 x x0 x x0 x x0 x x0同理可证：若函数f (x)在区间X。 ，x( 0)上连续，在(X。 ，x。)可导，且l

14、im f (x)存x Xg在(或为x)，贝U f (x0) lim f (x)X x17. 设f(x) C0,且在(0,)可导，证明至少存在一点 (0,),使f ( ) f ( )cot .提示：由结论可知，只需证 f( )sin f( )cos 0即f(x)sinx x 0 设F(x) f (x)si nx，验证F(x)在0,上满足罗尔定理条件。18. 若f(x)可导试证在其两零点之间一定有 f(x) f (x)的零点。提示：设 f (xj f(X2 ) 0, Xi X2 ,欲证： (Xi, X2),使 f ( ) f ( ) 0只需证 e f( ) e f ( ) 0 亦即exf(x) x

15、 0作辅助函数F(x) exf (x),验证F(x)在Xi ,X2上满足罗尔定理条件19. 证至少存在一点 (1,e)，使sini cosin证：法一用柯西中值定理，令 f (x) sinlnx, F(x) in x则fx、Fx在1,e上满足柯西中值定理条件，因此 养)詣，(1e)1-cosin即 sini cos in1法二：令f(x) sininx sin1 in x ,贝U f x在1,e上满足罗尔中值定理条件，因此存在(1,e),使 f ( ) 0f (x)1 cosinx sin1 1sin1 cos in20 .设函数f x在0, 3上连续,在0, 3内可导,且f(0) f (1)

16、 f(2) 3, f(3) 1,试证必存在 (0,3),使f ( ) 0.证：因f(x)在0, 3上连续,所以在0, 2上连续,且在0, 2上有最大值M与最小值m,故m f (0), f (1), f (2) M m f(0)罗 f(2) M由介值定理，至少存在一点c 0, 2,使f(c) f(0)叨 心 1Q f(c) f(3) 1,且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理知,必存在 (c,3) (0,3),使f( ) 0.21.设f x在0,1上连续，在0,1内可导，且f 1 0,证明至少存在一点 0,1，使2f()证：问题转化为证 f( ) 2f( ) 0设辅助函数 (x

17、) x2f(x)显然(x)在0,1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 0,1 ,使()2 f( ) 2f ( ) 0即有f ()汕22.设函数a0e,L 满足下述等式a。色L 旦0,方程证明2 n 10) a1x L anxn 0在0,1内至少有一个实根.证：令 F (x) a0 a-ix L anxn则可设 F(x) a0x 01 x2 L xn 12 n 1显然，F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,且F(0) F(1) 0,由罗尔定理知存在一点 (0,1),使F() 0,即00 a/ L KXn 0在(0,1)内至少有一个实根若结论中含高阶导数，多考虑对导数用中值定理23.设f (

18、x)和 g x 在 a,b 上二阶可导，且 g x 0, f a f b g a g b 0证明：1 )在a,b，gx 0 2)在ab，至少存在一点，使得诣冷证：(1)反证法：若有一点 c(a, b)使得g(c) 0.由罗尔定理，存在一点x1 (a,c)使得g(xj 0. 存在一点X2 (c,b)使得g(X2)0.在旧上应用罗尔定理，存在一点 洛必2”()0矛盾.令(x) f(x)g(x) f(x)g(x)于是(a) F(b) 0.且 F(x) f(x)g(x) f (x)g(x).由罗尔定理，存在(a,b),使得 F( ) 0.即:丄g()f() g()注意.证明含一个中值的等式中出现函数值

19、的差或自 柯西中值定理.变量的差，考虑用拉格朗日或24.设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,证明至少存在一点 (0,1)，使f ( ) 2 f(1) f (0).证：结论可变形为ff(0)丄 上4丸| 设F(x) x2,1 0 2 (x ) |x则f (x), F (x)在0,1上满足柯西中值定理条件，因此在0,1内至少存在一点，使f f(0) f ()即f ( ) 2 f(1) f(0)1 0 2若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应用中值定理25设f x在0,1上连续，在 0,1内可导，且f(0) 0, f(1) 1,试证：对任意给定a b的正数a,b在(0,1 )内存在不同

20、的 ，使l a b .f ( ) f ()a证:Q a与b均为正数，0a b1又Qf(x)在0,1上连续，由介值定理，存在(0,1),使得f()f(x)在0,1上分别用拉氏中值定理f()f(0)(0) f (),(0,)(1)f(1)f()(1 )f (),(,1)注意到f (0)0,f(1) 1,，由f()f ()(3)1 f() f (j)(3)+( 4)f ( )(a b)f ( )(a b)bfT)b.26.设 ea b e2,证明 ln2b ln2a (bea).提示:1.对函数f (x) In2 x,使用Lagrange中值定理ln2 bln2 a 2lnb a2.分析函数f( ) 丄( e)的单调性27.设函数f (x)在 (a,b)内可导，且 x (a,b),f(x) M证明函数f (x)在(a,b)内有界.证：取点x0 (a,b),再取异于X。的点x (a,b),对f x再以怡，x为端点的区间上用拉氏中值 定理,得f (x) f(x) f ( )(x x)(界于x与x之间)f (x) f(x) f ( )(x x) f(x0) f ( ) x x f(x0) M (b a) K(定数)可见对任意x (a,b),f(x) K,即得所证