三角形各种心的性质归纳.docx

1、三角形各种心的性质归纳三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心三角形的心是三角形的重要几何点在数学竞赛中，有关三角形 的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技 巧做深入探讨.1 重心：设G是ABC的重心，AG的延长线交BC于D，则，(1)BDDC , ( 2) AG : AD2:3 ；22AB2 2AC2BC2S ARC(3) AD,(4)S GBC432.外心：设O0 (R )是ABC的外接圆，0DBC于D交O 0于E，则(1) 0A0B0C R ；(2) B0C2 A 或 2(180 A)；(3

2、) BDDC厂、 厂、BE = EC ；(4 ) S ABCabc2RsinAsinBsinC (正弦定理)4R3.内心:设ABC的内心圆OI ( r)切边AB于P,AI的延长线交外接圆于D，则(1) BIC90 - A；21A b ca 1 / ,r(a bc) AP r cot 一A(a bc)a ； (3) DB DI DC ； S ABC522224垂心：设O,G,H分别是 ABC的外心，重心，垂心， OD BC于D , AH的延长线交外接圆于 比，则，(1)AH 20D;( 2) H 与 Hi 关于 BC 成轴对称；(3)0 BCH O ABC ; (4)0,G,H,三点共线，且 0

3、G:GH 1:2 ;tan tan 2 26三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在厶ABC中，内切圆O O分别与三边相切于点M ,K L , BC边上的帝切圆O Oa与BC边切于点H，且分别与AB边和AC这的延长线相切于点 Q、点P 设三边BC、CA、AB分别为a, b,c , A, B, C分别为1p -(a b c)，内切圆半径为r，旁切圆半径分别为ra,rb,rc，外接圆半径为 R，三角形面积为S，则有如下2关系式：(1) AP p , AK p a , LH b c； (2)嘉 rp ； (3)直角三角形斜边上的旁切圆的半径等P a1 1111于三角形周长的一半；(4) ra (

4、 p b)( p c) ； (5) ； (6) rar G r g L7.界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线， 那么就称这一点为三角形的周界中点. 其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围.由于三角形的任意两边之和大于第三边， 可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间.三角形的顶点与其对边的周界中点的连线， 叫三角形的周界中线(有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线)三角形的周界中线交于一点.定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心. 二、例题分析C , A的外角平分线交圆0于E ,例1 设厶ABC的外接圆0的半径为R ,内心为I ,

5、 B 60 , A证明：(1)10 AE ；(2)2R IO IA IC (1 , 3)R .【证明】（1）延长BI交外接圆于 M，连结0A,0M , Am，易知 AOM B 60，故 A0M为正三角形, 0M 0A AM CM 易证 MIA MAI ,二 MA MI .设AI的延长线交BC于F，则AF、AE分别为A的内、外角平分线,EAF 90 ,即EF为O 0的直径， OAI又在O M中,1OFI - AOE 21OAI 丄 OMI ,2A0E0MI ,M与O 0为等圆，故AE0I 同理，MC MI，即 代0, l,C在以M为圆心，R为半径的圆上， AFE 1 AOE1OMI1-(AMIA

6、MO)丄（C60 ),记AFE为2222 IO IA ICAEIAAFAE AF2Rsi n2Rcos2R(sincos )2、一 2Rsi n(45)2 2Rsin(C 15)由 A C知，60C120，从而有30丄C60 ，即 451C 15 7522 2 2Rsin 45IOIAIC 2.2Rsi n75又sin75丘、64故 2R IO IAIC(13)R 例 2 锐角 ABC的外心为O,线段OA, BC的中占八、分别为M 、 NABC 4 OMNACB6OMN 求 OMNIFC为等边三角形,（2）连接FCIFCABC60又则【设0MNABCACB6解】IC IF同上易证IF FC ,

7、4 ,BAC180(ABCACB) 18010又 NOC -2B0CBAC 18010M0CA0CABC从而 MON8 (180 10 ) 180ONM 180(M0N0MN )180(180 20MN即OMN为等腰三角形，ON0MOA2OC2/ ONC 90 , NOC又 NOC 180 10 ,60 ,OMN12例3 如图0,1分别为 ABC的外心和内心， AD是BC边上的高。 求证： ABC的外接圆半径等于 BC边上的旁切圆半径。证明（1 ）记AB c, BC a,CA b，设AI的延长线交 ABC的外接圆O于K，则OKI在线段OD资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流

8、是圆0的半径，记为 R，因为0K丄BC，所以0K / AD，从而AI csin BIK2 sin Bsin CABI =IBCCBK =AI所以一IKS abiS KBI由（1 ）、(2)得 2sin Bsin C设厶ABC的BC边上的旁切圆半径为 ra,ACAK , Z AKB = Z21B -AB BI sin221BK BI2B C 2sin sin2 2A ，sin2则 1 bcsin A2si4所以bcsin A所以ACBABBK.Bsin2Ccos24sinAcos-cos-2 2 2.B sinC sin .A Csin cos 2 2B C2sin sin2 2.Asin2(2

9、)1S ABC 勺a (b2Rsin Asin BsinCB C B Ccos2 2c a)。sin Asin Bsin C 2R sin B sin C sin Ao . B C B C Q .2 sin cos 2sin2 2ABC4Rs in coscosRsin Asin BsinC.B C B . C 2 2 2sin 2si n sin2 2 2即 ABC的外接半径等于 BC边上的旁切圆半径。c, BC a,CA b , ABC的BC边上的旁切圆半径为证明（2）记ABAI交BC于P ,交外接圆于K,连BK ,OK 丄 BC , OK R, PC又由AD丄BC ,知 OK / AD

10、,有如OKAK ABC的BC边上的高为ha，设ra,abbAK,BK IK , AKBACP ,AI iK，haRAC b b c，代入上式，得 PC ab ab c即 ABC的外接半径等于 BC边上的旁切圆半径。证明（3） AB c, BCBK即 AD OKOKb caAKIKBK aha，但 AKB ACP，有2S ABCb c ara接半径R，作lb丄BC于h ,Z OAC = 3C2/ A1 ADZ OAI ,AO ZDAIDI 1BI1BD11O1BO1BI1证明1 /ABC a(b2(4 )记 ABOK 丄 BC，作 II1a,CA b , ABC的BC边上的旁切圆半径为 ra ,

11、 ABC的外OO1 丄 BC 于 O1 。a)c,BC丄BC于90DIIOZ ABC Z BADD1111O1cosB2 ADAO(b c)(b c a)a, CAI1，则ra(bbb ,ADa)a。2aaAO2aAD ab c ac a设AI的延长线交/ I11 / OK ,由 D,I ,O三点共线, ABC的外接圆2Sb c aABC连OK交BC于O1，则D11DIAD-DI BI BD a c b c cos Ba c ba2 b2 c2(b c)(b c a)1 i0iI00K，i i222a2aa acb b cb ca ADI i0iB0iBl i,222aR故RADa2S ABC

12、又 S ABCira(b ca)，Rra (b c a)b cab ca2b c a证明(5)连AI并延长交 ABC的外接圆O于K,设0旁切圆圆心，则延长线上，连0K，过0作O M丄BC于M。连0M , MK , BI , CI , O B , 0C ,则OK , 0M分别为外接圆半径及旁切圆半径。又B,l,C,0四点共圆。BK IK CK ,设K为BIC0的外接圆的圆心，即IK 0 K。 又 AP PK BP PC IP 0P ,巴 ，又 AD / 0 M , IP AP0在AK的PK 0 PIP APMPDPMK / ID , 0K / 0M，故/ I0K = / KM0，/ 0KI =

13、/ M0 K ,而 D,I ,0 共线，0K 丄 BC , 0 M 丄 BC ,IK 0 K , 0IK MK0，故 0K = 0M ,即R ra4设M是厶ABC的AB边上作一内点，r1,r2,r分别是 ABC的内切圆半径；qq2,q分别是这些三角形在ACM、的旁切圆半径试证:riqi2 q2 q【证明】设 CAB,ABCBCAAMC又设 ABC的内切圆的圆心为 R，且与AB切于(如图)APR BPR 从而有：AB2 ,r cot 2r cot 2由于三角形的角的内、外平分线互相垂直r(cot,因曰 疋AB q tan qtan q(tan tan )2 2 2 2tan tan 进而有：2

14、2 tan tan ；类似的结论对于 AMC和厶BMC也成立，故有q + + 2 2cot cot 2 2旦 tan tan 和qi 2 2 q2ri Qqi q2tan tan ，以上式子相乘即可得结论:2 2例5.设I ABC的内心，其厶ABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M，过点B平行于MK的直线分别交直线 LM和IK于点R和S.求证： RIS为锐角.【证明】 为了证 RIS为锐角.由余弦定理，只要证RI2 SI2 RS2 2RI SI cos RIS 0 .为此我们来计算 只供学习与交流RI2 SI2 RS2。由 MK / RS，考虑 BMR 及BSK是 MRB LMKC)

15、同理:RMB AML -(2A)而 MBRMRBRMB2( CA)1(B)，同理:KSBLKM -(2A)SKB LKC12(C)，KSB12(B)sin RMBsinMRBsinKSBsinBKSBM又BIMK，所以BIRS.又MIAB，所以考虑直角IRB , ISB, BIM有RI2si2RS2(BI2RB2)(IB2BS2)(BRBS)222(BI) 2BRBS注意到BKBM ,因此BR BSBM2.所以，RI2si2RS222( BI)2(BM)BRBRBMBK由正弦定理，有,因此F面讨论界心的两个性质.22(IM )BSAcos2Ccos2BK oBS例6设D, E, F分别为 AB

16、C的BC, CA, AB边上的周界中点,R、r分别为 ABC的外接圆和内切圆半径， 则瓷曲2)SDEF1SABC -4【证明】设BC a,CAABc, 2p则由题设条件易知,BDAEPcCDAFPbCEBFPa由三角形面积比的性质,有,AEFS ABCAE AFACAB(P b)( p c)bc同理有：S ABC(PC)(p a)；caCDES ABC(Pa)(P b)ab从而：怡S ABC(S AEFS ABCS BFDS ABCS CDES ABC(P b)( p c)bc(P c)( p a) (p a)( pcaab把三角形恒等式2p2 2(ab bcabcca) p 2abcab b

17、c ca p2S4Rr r2和abc 2pRr代入并整理，得， 叵S ABC2R由欧拉不等式 R 2r，得，S DEF1SABC -三、训练题1 .已知H是 ABC的垂心，且AHBC，试求 A的度数.三角形的 重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、 三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用 燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交 点，重心因而得名） 。 重心的性质：1、 重心到顶点的距离与重心到

18、对边中点的距离之比为 2 :2、 重心和三角形任意两个顶点组成的 3个三角形面积相等。3、 重心到三角形 3个顶点距离的平方和最小。4、 平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即（燕尾定理： 因此图类似燕尾而得名，旦为BC、CA、AB上的中点，满足S ABC 中，SA AOB : SA AOC=S BDO : S CDO=BD同理，SA AOC : SA BOC=S AFO :SA AEO=EC : AE。二、 三角形外心定理： 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。1、 三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、 若 0是厶ABC的外心，则/ BOC=2 /

19、 A （/ A为锐角或直角）或/ BOC=360 -2 / A （/ A为钝角）。3、 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当 三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、 计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 , d2 , d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3 , c2=d1d3 , c3=d1d2 ; c=c1+c2+c3。外心坐标： （c2+c3）/2c , （c1+c3）/2c , （c1+c2）/2c）。重心定理，1。即重心到三条边的距离与三条边长成反比。是AD、个关于三角形的定理（如图

20、BE、CF交于同一点O )。:CD ;SA BFO=AF : BF ; SA BOC :(X1+X2+X3)/3 , ( Y1+Y 2+Y 3)/3。 ABC , D、E、F外心的性质有:SA BOA=S CEO :2.D,E,F 分别为 ABC 的边 BC,CA, AB 上的点，且 FDE A， DEF B，又设 AEF、 BDF、 CED均为锐角三角形，其垂心依次为 比屮2屮3，求证：（1） H2DH3 FH 1E ；（ 2） H1H2H3 DEF .3.已知O O内切于 ABC的外接圆O O，并且与AB, AC分别相切于P,Q .证明 ABC的内心I平分PQ .4.已知 ABC中，高AD

21、在其内部，过 ABD、 ACD的内心丨仆引直线分别交 AB, AC于E, F .（1） 若 BAC 90，则 AE AF ;（2） 若AE AF，则 BAC 90也成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由，并指出不成立的情形.5. 已知 ABC的内切圆O I与BC边切于D , DE是O I的直径，AE的延长线交BC于F，求证：BD CF .6. 在等腰 ABC中，AC BC , O是它的外心，I是它的内心，点 D在BC边上，使得OD与BI垂直，证明：直线ID与AC平行.三角形五心定理5、外心到三顶点的距离相等 外心公式：三、三角形垂心定理： 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角

22、形的垂心。 垂心的性质：1、 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7个点可以得到 6个四点圆。2、 三角形外心 0、重心G和垂心 H三点共线， 且0G:GH=1:2。（此线称为三角形的欧拉线 （Euler line）3、 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2倍。4、 垂心分每条高线的两部分乘积相等。定理证明：已知： ABC中，AD、BE是两条高， AD、BE交于点 0,连接 C0并延长交 AB于点F , 求证：CF丄AB证明： 连接 DE I/ ADB= / AEB=90 度 / A、B、D、E 四点共圆 ADE= / ABE/ EAO= / DAC / AEO= / AD

23、C / AEOs ADC AE/AO=AD/AC / EAD s OAC / ACF= / ADE= / ABE又/ ABE+ / BAC=90 度 ACF+ / BAC=90 度 CF丄AB , 因此，垂心定理成立！垂心坐标公式：ci - BC. b - CAx - AB a -(ai(aC)fi/ = (cF二必;4外汕a + p* y鏡P用x*屮工弋四、三角形内心定理： 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质：1、 三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。3、 P为 ABC所在空间中任意一点

24、，点 0是 ABC内心的充要条件是：向量 PO=（aX向量PA+bK向量PB+cX 向量 PC）/（a+b+c）.4、 O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N ,则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、 点 O是平面 ABC 上任意一点，点 I是厶ABC内心的充要条件是： a（向量 OA）+b（向量 OB）+c（向量OC）=向量0.6、 、（欧拉定理）ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径， O和I分别为其外心和内心，贝U OIA2=RA2-2Rr .7、 （内角平分线分三边长度关系） ： ABC中，0为内心，/ A、/ B、

25、/ C的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R, 贝U BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.8、 内心到三角形三边距离相等。五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质：1、 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、 每个三角形都有三个旁心。3、 旁心到三边的距离相等。如图，点 M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重

26、心，内心，外心，垂心，四心合一。有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，重心分割中线段，数段之比听分晓；外心三角形有六元素，三个内角有三边.此点定义为外心，用它可作外接圆.垂心三角形上作三高，三高必于垂心交. 直角三角形有十二，构成六对相似形, 内心三角对应三顶点，角角都有平分线， 点至三边均等距，可作三角形内切圆,五心性质很重要，认真掌握莫记混.交点命名为重心”重心性质要明了， 长短之比二比一，灵活运用掌握好.作三边的中垂线，三线相交共一点.内心外心莫记混，内切外接是关键.高线分割三角形，出现直角三对整，四点共圆图中有，细心分析可找清三线相交定共点，叫做 内心”有根源;此圆圆心称内心”如此定义理当然.五心性质别记混，做起题来真是好。1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。BE、 CF,性质性质性质性质三角