中考数学重点题型突破易错点332《二次函数》试题及答案.docx

1、中考数学重点题型突破易错点332二次函数试题及答案二次函数易错清单1. 二次函数与方程、不等式的联系.【例1】(2014湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:b2-4ac0;a+b+c0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y0,则a+b+c0,所以错误.顶点为D(-1,2),抛物线的对称轴为直线x=-1.抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,抛物线与x轴的另一个交点

2、在点(0,0)和(1,0)之间.当x=1时,y0.a+b+c0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac0,抛物线与x轴没有交点.2. 用二次函数解决实际问题.【例2】(2014江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A,B两组材料的温度分别为yA,yB,yA,yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求

3、yA,yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120时,B组材料的温度是多少?(3)在0x40的什么时刻,两组材料温差最大?【解析】(1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;(3)得出yA-yB的函数关系式,进而求出最值即可.解得m=100.yB=(x-60)2+100.解得yB=200.yA=-20x+1000.(2)当A组材料的温度降至120时,120=-20x+1000,解得x=44.B组材料的温度是164.当x=20时,两组材料温差最大为100.【误区纠错】此题主要考查了二次函数的应用以

4、及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.3. 二次函数存在性问题的讨论. (1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标,判定点A是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出对称点A的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A是否在抛物线上.本问关键在于求出A的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形RtAE

5、ARtOAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A的坐标;(3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解. 【误区纠错】本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问的要点是求对称点A的坐标,第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.名师点拨1. 能通过画二次函数图象求一元二次方程的近似解,能说明二次函数与一元二次方程的联系与区别.2.

6、 会借助函数思想及图象求不等式的解集.3. 借助二次函数思想解决实际问题.提分策略1. 抛物线对称性的应用.(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解决问题的关键.(2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式.(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴,便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.【例1】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函

7、数关系式;(2)求ABD的面积;(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.【解析】(1)在矩形OCEF中,已知OF,EF的长,先表示出C,E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的关系式.(2)根据(1)的函数关系式求出A,B,D三点的坐标,以AB为底、点D纵坐标的绝对值为高,可求出ABD的面积.(3)首先根据旋转条件求出点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可.抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线的顶点坐标为D(1,4).ABD中边AB的高为4

8、.令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.所以AB=3-(-1)=4. (3)AOC绕点C逆时针旋转90,CO落在CE所在的直线上,由(2)可知OA=1,点A对应点G的坐标为(3,2).当x=3时,y=-32+23+3=02,点G不在该抛物线上.2. 利用二次函数解决抛物线形问题.利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.【例2】如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(

9、m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.3. 二次函数的实际应用.【例3】某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元

10、,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其他费用为106元(不包含债务).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数;(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?【解析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据收入等于指出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;(3)分类讨论40x58,或58x71,

11、根据收入减去支出大于或等于债务,可得不等式,根据解不等式,可得答案. 综合两种情形,得b380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.4. 二次函数在几何图形中的应用.二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结合思想的运用,将代数与几何融为一体,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.【例4】如图,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四

12、个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在边AB上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值? (2)利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可.0x0)的部分对应值如下表:x-101234y1052125若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,当m=时,y1=y2.6. (2013辽宁葫芦岛一模)已知点A(m,0)是抛

13、物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点,则代数式2m2-4m+2 013的值是.三、 解答题7. (2014山东济南外国语学校模拟)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在边BC上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点D的坐标.(第7题)8. (2014山东日照模拟)已知抛物线经过A(2,0).设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,

14、请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使AMPAMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.(第8题) (1)填空:点C的坐标是,b=,c=;(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P,H,Q为顶点的三角形与COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.(第9题)参考答案与解析1. C解析 得出A点的坐标是(1,1),所以平移后以A点为顶点的解析式为 y=(x-1)2+1.2. D解析由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(-1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项作出判断;根据抛物线开口方向判定a的

15、符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;利用c的取值范围可以求得n的取值范围.4. 1y5解析将x=0,x=2分别代入y=(x-2)2 +1求出y的取值范围为1y5,注意本题切忌直接将x=0,x=3代入,要考虑二次函数的对称轴二边增减性,5. 1.5解析二次函数的解析式为y=x2-4x+5,y1=y2,m2-4m=(m+1)2-4(m+1),解得m=1.5.6. 2015解析依题意知m2-2m-1=0,得m2-2m=1,所以2m2-4m+2013=2(m2-2m)+2013=2015.7. (1)设抛物线顶点为E,根据题意,得E(2,3),设抛物线解

16、析式为y=a(x-2)2+3, (3)符合条件的点M存在. 证明如下:过点P作x轴的垂线,垂足为C,则PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以APB是等边三角形.只要作PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM,PAM=BAM,AB=AP,可得AMPAMB. 因此存在这样的点M,使AMPAMB.由题意,得BHPBOC,OCOBBC=345,HPHBBP=345.PB=5t,HB=4t,HP=3t.OH=OB-HB=4-4t.OQ=4t.当H在Q,B之间时,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.当H在O,Q之间时,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.综合,得QH=|4-8t|.