37数值计算方法教案曲线拟合与函数逼近.docx

1、37数值计算方法教案曲线拟合与函数逼近第三章 插值法与最小二乘法3.7 最小二乘法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握数值逼近的拟合方法。二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的最小二乘法。具体内容如下：曲线拟合原理，最小二乘法。三、教学重点难点1教学重点：曲线拟合。2. 教学难点：最小二乘法。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。一曲线拟合1.问题提出：已知多组数据，由此预测函数的表达式。数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。2.直线拟合的概念设直线方程

2、为y=a+bx。则残差为：，其中。残差是衡量拟合好坏的重要标志。可以用MATLAB软件绘制残差的概念。x=1:6;y=3,4.5,8,10,16,20; p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y, o);y1=polyval(p,x);hold onfor i=1:6 plot(i,i,y(i),y1(i), r);end可以绘制出如下图形：三个准则：（1）最小（2）最小（3）最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点，求一次多项式y=a+bx，使得总误差Q最小。其中。根据故有以下方程组（正则方程）：例1.

3、给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式xi165123150123141yi187126172125148 解：N=5，=702，=758，=99864，=108396。则有方程组解得a=-60.9392，b=1.5138，则一次多项式为y=-60.9392+1.5138b用MATLAB计算并画图如下：x=165,123,150,123,141;y=187,126,172,125,148;A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.2);A(2,3)=x*y;B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3)

4、;p=b,a;%以上四行，可以用一行命令 p=polyfit(x,y,1); 替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y, o);绘制如下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点，求m次多项式（m0）的经验公式，使它能和下表数据拟合。xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46解：公式可以变为：lny=lna+bx，进一步可以写为Y=A+bx。其中Y=lny，A=lna，对应表格为：xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46Yi1.6291.7561.8672.0082.135（4）求函数在区间1/4,1上的最小一次式。小结这节课我们主要学习了最小二乘法的原理及其上机实现过程，大家要求掌握最小二乘法的原理，并会设计算法，设计Matlab程序。作业：课后相应习题。