考研数学三真题及答案解析.docx

1、考研数学三真题及答案解析2005 年考研数学(三)真题、填空题(本题共 6小题，每小题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)2)微分方程 xy y 0 满足初始条件 y(1) 2 的特解为4)设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且 a 1，则 a= 5)从数 1,2,3,4中任取一个数，记为 X, 再从1,2, ,X 中任取一个数，记为 Y, 则PY 2 = 6) 设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为X Y0100.4a1b0.1二、选择题 (本题共 8小题，每小题 4 分，满分 32分. 每小题给出的四个选项中

2、，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内)32(7)当 a取下列哪个值时，函数 f (x) 2x3 9x2 12x a 恰好有两个不同的零点 .(A)2.(B)4. (C) 6.(D) 8.(8)设 I1cosx2 y2d ,I2 cos(x 2y2)d,I3cos(x 222y2) 2d ,其中DDDD ( x,y)x2y2 1，则(A)I3I2I1.( B) I1I 2 I3(C)I2I1 I3.(D) I 3I 1 I2(9)设an0,n1,2, , 若 an 发散， (n11)n 1 an收敛，则下列结论正确的是n1n1(A)a2n1 收敛， a2n发散 .(B)a2

3、n 收敛， a2n 1 发散 .n1n1n1n1(C)(a2nn11 a2n)收敛 .(D)(a2nn11a2n)收敛 . 10)设 f(x) xsin x cos x ,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，f( ) 是极小值 .(B)f(0)是极小值，f ( ) 是极大值 .2C)f(0) 是极大值，f ( ) 也是极大值 .2(D)f(0)是极小值，f( ) 也是极小值211)以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x) 在( 0，1)内连续，则f(x)在( 0，1)内有界B)若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在( 0， 1)内有界 .C)若 f (x)在( 0，1)内

4、有界，则 f(x)在(0，1)内有界 .(D) 若 f (x) 在( 0，1)内有界，则 f (x) 在( 0， 1)内有界 . 12)设矩阵 A=(aij)33 满足 A* AT，其中 A*是A的伴随矩阵， AT为A的转置矩阵 . 若a11 , a12 , a13为三个相等的正数，则 a11 为2214) 设一批零件的长度服从正态分布 N( , 2)，其中 , 2均未知. 现从中随机抽取 16个零件，测得样本均值 x 20(cm) ，样本标准差 s 1(cm) ，则 的置信度为 0.90 的置信区间是22 设f(u)具有二阶连续导数，且 g(x,y) f(y) yf(x)，求 x2 g2 y

5、2 g2 x y x y17)(本题满分 9 分)计算二重积分 x2 y2 1d ，其中 D ( x,y)0 x 1,0 y 1 .D( 18 )(本题满分 9 分)求幂级数 ( 1 1)x 2n 在区间 (-1,1)内的和函数 S(x).n 1 2n 1( 19 )(本题满分 8 分)设 f(x),g(x) 在0，1上的导数连续，且 f(0)=0, f (x) 0,g (x) 0 .证明：对任何 a 0,1 ,有( 20 )(本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组x12x23x30,i) 2x13x25x30,x1x2ax30,和 x1 bx2 cx3 0,(ii ) 22x1 b2 x2

6、 (c 1)x3 0, 同解，求 a,b, c的值 . (21)(本题满分 13 分)T1II)利用(I)的结果判断矩阵 B CTA 1C是否为正定矩阵，并证明你的结论 (22)(本题满分 13 分)设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为求：(I) (X,Y)的边缘概率密度 fX(x), fY(y)；II) Z 2X Y 的概率密度 fZ(z).( 23 )(本题满分 13 分)设 X1,X2, ,Xn(n 2) 为 来自 总体 N(0, 2 )的简 单随 机样本 ， X 为 样本均 值，记Yi X i X,i 1,2, ,n.求：(I) Yi 的方差 DYi ,i 1,2, ,n；II)

7、Y1与Yn的协方差 Cov(Y1,Yn).c.III)若 c(Y1 Yn)2是 2的无偏估计量，求常数2005年考研数学(三)真题解析、填空题 (本题共 6小题，每小题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上) 2x(1) 极限 lim xsin 2 = 2 .x x 2 1= lim x 2 2.1 x x2 1【分析 】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可 . 【详解 】 lim xsin 22x 2xx x 2分析 】 直接积分即可【分析 】 基本题型，直接套用相应的公式即可【详解 】 z ex y xex y ln(1 y), xz x y x 1xe ,y 1

8、 y于是 dz 2edx (e 2)dy .(1,0)4)设行向量组 (2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且 a 1，则 a= 12分析 】 四个 4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a.详解 】 由题设，有,X 中任取一个数，记为 Y, 则5)从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,13PY 2 = .48【分析 】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式 , 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即 为完备事件组或样本空间的划分 .【详解】 PY 2 =PX 1PY 2X 1+PX 2PY 2X 2+

9、PX 3PY 2X 3+ PX 4PY 2X 41=46) 设二维随机变量 (X,Y)1123的概率分布为(01 13)4 48X Y0100.4a1b0.10 与XXY已知随机事件1 相互独立，则 a= 0.4 , b= 0.1【分析】 a,b 的取值 .【详解】首先所有概率求和为1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定由题设，知a+b=0.5又事件 X 0 与XY 1 相互独立，于是有PX 0,XY 1 PX 0PX Y 1 ，即 a=(0.4 a)(a b),由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题 (本题共 8小题，每小题 4 分，满分 32分.

10、 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内)7)当 a取下列哪个值时，函数 f (x) 2x3 9x2 12x a 恰好有两个不同的零点(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析 】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极 值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点详解】f (x)26x 18x 12=6(x 1)(x 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2 ，且a ，可见当a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选 (B).(8)设 I1 cos x2Dy2d, I 2(x,y)

11、22x2 y2 1 ，则(A)I3 I 2 I 1.(B)(C)I 2 I1 I 3 .(D)【分析 】 关键在于比较 x22y、2 x【详解 】 在区域 D ( x,y)2 xy2 1f(1)5 a, f (2) 4D由于 cosx 在 (0, )上，有 0I1I322 y 与 (x2 上为单调减函数，于是cos(x 2y2)d, I3 cos(x2Dy2)2d , 其 中I2I1I3 .I2.22y2)2在区域 D ( x,y)x2y2 1 上的大小 .22x y 1 ，从而有因此22cos x y dDcos(x 2 y2 )dDcos(x 2 y2 )2d ，故应选 (A).D9) 设

12、 an0,n 1,2, 若 an 发散，n1n1( 1)n 1 an 收敛，则下列结论正确的是 n1(A)a2n 1收敛， a2n 发散. ( B)a2n 收敛，a2n 1 发散n1n1n1n1(C)(a2nn11 a2n)收敛 .(D) (a2nn11 a2n)收敛 . D 分析 】 可通过反例用排除法找到正确答案 .详解】 取an 1，则 an 发散， ( 1)n1an收敛，n n 1 n 1故应选 (D).但 a2n 1 与 a2n 均发散，排除 (A),(B) 选项，且 (a2n 1 a2n) 发散，进一步排除 (C),n 1 n 1 n 1事实上，级数 (a2n 1 a2n) 的部分

13、和数列极限存在 .n1 (10)设 f(x) xsin x cos x ,下列命题中正确的是C) f(0) 是极大值， f ( ) 也是极大值 . (D) f(0) 是极小值， f( ) 也是极小值 22 B 分析】 先求出 f (x), f ( x) ，再用取极值的充分条件判断即可 .详解】f (x) sin x xcosx sinx xcosx ，显然 f (0)0,f (2)0，又 f (x) cos x xsin x ，且 f (0) 应选 (B).(11)以下四个命题中，正确的是1 0, f (2)0 ，故 f(0)是极小值， f2是极大值，(A) 若 f (x) 在( 0，1)内连

14、续，则 f(x)在( 0，1)内有界 .B)若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在( 0， 1)内有界 .C)若 f (x)在( 0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界 .分析 】 通过反例用排除法找到正确答案即可 .11详解】 设f(x)= , 则f(x)及 f (x) 2 均在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除(A)、xx* T * T12)设矩阵 A=(aij)33 满足 A* AT，其中 A*是A的伴随矩阵， AT为A的转置矩阵 . 若a11 , a12 , a13为三个相等的正数，则 a11 为分析】 题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开

15、定理和相应公式：AA* A* A AE.【详解】 由A* AT及AA* A*A AE，有aij Aij,i,j 1,2,3，其中 Aij为aij的代数余子式，23且 AAT AE A 2 A 3 A 0 或 A 1(13)设 1, 2是矩阵 A 的两个不同的特征值， 对应的特征向量分别为 1, 2，则 1，A( 1 2) 线性无关的充分必要条件是(A)1 0. (B) 2 0. (C) 1 0. (D) 2 0. D 分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可详解】方法一：令 k1 1 k2A( 12) 0 ，则k11 k2 1 1 k2 2 2 0 ，(k1 k2 1)

16、1 k2 2 2 0.由于 1, 2 线性无关，于是有当 2 0时，显然有 k1 0,k2 0，此时 1，A( 1 2) 线性无关；反过来，若 1，A( 1 2)2)= 1 1线性相关 )，故应选 (B).线性无关，则必然有 2 0(,否则， 1 与 A( 1方法二： 由于 1,A( 12 ) 1, 1 12 2 1,2可见 1 ， A( 12) 线性无关的充要条件是2 0. 故应选 (D).2 均未知 . 现从中随机抽取 16 个零件，14) 设一批零件的长度服从正态分布 N( , 2) ，其中测得样本均值 x 20(cm) ，样本标准差 s 1(cm) ，则 的置信度为 0.90 的置信区

17、间是1 1 1 1(A) (20 t0.05 (16),20 t0.05(16). (B) (20 t0.1(16),20 t0.1(16).4 4 4 41 1 1 1t0.05(15),20 t0.05(15).(D) (20 t0.1(15),20 t0.1(15). C 4 4 4 4x t(n 1).sn(C) (20分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：详解 】由正态总体抽样分布的性质知，1) ， 故 的置信度为 0.90 的置信区间是1(x t (nn2111),x t (n 1)，即 (20 t0.05(15),20n 2 41t0.05(15). 故应选 (C).4

18、、解答题(本题共 9小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)15)(本题满分1x求lxim0 (1【分析】8分)1x).x 型未定式，般先通分，再用罗必塔法则详解】lxim0(11xxe1x)xx2x1x e0x(1ex)21xxxe2x12xx e2x2x e322lxim0=lxim0=lxim0=lxim016)(本题满分 8 分)设 f(u) 具有二阶连续导数，2g(x,y) f (y) yf (x) ，求 x2 g2 x y x2y2 y2g2 .y2分析 】 先求出二阶偏导数， 详解 】 由已知条件可得再代入相应表达式即可gy2 xxf (y) f ( x

19、)，xy所以22g2x2y3 xf ( y) x2 y x4f (x) 1 f (x)，yyyg1f ( y)f(x)xf(x)，yxxyyy22g212f(yx)x2 f2(xy)x2 f2(yx) x23 f(xy)yxxyyyy y3y22g2g2y2xy2222=2yf(y)xy22 f(x)x2 f(x)y22 f ( y)xxxxyyyxxyx2(x) y=2yfx 17)(本题满分(yx).x9 分)2xD被积函数含有绝对值，计算二重积分分析】详解】x218)1d，其中 D( x,y)0x 1,0y 1 .应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可记 D1 ( x,y)

20、D2y2 1d1,(x,y)D，( x, y)x2(x2D1(r22y21)rdr1,(x,y)1)dxdy(x2D，(x2D21)dxdyy2 1)dxdy(x2D1y2 1)dxdy1dx (xy2 1)dy2d00(r21)rdr =4本题满分 9 分)1求幂级数 ( 1n 1 2n 11)x 2n 在区间 (-1,1)内的和函数S(x).【分析 】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分， 从而达到求和的目的 .【详解 】 设转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，1S(x) n1(2n1 1 1)x2n，由于因此S1(x) n12n1 1x2nS2(x)2nx，1S(x) S1(x)

21、 S2(x)， xS2(x)n(xS1(x)xS1(x)1,1).2nx2nx2 ,x ( x1,1),t201t t2dt1 1 xln2 1 x又由于S1(0)0 ，故所以S(x)S1(x) S2 (x)1 1 xln2x 1 x0,x2,xx 01,.19)本题满分8分)设 f(x),g(x) 在0 ，1 上的导数连续，且 f(0)=0, f(x)0,g (x) 0 .证明：对任何 a 0,1 ,有【分析 】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论 【详解 】 方法一：设x1F(x) 0g(t)f (t)dt 0 f(t)g(t)dt f ( x)g(

22、1) ，则 F(x) 在0，1上的导数连续，并且F (x) g(x)f (x) f (x)g(1) f (x)g(x) g(1) ，由于 x0,1 时， f (x)0,g (x)0 ，因此 F () 0 ，即 F(x)在0， 1上单调递减注意到1F(1) 0 g(t) f(t)dt10 f (t)g (t)dtf (1)g(1) ，而10 g(t)f (t)dt10 g (t )df (t) g(t)f(t)110 0 f(t)g(t)dt1= f (1)g(1) 0 f(t)g (t)dt，故 F(1)=0.因此 x 0,1 时， F(x) 0 ，由此可得对任何 a 0,1 ，有a= f(a

23、)g(a) 0 f(x)g (x)dx，f(x)g (x)dxa= f (a)g(a) 0 f (x)g (x)dx由于 x 0,1时， g （x） 0，因此f (x)g (x) f (a)g (x)， x a,1 ，a1从而 g（x）f （x）dx f（x）g （x）dx （ 20 ）（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组x12x23x30,i) 2x13x25x30,x1x2ax30,和 x1 bx2 cx3 0,（ii ） 22x1 b2 x2 （c 1）x3 0,同解，求 a,b, c的值 .a，这样先求出.因为方程组（ i）【分析 】 方程组（ ii ）显然有无穷多解，于是方程组

24、（ i ）也有无穷多解，从而可确定 （i ）的通解，再代入方程组（ ii）确定 b,c 即可.【详解】 方程组（ ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ ii）有无穷多解与（ ii）同解，所以方程组（ i）的系数矩阵的秩小于 3.对方程组（ i ）的系数矩阵施以初等行变换1 2 3 1 0 12 3 5 0 1 11 1 a 0 0 a 2从而 a=2. 此时，方程组的系数矩阵可化为故 （ 1, 1,1）T 是方程组（ i）的一个基础解系将 x1 1,x2 1,x3 1代入方程组（ ii ）可得b 1,c 2 或 b 0,c 1.当 b 1,c 2 时，对方程组（ ii）的系数矩阵施

25、以初等行变换，有112101，213011显然此时方程组（i ）与（ ii）同解 .当 b 0,c1时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有101101，202000显然此时方程组（ i ）与（ ii）的解不相同分析 】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义Em o A C EmCTA 1 En CT B o1 A C Em A 1Co B CT A 1C o EnAo o B CT A 1CII）矩阵 B CT A 1C是正定矩阵 .由 （I）的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵 .因矩 阵 M 为对

26、称矩阵，故 B CTA1C 为对 称矩 阵. 对 X （0,0, ,0）T 及任 意的Y (y1,y2, , yn)T 0，有(X T,YT) oA ooB CT A 1CT T 1 T 1YT(B CTA1C)Y 0. 故B CTA 1C为正定矩阵 .13 分)(22)(本题满分设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为求：(I)(X,Y) 的边缘概率密度 fX (x), fY (y) ；II)Z 2X Y 的概率密度 fZ(z).( III )PY 1 X212.求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度 ; 直接用条件概率公式计算即可 .关于 X 的边缘概率密度2x0 dy,00,分析】详解 】 (I)fX (x) =f (x,y)dy =x 1,其他.关于 YfY(y)=II)