空间直角坐标系重难点突破.docx

1、空间直角坐标系重难点突破专题01 空间直角坐标系知识网络重难点突破知识点一 空间向量的概念及运算1、空间向量的概念(1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_.空间向量用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为_.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_，记为0单位向量_的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且_的有向线段表示同一向量或相等向量2、空间向量的加减运算及运算律下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba

2、. (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.ababab(2)空间向量加法交换律abba空间向量加法结合律(ab)ca(bc)3、空间向量的数乘运算实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_； (ab)_；(12)a_(拓展).4、共线向量与共面向量回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.定

3、义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x，y)使_点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使_对空间任一点O，有_例1（2020江西省高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）A BC D例2（1）（广东佛山一中2020届期中）在空间直角坐标系Oxyz中，若A（0，1，6），B（1，2，8），则|AB|（）A B C3 D、（2）（广东佛山一中2020届期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点（1）用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；（2）用向量法证明MN面A

4、1BD知识点二 空间向量的基本定理及坐标运算5、空间向量基本定理（1）.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.（2）.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.（3）.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 6、空间向量运算的坐标表示（1）.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b减法a

5、-b数乘a数量积ab（2）.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. （3）.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b0时,aba=b (R);(2)ab. （4）.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)|a|=;(2)cos= ;(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离

6、为|= .例3. （2020南昌市八一中学高二期末（理）设，向量且，则（ ）A B C3 D4例4（2019浙江省高二月考）在长方体中，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是_，若，则_知识点三 运用空间向量研究直线、平面的位置关系7、空间中点、直线和平面的向量表示 （1）.点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. （2）.空间直线的向量表示式如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P

7、在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,或+t.式和式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.（3）.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. （4）.平面的法向量如图,直线l,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合P|a=0.点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量

8、,必须具备以下两个条件:是非零向量;向量所在的直线与l平行或重合.8、空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系向量表示线线平行设1,2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1l212R,使得1=2.线面平行设是直线l的方向向量,n是平面的法向量,l,则lnn=0.面面平行设n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2R,使得n1=n2.点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量12.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在

9、的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.例5.（广西河池高级中学2019届期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离. 例6.（2020江苏省高考真题）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角FDEC的大小为，求sin的值知识点四

10、 运用空间向量研究距离、夹角问题9、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离（1）.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a).点P到直线l的距离为PQ=.（2）.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.10、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 已知平面的

11、法向量为n,A是平面内的定点,P是平面外一点.过点P作平面的垂线l,交平面于点Q,则点P到平面的距离为PQ=.点睛：1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度.2.如果一条直线l与一个平面平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面的距离求解.3.两个平行平面之间的距离如果两个平面,互相平行,在其中一个平面内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面的距离求解.例7（2020延安市第一中学高二月考（理）在棱长为2的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）A B C D例8.（多选题）（2020

12、江苏省高二期中）如图，在菱形中，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A与平面所成的最大角为B存在某个位置，使得C当二面角的大小为时，D存在某个位置，使得到平面的距离为例9（2019湖北省高二期中（理）已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为_.空间直角坐标系解析例1（2020江西省高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）A BC D【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.例2（1）（广东佛山一中2020届期中）在空间直角坐标系Oxyz中，若A（0，1，6），B（

13、1，2，8），则|AB|（）A B C3 D【解析】解：空间直角坐标系中，A（0，1，6），B（1，2，8），则|AB|故选：A【点睛】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离计算问题，是基础题（2）（广东佛山一中2020届期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点（1）用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；（2）用向量法证明MN面A1BD【解析】证明：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），设平面A1BD的法向量为（x，y，z），（2，0，2），（2，2，0），取（1，1，1），同理平面B1CD1的法向量为（1，1，1），平面A1BD平面B1CD1；（2）M、N分别为AB、B1C的中点，（1，1，1），MN面A1BD知识点二 空间向量的基本定理及坐标运算5、空间向量基本定理（1）.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.