最新大一高数复习资料83557.docx

1、最新大一高数复习资料83557大一高数复习资料83557高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（） Skip Record If.Skip Record If.第二节数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列Skip Record If.，证明Skip Record If.【证明示例】Skip Record If.语言1由Skip Record If.化简得Skip Record If.，Skip Record If.2即对Skip Record If.，Skip Record If.，当Skip Record If.时，

2、始终有不等式Skip Record If.成立，Skip Record If.第三节函数的极限Skip Record If.时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数Skip Record If.，证明Skip Record If.【证明示例】Skip Record If.语言1由Skip Record If.化简得Skip Record If.，Skip Record If.2即对Skip Record If.，Skip Record If.，当Skip Record If.时，始终有不等式Skip Record If.成立，Skip Record If.Skip Record If.时函数极

3、限的证明（）【题型示例】已知函数Skip Record If.，证明Skip Record If.【证明示例】Skip Record If.语言1由Skip Record If.化简得Skip Record If.，Skip Record If.2即对Skip Record If.，Skip Record If.，当Skip Record If.时，始终有不等式Skip Record If.成立，Skip Record If.第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数Skip Record If.无穷小Skip Record If.Skip Record If.函数Skip Record

4、 If.无穷大Skip Record If.Skip Record If.无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设Skip Record If.为有界函数，Skip Record If.为无穷小，则Skip Record If.（定理四）在自变量的某个变化过程中，若Skip Record If. 为无穷大，则Skip Record If.为无穷小；反之，若Skip Record If.为无穷小，且Skip Record If.，则Skip Record If.为无穷大【题型示例】计算：Skip Record If.（或Skip Record If.）1Skip Record If.Sk

5、ip Record If.函数Skip Record If.在Skip Record If.的任一去心邻域Skip Record If.内是有界的；（Skip Record If.Skip Record If.，函数Skip Record If.在Skip Record If.上有界；）2Skip Record If.即函数Skip Record If.是Skip Record If.时的无穷小；（Skip Record If.即函数Skip Record If.是Skip Record If.时的无穷小；）3由定理可知Skip Record If.（Skip Record If.）第五节极限

6、运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式Skip Record If.、Skip Record If.商式的极限运算设：Skip Record If.则有Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If.（特别地，当Skip Record If.（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值Skip Record If.【求解示例】解：因为Skip Record If.，从而可得Skip Record If.，所以原式Sk

7、ip Record If.其中Skip Record If.为函数Skip Record If.的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：Skip Record If.连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数Skip Record If.是定义域上的连续函数，那么，Skip Record If.【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Rec

8、ord If.Skip Record If.（特别地，Skip Record If.）单调有界收敛准则（P57）（）第二个重要极限：Skip Record If.（一般地，Skip Record If.，其中Skip Record If.）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If. 第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1Skip Record If.2Skip Record If.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.第八节函数的连续性函数连续的定义（）Skip

9、 Record If.间断点的分类（P67）（）Skip Record If.（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数Skip Record If. ，Skip Record If.应该怎样选择数Skip Record If.，使得Skip Record If.成为在Skip Record If.上的连续函数？【求解示例】1Skip Record If.2由连续函数定义Skip Record If.Skip Record If.第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】证明：方程Skip Record If.至少有一个根介于Skip Record If.与Sk

10、ip Record If.之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数Skip Record If.在闭区间Skip Record If.上连续；2Skip Record If.（端点异号）3由零点定理，在开区间Skip Record If.内至少有一点Skip Record If.，使得Skip Record If.，即Skip Record If.（Skip Record If.）4这等式说明方程Skip Record If.在开区间Skip Record If.内至少有一个根Skip Record If.第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型示例】已知

11、函数Skip Record If. ，Skip Record If.在Skip Record If.处可导，求Skip Record If.，Skip Record If.【求解示例】1Skip Record If.，Skip Record If.2由函数可导定义Skip Record If.Skip Record If.【题型示例】求Skip Record If.在Skip Record If.处的切线与法线方程（或：过Skip Record If.图像上点Skip Record If.处的切线与法线方程）【求解示例】1Skip Record If.，Skip Record If.2切线方程

12、：Skip Record If.法线方程：Skip Record If.第二节函数的和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一）：Skip Record If.特别地，当Skip Record If.时，有Skip Record If.2函数积的求导法则（定理二）：Skip Record If.3函数商的求导法则（定理三）：Skip Record If.第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数Skip Record If.的导数【求解示例】由题可得Skip Record If.为直接函数，其在定于域Skip Record If.

13、 上单调、可导，且Skip Record If.；Skip Record If.复合函数的求导法则（）【题型示例】设Skip Record If.，求Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.第四节高阶导数Skip Record If.（或Skip Record If.）（）【题型示例】求函数Skip Record If.的Skip Record If.阶导数【求解示例】Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对Skip Re

14、cord If.求导）（）【题型示例】试求：方程Skip Record If.所给定的曲线Skip Record If.：Skip Record If.在点Skip Record If.的切线方程与法线方程【求解示例】由Skip Record If.两边对Skip Record If.求导即Skip Record If.化简得Skip Record If.Skip Record If.切线方程：Skip Record If. 法线方程：Skip Record If.参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程Skip Record If.，求Skip Record If.【求解示例】1.Skip

15、 Record If.2.Skip Record If.第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）Skip Record If.第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理）（）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数Skip Record If.在Skip Record If.上连续，在Skip Record If. 上可导，试证明：Skip Record If.，使得Skip Record If.成立 【证明示例】1（建立辅助函数）令Skip Record If.显然函数Skip Record If.在闭区间Skip Record

16、 If.上连续，在开区间Skip Record If.上可导；2又Skip Record If.Skip Record If.即Skip Record If.3由罗尔定理知Skip Record If.，使得Skip Record If.成立拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当Skip Record If.时，Skip Record If.【证明示例】1（建立辅助函数）令函数Skip Record If.，则对Skip Record If.，显然函数Skip Record If.在闭区间Skip Record If.上连续，在开区间Skip Record If.上可导，并且Skip

17、Record If.；2由拉格朗日中值定理可得，Skip Record If.使得等式Skip Record If.成立，又Skip Record If.，Skip Record If.，化简得Skip Record If.，即证得：当Skip Record If.时，Skip Record If.【题型示例】证明不等式：当Skip Record If.时，Skip Record If.【证明示例】1（建立辅助函数）令函数Skip Record If.，则对Skip Record If.，函数Skip Record If.在闭区间Skip Record If.上连续，在开区间Skip Reco

18、rd If.上可导，并且Skip Record If.；2由拉格朗日中值定理可得，Skip Record If.使得等式Skip Record If.成立，化简得Skip Record If.，又Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，即证得：当Skip Record If.时，Skip Record If.第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（Skip Record If.）且满足条件， 则进行运算：

19、Skip Record If. （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）Skip Record If.型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.（一般地，Skip Record If.，其中Skip Record If.）Skip Record If.型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If.型（对数求极限法）【题型示例】求值：Skip Reco

20、rd If.【求解示例】Skip Record If. Skip Record If.型（对数求极限法）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If. Skip Record If.型（对数求极限法）【题型示例】求值：Skip Record If.【求解示例】Skip Record If.运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）Skip Record If.通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单

21、调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数Skip Record If.的单调区间【求解示例】1函数Skip Record If.在其定义域Skip Record If.上连续，且可导Skip Record If.2令Skip Record If.，解得：Skip Record If.3（三行表）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.S

22、kip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.极大值Skip Record If.极小值Skip Record If.4函数Skip Record If.的单调递增区间为Skip Record If.； 单调递减区间为Skip Record If.【题型示例】证明：当Skip Record If.时，Skip Record If.【证明示例】1（构建辅助函数）设Skip Record If.，（Skip Record If.）2Skip Record If.，（Skip Record If.）Skip Record If.

23、3既证：当Skip Record If.时，Skip Record If.【题型示例】证明：当Skip Record If.时，Skip Record If.【证明示例】1（构建辅助函数）设Skip Record If.，（Skip Record If.）2Skip Record If.，（Skip Record If.） Skip Record If.3既证：当Skip Record If.时，Skip Record If.连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数Skip Record If.的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】 1Skip Record If. 2令Skip Recor

24、d If.解得：Skip Record If. 3（四行表）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.

25、Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If. 4函数Skip Record If.单调递增区间为Skip Record If.,Skip Record If. 单调递增区间为Skip Record If.,Skip Record If.； 函数Skip Record If.的极小值在Skip Record If.时取到，为Skip Record If.，极大值在Skip Record If.时取到，为Skip Record If.； 函数Skip Record If.在区间Skip Record If.,Skip Record If.上凹，在区间Skip Record If.,Skip Record If.上凸； 函数Skip Record If.的拐点坐标为Skip Record If.第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数Skip Record If.的定义域为Skip Record If.，如果Skip Record If.的某个邻域Skip Record If.，使得对Skip Record If.，都适合不等式Skip R