人教版七年级数学下册第八章教案.docx

1、人教版七年级数学下册第八章教案8.1二元一次方程组教学目标：1 认识二元一次方程和二元一次方程组.2 了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的整数解.教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.教学难点：求二元一次方程的正整数解.教学过程：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数负的场数总场数，胜场积分负场积分总积

2、分.这两个条件可以用方程xy222xy40表示.上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.把两个方程合在一起，写成xy222xy40像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.探究：满足方程，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.xy上表中哪对x、y的值还满足方程一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例1（1）方程（a2）x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、b的取值范围. （2）方程xa

3、 1+(a-2)y = 2是二元一次方程，试求a的值.例2若方程x2 m 1 + 5y3n 2 = 7是二元一次方程.求m、n的值例3已知下列三对值：x6x10x10y9y6y1（1） xy62x31y11哪几对数值使方程xy6的左、右两边的值相等？（2） 哪几对数值是方程组的解？ 例4求二元一次方程3x2y19的正整数解.课堂练习：教科书第102页练习习题8.11、2题8.2消元（一）教学目标：1会用代入法解二元一次方程组. 2初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”. 3通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.重点：用代入消元法解二元一次方程组.难点：探索如何用代入法将“

4、二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程：一、复习提问：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？解：设这个队胜x场，根据题意得 解得x18则20x2答：这个队胜18场，负2场.二、新课：在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x，负的场数是y， xy20 2xy38那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第1个方程xy20说明y20x，将第2个方程2xy38的y换为20x，这个方程就化为一元一

5、次方程.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.三、归纳：上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.例1把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：（1）2xy3（2）3xy10例2用代入法解方程组xy3 3x8y14例3根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销

6、售数量比（按瓶计算）为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？四、小结：用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.五、课堂练习：教科书第107页2、3、4题六、作业：教科书第111页第1题第112页第2题82消元（二）（第一课时） 一、知识与技能目标 1.用

7、代入法、加减法解二元一次方程组.毛 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想. 3.会用二元一次方程组解决实际问题. 4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力. 5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.二、过程与方法目标 1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯. 2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.三、情感态度与价值观目标 1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，

8、从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。 2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。 4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。教学过程：一、创设情境，导入新课 甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？二、师生互动，课堂探究 （一）提高问题，引发讨论 我们知道，对于方程组 , 可以用代入消元法求解。 这个方程组的两个方程中

9、，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（二）导入知识，解释疑难 1.问题的解决 上面的两个方程中未知数y的系数相同，可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入得y=4。另外，由也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入得y=4. 2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由可消去未知数y，从而求出未知数x的值。 解：由得 19x=11.6 x= 把x=代入得y=- 这个方程组的解为 3.加减消元法的概念 从上面两个方程组的解

10、法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 4.例题讲解 用加减法解方程组 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 解：3,得 9x+12y=48 2,得 10x-12y=66 ,得 19x=114 x=6 把x=6代入，得36+4y=16 4y=-2, y=- 所以，这个方程组

11、的解是 议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？ 解：5，得 15x+20y=80 3,得 15x-18=99 -,得 38y=-19 y=- 把y=-代入，得3x+4(-)=16 3x=18 x=6 所以，这个方程组的解为 如果求出y=-后，把y=代入也可以求出未知数x的值。 5.做一做 解方程组 点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组. 6.想一想 (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元

12、一次方程组的主要步骤有哪些?师生共析:(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加

13、减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. (三)归纳总结,知识回顾 本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”. 82消元（二）（第二课时） 一、创设情境,导入新课 七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).进球数n012345投进球的人数127

14、2 同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?二、师生互动,课堂探究 (一)指出问题,引发讨论 你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢? (经过学生思考、讨论、交流) (二)导入知识,解释疑难 1.例题讲解(见P109) 分析:如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦_公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_公顷. 解:设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种

15、工作方式中的相等关系,得方程组 去括号,得 -,得11x=4.4 解这个方程,得x=0.4 把x=0.4代入,得y=0.2 这个方程组的解是 答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷. 2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示: 3.做一做 为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克? 分析:如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量

16、为2x+3y克.解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得 2-,得y=20 把y=20代入,得2x+320=240,x=90 所以这个方程组的解为 答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克. 4.练一练:P111练习第2、题. (三)归纳总结,知识回顾 这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能. 作业：1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利26

17、00元,问王大伯一共获纯利多少元?再探实际问题与二元一次方程组 教学设计教学设计思想本节主要内容是用二元一次方程组解决实际问题。例题分析与讲解时根据学生的实际情况，为学生构造恰当的探索、研究、交流的空间，老师不能代替学生思维，而是引导学生学会“逐步抽象”，将实际情景中的数量关系抽象出来，使学生分析问题和解决问题的能力通过这一具体化的途径得以提高，加深对数学模型的认识。最后通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺。教学目标知识与技能会根据具体问题中的数量关系，经过自主探索、互相交流，列出二元一次方程组并求解，养成对所得结果进行检验的意识；能熟练地列二元一次方程组解决简单的

18、实际问题；通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学分析和解决问题的能力。过程与方法经历探索、研究、交流的过程，将实际情景中的数量关系抽象出来。情感态度价值观通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识。重点难点重点：根据简单应用题的题意列出二元一次方程组。难点：将实际情景中的数量关系抽取出来，并用二元一次方程组表示。解决办法：通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键。教具准备多媒体，或投影仪、自制胶片。课时安排1课时前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。本节我们

19、继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。(一)探究1养牛场原有30只母牛和15只小牛，l天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940 kg。 饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料1820kg，每只小牛1天约需饲料78kg。你能否通过计算检验他的估计?分析：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需饲料xkg和ykg。根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组（1）解这个方程组，得（2）这就是说，平均每只母牛1天约需饲料_kg，每只小牛1天约需饲料_kg。饲养员李大叔对母牛的

20、食量估计_，对小牛的食量估计_。（3）答案（1）（2）（3）20，5。较准确，偏高。（二）探究2据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1.5，现要在一块长200 m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)?问题中要达到的结果是“甲、乙两种作物的总产量的比是3：4”，而为达到这一点就需要适当确定两个长方形。本题具有开放性，即它的答案不唯一。分析：如图8.3l，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE。设 AExm，BEym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组（

21、1）解这个方程组，得（2）过长方形土地的长边上离一端约_处，把这块地分为两个长方形。较大一块地种_种作物，较小一块地种_种作物。（3）答案（1）（2）（3）106m，甲种，乙种。注：还有其他方案，例如画出与这块土地的长平行的一条线，将这块土地分割为两个长方形。这条直线的具体确定方法，可以通过列方程组产生。（三）探究3图中黑白相间的线表示铁路，其他线表示公路。如图8.32，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连。这家工厂从A地购买一批每吨l 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地。公路运价为1.5元(吨千米)，铁路运价为1.2元(吨千米)，这两次运输共支出公路运费15 000

22、元，铁路运费97 200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?问题中的一些已知条件是用图及其标注数据给出的。分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设产品重x吨，原料重y吨。根据题中数量关系填写下表。产品x吨原料y吨合计公路运费(元)铁路运费(元)价 值(元)（1）题目所求数值是_，为此需先解出_与_。（2）由上表，列方程组 （3）解这个方程组，得（4）因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_元。（5）答案（1）产品x吨原料y吨合计公路运费(元)1.520x1.510y1.5(20x10y)铁路运费(元)1.2110x1.2120y1.2(110x120y)价 值(元)8000x1000y(2)产品销售款（原料费+运输费）产品重（x），原料重（y）。(3)(4)(5)1887800从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。列出方程组要根据问题中的数量关系，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。（四）小结引导学生总结本节的知识点，解题思路。（五）板书设计