分数的认识 教学研究校本教研活动方案.docx

1、分数的认识 教学研究校本教研活动方案 “分数的认识教学研究”校本教研活动方案（一）一、活动总体目标经历阅读与解答活动一与活动二中所有问题的过程；能够进一步明确小学教材与算术理论中分数的定义；清楚分数意义分两段教学各自的重点；进一步明确如何对“分数初步认识和分数的再认识”进行教学设计。 二、活动操作方案活动一目标1.经历阅读、思考、解答与同伴交流关于分数含义的相关问题的过程；2.掌握分数定义的多种不同的表达方式；能够区分不同定义的特点；3.能够结合小学生的学习情况，正确理解“单位1”、“平均分”等重要概念。能够从算术理论的高度理解分数的定义并与小学生的学习紧密相结合。活动时间60分钟。教研组可以

2、调整活动的时间，要根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题。可以是全教研组老师规定思考、讨论、交流哪些问题，也可以让老师自己选择感兴趣的问题。不同教龄、不同教学水平的老师可以有不同的选择。活动前准备解答下面的问题，准备在小组与全数学组中交流。（注：以下的问题中，号表示问题有一定的难度。）1.*先写一写你觉得人类为什么要有分数？然后阅读下面的资料并归纳出人类要有分数的几条理由。答：人类历史上最早产生的数是自然数（非负整数），以后在度量和平均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。 用一个作标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有当量若干次正好量尽的时

3、候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能正好量尽，有两种情况： 例如，用b作标准去量a： 一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。例如，把b分成4等份，用其中的一份去量a，量9次正好量尽在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就必须引进一种新的数-分数来表示度量的结果。 另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a,都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长）。在这种情况下，就需要引进一种新的数-无理数。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。为了使除法运算总可以施

4、行，也需要引进新的一种数-分数。 综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。在人类的生产与生活中，为了数出事物的个数就产生了自然数。随着人类的进一步发展，只有自然数就不能满足需要了。从度量的角度看，如果用一个作为标准的量B（度量单位）去度量另一个量A，如果量了若干次后刚好量尽，在这种情况下，量的结果可以用自然数表示。例如，当用B作为度量单位去量A时，量了3次正好量尽，这样A就有3个度量单位B，整数3就可以表示量得的结果。如果量了若干次后不能恰好量尽，这时就有两种情况：第一种情况是把度量单位B平均分成n份，把其中的一份作为新的度量单位去度量A。如果量了m次恰好量尽，那么A就含有B分成n等分后把一

5、份作为度量单位度量时的m份。在这种情况下，就不能用一个自然数来表示用B度量A的结果，需要引入一种新的数。而度量的结果显然与n和m有关，这样就需要引入用n和 m两个自然数来表示的一种新的数。人们把这种新的数叫做分数，用这样的形式表示。第二种情况是无论把度量单位B分成几等份，用其中的一等份去度量A，都不能恰好量尽。在这种情况下，也不能用整数来表示用B度量A所得的结果，因而也需要引进一种新的数。在这里我们对这种新的数不作进一步讨论。从数学内部的发展来看，由于两个自然数相除不一定能够得到一个是自然数的商。也就是说，在自然数的范围内，两个自然数相除不是总可以实施的。比如，3个大饼，4个人平均分，每人分得

6、多少？依据除法的意义，这个算式是34。但自然数系里，这种除法运算是不能进行的，即找不到这样的自然数，来表示34的商。为了使得象34这样的除法总是可以实施，也需要引入一种新的数来表示商。人们就把34的商规定为四分之三。实际上，如果是分饼，每人也的确是可以得到饼，得到块饼。这样两个自然数之间的除法运算就总可以进行了。因此，除法的计算结果也就是商可以写成分数的形式，即34=，一般地：AB的商是,读作B分之A。当B=1时，分数就是自然数。从这里我们可以看到，分数的产生使得两个自然数相除总可以得到商。2.先想一想，写一写，在小学数学教材中，怎样表达什么叫分数？在算术理论中，分数是怎样定义的？再阅读下面的

7、四个定义并回答问题(要求写出答案)。答：小学教材中这样描述：一个物体、一些物体等都可以看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。分数的四种定义从整数到分数，是数学发展史上非常重要的事件，它标志着人们对事物的认识更加全面了，“从事物的数目转到了事物的量度，从可数事物的讨论转到了可量度事物”。随着数学的发展，人们对分数的使用越来越广泛，对分数本质的认识也越来越深刻。（一）分数的“份数定义”在小学数学中，一般将分数定义为：一个物体、一些物体，都可以看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数；表示把单位“1”平均分成的份数m叫做分母，表

8、示取了几份的数n叫做分子；分数写作n/m，读作m分之n；表示一份的分数1/m叫做分数的单位。这一定义的好处是直观形象、通俗易懂，特别强调“平均分”，并对“几分之几”做了清晰的解释。但是，这种形象化的定义也存在不少缺点：（1）用“一份”或者“几份”这样的词语来描述分数，和自然数靠得很近，容易和自然数的一些性质和运算混淆起来，本文开头学生在解答第一个问题时就犯了这种错误；（2）由于表示的份数往往比原来的单位“1”少，容易让学生产生误解，认为分数总是小于1的，本文开头学生在解答第二个问题时也可能含有这种错误；（3）容易产生“将总体看做单位1”的思维定势，比如，面对“学校有学生1500人，其中男生80

9、0人，问女生占男生的几分之几”这样的问题，容易将全校总人数看做单位“1”，得到7/15的错误答案。（二）分数的“商的定义”。两个整数b、a（a0）相除，当能除尽时（即a能整除b时），商是整数；当除不尽时，商是分数，记作b/ a。所以，分数是“整数b除以整数a（a0）所得的商”，这才是分数的本质所在。有了分数，整数除法的范围更广泛了；有了分数，数的范围也拓展了，整数扩展到了有理数。从“分数是两个整数相除所得的商”的角度来看分数，很多问题都变得简单了。比如，分数的基本性质就是“商不变的性质”，分数乘除法就是整数乘除法的混合运算，分数加减法就是整数的四则混合运算。这样，分数四则运算法则的推导就容易多

10、了，比如，异分母分数加减法则b/ad/c=badc=bcacadac=(bcad)ac(bcad)/ac；分数乘法法则b/ad/c=(ba)(dc)=(bd)(ac)=bd/ac；分数除法法则b/ad/c=(ba)(dc)=bcad=(bc)(ad)=bc/ad。要正确解答本文开头所述的两类问题，就需要用到分数“商的定义”的基本思想。（三）分数的“比的定义”。从比的角度来看分数，可以认为“分数是两个整数的比（值）”。这一点理解起来并不困难：从分数的份数定义来看，分数表示总体中的一份或几份，实质就是部分与整体之比；从分数的商的定义来看，商本质上也是一种比。从这一角度来认识分数，可以将分数的含义拓

11、展，将分数看做“一部分”与“另一部分”的比，这“另一部分”既可以是整体，也可以是部分。这样，利用分数来解答“农家院里8只鸭子10只鸡，鸭子占鸡的几分之几”这类问题就比较容易了。（四）分数的“公理化定义”。现代数学上，有的数学家将分数b/a看做一个序偶（b，a）：两个分数（b，a）与（d，c）相等定义为bc=ad；分数（b，a）与（d，c）的和与差定义为（bcad，ac）；分数（b，a）与（d，c）的乘积定义为（bd，ac）；分数（b，a）与（d，c）的商定义为（bc，ad）。这就是分数的公理化定义。虽然很抽象，却体现了现代数学逻辑严谨的基本特征。定义1：把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份

12、或几份的数，叫分数。定义2：两个自然数m,n(n不等于0)相除的商，叫分数。定义3：两个自然数m，n(n不等于0)之比，叫分数。定义4：形如 (n为大于1的自然数，m为自然数)的数叫分数。 补充定义：当n=1时，=m。问题：(1)*你觉得上面的这四个定义有什么相同与不同之处？答：四条定义相同点是：它们都是用的表达形式。不同点：定义1：广义的定义，定义中描述了分数的产生过程。定义2：商的一种表达形式。可用这种数来表示。定义3：比的不同表示形式，比可以是M：N也可以用来表示，还能表示比的比值。定义4：对低年级的学生认识分数较为适用，只要认识其形态，无数量关系内涵。(2)根据上面的定义1，你认为是分

13、数吗？根据其他的几个定义呢？答：是分数。以后三个定义来判断同样能看作分数。(3)你认为有必要让小学生明确是分数吗？为什么？现行的小学数学教材中要求学生明确 是分数吗？答：没必要明确这个问题。由于0是自然数，所以也可以表示“取其中的几份”。所以分子可以为0.只是我们不常见到这种情况。在生活应用中很少存在，与生活学什么关联的数学问题就不讲了。现行教材中没有明确这个问题，以前也没遇到过这个问题。(3)有些老师在上分数意义这节课时，会把分数的定义表述为：“把单位1平均分成若干份，表示其中的1份或几份的数，叫做分数。”比如对于这个分数来说，它的含义是：把单位1平均分成5份，表示其中的4份的数。你觉得这样

14、的表达好吗？依据这样的表达请说一说：的含义。答：这样的表达可以，在学生刚学习完分数的意义后，学生能这样去描述说明还是有教学效果的。可以这样讲：与生活实际相联系，某同学将一次数学作业平均分成了4份，但是他做了5份的作业量，他超额做了一份。我们可以用来表示。 (4)有人说：“任何一个自然数都可以表示成分数的形式，自然数可以看成是特殊的分数。”你认为这个说法是否有道理？为什么？答：还是有道理的呀。自然数可以看成分母是1的分数。3.甲、乙两人在说分数的含义时，作了以下的解释，你认为他们说的都是正确的吗？甲：分数可以理解为：把单位“1”平均分成n份，表示m个这样的一份的数。分母n表示把单位“1”等分的份

15、数，分子m表示有这样的几份。 乙：分数可以理解为：把m个单位分成n等份，表示这样的一份的数。也就是说，表示m除以n的结果。请你结合一个具体的分数，如，说一说，写一写，上面的两种含义。你还能画图直观地帮助别人更好地理解的两种含义吗？试一试。答：两种说法都有理由的。如分数：用甲的说法是：如将一个长方形平均分成了8份，取其中的5份就是如：用乙的说法是：将5个小方格平均分成8份，可以来表示每一份。4.一个老师在上分数的认识这节课时，先向学生说明把一个苹果平均分成两份(两个半个)，一份(一个半个)可以用数表示，然后让学生说一说：在这里的“1”、“2”和“”各表示什么意思？如果你来回答这个问题，写一写你的

16、答案。下面是两个学生的发言：生1：在这里的“1”表示一个半个苹果；“2”表示两个半个苹果；“”表示半个苹果。生2：在这里的“1”表示原来分开前的一个苹果；“2”表示把这个苹果平均分成两份；“”表示半个苹果。你觉得这两个学生的说法都是正确的吗？为什么？答：都是正确的。因为：生1：有的是上边的定义1来定义的。生2用的是1除以2可用分数来表示来定义的。5.在小学数学教材中，分数的定义是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或几份的数，叫分数。有人说：“在这个定义中的单位“1”与自然数中的1有不一样的地方，最主要的区别是：单位“1”可以表示一个整体，可以由多个物体组成，而自然数中的1只表示一个物体。”你认为这样的说法有道理吗？为什么？一年级的数