完整版平行四边形的性质及判定典型例题Word格式.docx

1、解：（1）错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形 ABCD，两条对边AD / BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形（2）错平行四边形的性定理 1，“平行四边形的对角相等 ”对角是指四 边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角（3）错平行四边形的性质定理 3，“平行四边形的对角线互相平分 ”一般地不相等 （矩形的两条对角线相等 ）（4）对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的（5）错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两 条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做 这两条平行线的距离（6）对由定义知道，平行

2、四边形的对边平行，根据平行线的性质可 知平行四边形的邻角互补例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED / BF .欲址 DE / BF，只需/ DEC二 / AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：vAE=CFAE+EF二CF+EF AF=CE在二ABCD中AB / CD（平行四边形的对边平行） / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等） ABF刍乂 CDE（SAS）/ AFB= / DC

3、E ED / BF（内错角相等两直线平行）解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在 ABC中DE / BC / FG，若BD=AF、求证;DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH / AB（或DM / AC）,得至U DE=BH、只需证 HC=FG ,因 AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以 AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK / AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK ,转证 AFG CKE .过E作E

4、H / AB交于Hv DE / BC四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义） DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又 BD=AF AF=EHv BC / FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH AFG EHC（AAS） FG=HC BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK / AB交DE的延长线于K.四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）AF=CKv CK / AB / A= / ECK（两直线平行内错角相等）/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）/ AG

5、F= / CEK AFG S CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC DE+FG=BC例 5 如图IABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在 CD 上,CE=1 ,EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u r根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.在二ABCD 中，AD / BC/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A/ A=45 ,Z ABC=135Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）EF 丄 CDZ F=45 （直角三角形两锐角互余

6、）EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之EF金=（勾股定理）vAD=BC=1二BF = CF”EC = Q例6如图1， ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 ,AB长为6cm，求一 ABCD的面积. 过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .（图2）vZ CAB=30-.CH 二丄 = 1 X10=52 2 SABCD = AB-CH = 6X5=30（cm2）答：二ABCD的面积为30cm2 .由于二=底高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点 D的高，故选择 过点C作高.例7如图，E、F分别在ABCD的边CD、B

7、C上，且EF /求证：S ACE二S ABF运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.将EF向两边延长分别交 AD、AB的延长线于G、H.二 ABCD DE / AB/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD / BC/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE / BH , DB / EH四边形BHED是平行四边形VDE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA） S GDE=S FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S ACE=S AFH（等底同高的三角形面积相等

8、）.S ADE = S ABF平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二aha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即 对应的高，为了区别，可以把高记成 ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DFd叫西3 1=Z 3 r Z 1=Z 2f tS亠彩姑皤彩B口 ABCDT四边形ABCD是平行四边形二DE / FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z = Zadc, Z2=|z

9、abc/ 2= / 3 DF / BE（同位角相等两条直线平行）四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义） BF=DE .（平行四边形的对边相等）此例也可通过 ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF / AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG / BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG / BC交AB于G点.v EF / AB EG=BFv CD为Rt ABC斜边AB上的高/ BAC + / B=90 .Z BAC + / ACD = 90

10、/ B= Z ACDZ ACD=Z EGAv AE 平分Z BACZ 1= Z 2又 AE=AE AGE ACE（AAS）CE=EGCE=BF .（2）本题也可（1）在上述证法中， “平移”起着把条件集中的作用.以设法平移AE .（连F点作FG / AE，交AB于G）例10如图，已知I ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于 E, AF 丄DC 于 F，/ EAF=2 / C,求 AE 和 AF 的长.从化简条件开始由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边 长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6/

11、 EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAEZC=180 oAE 1 EAF-2 Z C j討 c=6这样，立即可以看ADF、 AEB都是有一个锐角为30的直角三角形.于是有 = = = 3再由勾股定理求出ABCD的周长为32cm即 AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又 AB : 35+3BC= X3 = 6/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于 360v AE 丄 BC / AEC=90AF 丄 DC / AFC=90/ EAF+ / C=180/

12、 EAF=2 / Ct AB / CD（平行四边形的对边平行）/ ABE二/ C=60 （两直线平行同位角相等）同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5Al = ja =E = 53 （cm）在RtAADF中，ZDAF = 30 DF= AP = |bC = 3f-j diAF - 7aD3 -IFa = M Ccm）化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就 从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题 策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题（1）如图1,四边形ABCD与四边形BEF

13、C都是平行四边形，则四边形AEFD是，理由是（2）如图2, D、E分别在 ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE / BC贝卩四边形ADCF是_,理由是_ ,四边形BCFD 是，理由是判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条 件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得 AD平 行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由 判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边 形ADCF是平行四边形，从而得 AD / CF即BD / CF，再由条件， 可得四边形BCFD是平行四边形.（1）平行四边形，一组对边平行且

14、相等的四边形是平行四边 形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行 四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB二 / CBD=90 .求 证：四边形ABCD是平行四边形.判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法,这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID从对角钱看一（5 ）对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z

15、ADB= / CBD=90 , BD=DB . Rt ABD 坐 Rt CDB ./ ABD= / CDB，/ A= / C./ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .四边形 ABCD 是平行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 ）证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .Rt ABD 坐 Rt CDB .Z ABD=Z CDBAB /CD.（内错角相等两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形 ）证法三：由证法一知，Rt ABD幻Rt CDB . DA=BC又 T

16、AB二CD四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平 行四边形）证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路， 我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种 证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.只须证明EGFH为平行四边形. 连结 EG 、GF、FH 、HE/ A= / C, AD=CB .T BG=DHAH=CG又 AE=CF AEH CFG（SAS）HE=GF同理可得 EG=FH四边形 EGFH 是平行四边形 （两组对边分别相等的

17、四边形是平 行四边形 ）EF 与 GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分 ）平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和 角问题基本方法例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.四边形AECF是平行四边形.由平行四边形的性质，可得 ABE CDF AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄 BD、CF 丄 BDAE / CF / AEB= / CFD=90 ABE CDF（AAS）AE=CF四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四

18、边形）平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是 平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于HEF与GH互相平分欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四 边形，利用已知条件可知四边形 AFCE、四边形EBFD都为平行四 边形，所以可得 AF / EC , BE / DF，从而四边形GEHF为平行四 边形.ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF / CE ,

19、 BE / DF（平行四边形对边平行）四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平 行四边形） GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、 直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件， 以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用 平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知 ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、 H在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄 HF证EF、GH互相平分二GEHF为平行四边形.证明:

20、连 BG、DH、GF、EHT ABCD为平行四边形. AD 垒 BC又 AG=HC DG 丄 BH四边形BGDH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） HO = GO , DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）又 BE=DF OE=OF四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图， ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分. 连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四

21、边连结 EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-.GE = CjD =AD2/ GED二 / GDE同理可得hf = hb = ec, Zhfe = ZhefV四边形ABCD是平行四边形 AD 岂 BC,/ GDE= / HBF GE=HF，/ GED= / HFBGE / HF四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形）EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）容易证明厶ABE CDF BE=DFT四边形ABCD为平行四边形 AD 些 BCt G、H分别为AD、BC的中点DG 丄 BH四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形

22、 是平行四边形）BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）OG=OH , OB=ODOE=OFEF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,已知两边与夹角，可先确定 ABC，根据判定定理2（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），再确定点D，从而平行四 边形可作出.作法:（1）作/ EBF二 / a,在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点 D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平 行四边形）且/ ABC二 / a, AB=a , BC=b- ABCD为所求常见的平行四边形作图有以下几种：（1）已知两邻边（AB、BC）和夹角（/ B）.（2）已知一边（BC）和两条对角线（AC , BD）.（3）已知一边（BC）和这条边与两条对角线的夹角 （如/ DBC ,ZACB）.已知一边（CD）和一个内角（/ ABC）以及过这个角的顶点的一 条对角线（BD，且BD CD）求作平行四边形（如图）完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完 成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问 题的思想方法.