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1、 3.2有限元建模技术. .13四、 有限元技术的应用和发展趋势 .14.4.1 CAE中的有限元技术的应用154.2薄板载荷的ANSYS分析.174.3有限元技术发展趋势21五、 总结.24.六、 参考文献. 26一、有限元方法引言随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算

2、核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。有限元法是一种高效能、常用的计算方法有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法（Galerkin）

3、或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表

4、达式的另一途经。在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代，大型电子

5、计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术从此正式诞生。二、有限元的发展历史21 有限元法的诞生每一项新技术的推出都是由于时代的迫切需要，而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验。在上个世纪40年代，由于航空事业的快速发展，对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算。正是在这一背景下，有限元分析的方法逐渐的发展起来。早期的一些成功的实验求解方法与专题论文，完全或

6、部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献，首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration一文，文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解，由于当时计算机尚未出现，这篇论文并没有引起应有的注意。1956年，M.J.Turner （波音公司工程师），R.W.Clough （土木工程教授），H.C.Martin （航空工程教授）及L.J.Topp （波音公司工程师） 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元

7、技术计算飞机机翼的强度的论文，名为Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures，文中把这种解法称为刚性法（Stiffness），一般认为这是工程学界上有限元法的开端。1960年，Ray W. Clough教授在美国土木工程学会（ASCE）之计算机会议上，发表另一篇名为The Finite Element in Plane Stress Analysis的论文，将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上，同时有限元法（Finite Element Method）的名称也第一次被正式提出。由此之后，有限元法的理论迅速地发展起来，并广泛地应

8、用于各种力学问题和非线性问题，成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段。并且随着计算机的迅速发展，有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成。因此，可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展。2.2 FEA技术的探索起源,发展、壮大“有限元法”概念的提出，引出了美国加州大学伯克利分校有限元技术研究小组的最为辉煌的十年历程。1963年在加州大学Berkeley分校，Edward L.Wilson教授和Ray W. Clough教授为了教授结构静力与动力分析而开发了SMIS（Symbolic Matrix Interpretive System），其目的是为了弥

9、补在传统手工计算方法和结构分析矩阵法之间的隔阂。1969年，Wilson教授在第一代程序的基础上开发的第二代线性有限元分析程序就是著名的SAP（Structural analysis program），而非线性程序则为NONSAP。Wilson教授的学生Ashraf Habibullah于1978年创建了Computer and Structures Inc.（CSI），CSI的大部分技术开发人员都是Wilson教授的学生，并且Wilson教授也是CSI的高级技术发展顾问。而SAP2000则是由CSI在SAP5、SAP80、SAP90的基础上开发研制的通用结构分析与设计软件。同样是1963年，

10、Richard MacNeal博士和Robert Schwendler先生联手创办了MSC公司，并开发第一个软件程序，名为SADSAM（Structural Analysis by Digital Simulation of Analog Methods）即数字仿真模拟法结构分析。提到MSC公司，就想到与其有着不解渊源的美国国家太空总署（NASA），当年美国为了能够在与前苏联之间的太空竞赛中取得优胜而成立了NASA。而为了满足宇航工业对结构分析的迫切需求，NASA于1966年提出了发展世界上第一套泛用型的有限元分析软件Nastran（NASA STRuctural ANalysis Progr

11、am）的计划，MSC.Software则参与了整个Nastran程序的开发过程。1969年NASA推出了其第一个NASTRAN版本，称为COSMIC Nastran。之后MSC继续的改良Nastran程序并在1971年推出MSC.Nastran。另一个与NASA结缘的是SDRC公司，1967年在NASA的支持下SDRC公司成立，并于1968年发布了世界上第一个动力学测试及模态分析软件包，1971年推出商业用有限元分析软件Supertab（后并入I-DEAS软件中，这也就是为什么I-DEAS作为一款设计软件其有限元分析还如此强大的原因）。1969年，John Swanson博士建立了自己的公司S

12、wanson Analysis Systems Inc（SASI）。其实早在1963年John Swanson博士任职于美国宾州匹兹堡西屋公司的太空核子实验室时，就已经为核子反应火箭作应力分析编写了一些计算加载温度和压力的结构应力和变位的程序，此程序当时命名为STASYS （Structural Analysis SYStem）。在Swanson博士公司成立的次年，结合早期的STASYS程序发布了商用软件ANSYS。1994年Swanson Analysis Systems, Inc.被TA Associates并购，并宣布了新的公司名称改为ANSYS。进入70年代后，随着有限元理论的趋于成熟

13、，CAE技术也逐渐进入了蓬勃发展的时期，一方面MSC，ANSYS，SDRC三大CAE公司先后组建，并且致力于大型商用CAE软件的研究与开发，另一方面，更多的新的CAE软件迅速出现，为CAE市场的繁荣注入了新鲜血液。70年代初当时任教于Brown大学的Pedro Marcal创建了MARC公司，并推出了第一个商业非线性有限元程序MARC。虽然在MARC在1999年被MSC公司收购，但其对有限元软件的发展起到了决定性的推动作用，至今在MSC的分析体系中依然有着MARC程序的身影，更值得一提的是Pedro Marcal早年也是毕业于Berkeley大学。在早期的商用软件舞台上，还有两位主要人物，他们

14、是David Hibbitt和Klaus J Bathe。David Hibbitt是Pedro Marcal在Brown的博士生，David Hibbitt与Pedro Marcal合作到1972年，随后Hibbitt与Bengt Karlsson和Paul Sorenson于1978年共同建立HKS公司，推出了Abaqus软件，使ABAQUS商业软件进入市场。因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型的早期有限元程序之一，所以它对软件行业带来了实质性的冲击。2002年HKS公司改名为ABAQUS，并于2005年被达索公司收购。另外一位对有限元方法做出重大贡献的是Klaus J. B

15、athe博士。Klaus J. Bathe六十年代末在Berkeley大学Clough和Ed Wilson博士的指导下攻读博士学位，从事结构动力学求解算法和计算系统的研究。由于Bathe博士在对结构计算以及SAP软件所做的贡献，Bathe博士毕业后被MIT聘请到机械与力学学院任教至今。1975年在MIT任教的Bathe博士在NONSAP的基础上发表了著名的非线性求解器ADINA （Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis），而在1986年ADINA R&D Inc.成立以前，ADINA软件的源代码是公开的，即著名的ADINA81版和ADI

16、NA84版本的fortran源程序，后期很多有限元软件都是根据这个源程序所编写的。1977年Mechanical Dynamics Inc.（MDI）公司成立，致力于发展机械系统仿真软件，其软件ADAMS应用于机械系统运动学、动力学仿真分析。后被MSC公司收购，成为MSC分析体系中一个重要的组成部分。在CAE的历史中另一个神奇的程序是显式有限元程序DYNA，DYNA程序由当时在美国Lawrence Livermore国家实验室的John Hallquist编写。之所以说DYNA神奇，是因为在现在我们熟知的众多软件中，都可以发现DYNA的踪迹，因此LS-DYNA系列也被公认为显式有限元程序的鼻祖

17、。下面我们来细数一下由DYNA所演变出来的有限元程序：在20世纪80年代，DYNA程序首先被法国ESI公司商业化，命名为PAM-CRASH，现已成为了ESI的明星产品。除此之外，ESI公司还有多个被人熟知的软件，如铸造软件ProCAST，钣金软件PAM-STAMP，焊接软件SYSWELD，振动噪声软件VA One，空气动力学软件CFD-FASTRAN，多物理场软件CFD-ACE+等等。1988年，John Hallquist自己创LSTC（Livermore Software Technology Corporation）公司，发行和扩展DYNA程序商业化版本LS-DYNA。同样是1988年，

18、MSC在DYNA3D的框架下开发了MSC.Dyna并于1990年发布第一个版本，随后于1993年发布了著名的MSC.Dytran。另外，ANSYS收购了Century Dynamics公司，把该公司以DYNA程序开发的高速瞬态动力分析软件AUTODYN纳入到ANSYS的分析体系中。并且在1996年，ANSYS与LSCT公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA。1984 年，ALGOR公司成立于，总部位于宾州的匹兹堡，ALGOR公司在购买SAP5 源程序和 vizicad 图象处理软件后，同年推出 ALGOR FEAS（Finite Element Analysis System）。随着有限元技

19、术的日趋成熟，市场上不断有新的公司成立并推出CAE软件，1983年AAC公司成立，推出COMET程序，主要用于噪声及结构噪声优化分析等领域。 随后Computer Aided Design Software Inc推出提供线性静态、动态及热分析的PolyFEM软件包。1988年Flomerics公司成立，提供用于空气流及热传递的分析程序。同时期还有多家专业性软件公司投入专业CAE程序的开发。由此，CAE的分析已经逐渐的扩展到了声学、热传导以及流体等更多的领域。在早期有限元技术刚刚提出时，其应用范围仅在航空航天领域，且研究的对象也只局限在线性问题与静力分析。而经过近十年的发展研究，有限元技术的应

20、用范围已经囊括了力学、热、流体、电磁的自然界四大基本物理场，并且已经发展到多场耦合技术（如表1所示）。可以说有限元技术经过十年的研究发展，其应用范围与研究对象发生了翻天覆地的变化。上世纪90年代至今是CAE技术的成熟壮大时期，这一时期的CAE领域呈现出了大鱼吃小鱼的市场局面，大的软件公司为了提升自己的分析技术、拓宽自己的应用范围寻找机会收购、并购小的、专业的软件商，因此CAE软件本身的功能得到了极大的提升。MSC公司作为最早成立的CAE公司，先后通过开发、并购，已经把数个CAE程序集成到其分析体系中。目前MSC公司旗下拥有10几个产品，如Nastran、patran、Marc、Adams、Dy

21、tran和Easy 5等，覆盖了线性分析、非线性分析、显式非线性分析以及流体动力学问题和流场耦合问题。另外，MSC公司还推出了多学科方案（MD）来把以上的诸多产品集成为了一个单一的框架解决多学科仿真问题ANSYS公司通过一连串的并购与自身壮大后，把其产品扩展为ANSYS Mechanical系列， ANSYS CFD（FLUENT/CFX）系列，ANSYS ANSOFT系列以及ANSYS Workbench和EKM等。由此ANSYS塑造了一个体系规模庞大、产品线极为丰富的仿真平台，在结构分析、电磁场分析、流体动力学分析、多物理场、协同技术等方面都提供完善的解决方案。SDRC把其有限元程序Sup

22、ertab并入到I-DEAS中，并加入耐用性、NVH、优化与灵敏度、电子系统冷却、热分析等技术，且将有限元技术与实验技术有机地结合起来，开发了实验信号处理、实验与分析相关等分析能力。而在2001年SDRC公司被EDS所收购，并将其与UGS合并重组，SDRC的有限元分析程序也演变成了NX中的I-deas NX Simulation，与NX Nastran一起成为了NX产品生命周期中的仿真分析中的重要组成部分。进入21世纪后，早期的三大软件商MSC、ANSYS、SDRC的命运各不相同，SDRC被EDS收购后与UGS进行了重组，其产品I-DEAS已经逐渐的淡出了人们的视线；MSC自从Nastran被

23、反垄断拆分后一蹶不振，2009年7月被风投公司STG收购，前途至今还不明朗；而ANSYS则是最早出现的三大巨头中最为强劲的一支，收购了Fluent、CFX、Ansoft等众多知名厂商后，逐渐的塑造了一个体系规模庞大、产品线极为丰富的仿真平台。而在CAE市场的其他厂商也发生了不少的并购和重组，一些新近的厂商也逐渐在崭露头角。如并入达索SIMULIA的ABAQUS，能否如SolidWorks一样借助达索的强劲在CAE市场中打出一片天地；以前后处理而进入CAE领域的Altair公司，其Hypermesh软件自诞生之日起就备受业界的关注，而围绕前后处理建立起来的HyperWorks软件，也已经成为了现

24、在市场上很有竞争力的软件，近几年来收入也持续上涨；LMS也是一个比较有特点的CAE软件公司，其软件的分析集1D、3D、“试验”于一身，不仅可以加速虚拟仿真，还能使仿真结果更准确可靠；COMSOL则是以多物理场耦合仿真开辟出了一片新天地，为其发展、更为CAE技术的发展拨开迷雾。另外，在市场中占有一定份额的还有如前后处理软件ANSA、Truegrid，流体仿真软件Fluent（被ANSYS收购）、CFX（被ANSYS收购）、Phoenics、NUMECA、Star-CD，铸造仿真软件ProCAST、FLOW-3D、MAGMA SOFT等一批专业CAE分析软件。2.3 国内有限元法的发展之路我国的力

25、学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是由于当时环境所致，我国有限元方法的研究工作受到阻碍，有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离。20世纪60年代初期，我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域。当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法应力设计法”；而在70年代初期，钱令希教授提出了“结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”。这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向。1964年初崔俊芝院士

26、研制出国内第一个平面问题通用有限元程序，解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题。20世纪60年代到70年代，国内的有限元方法及有限元软件诞生之后，曾计算过数十个大型工程，应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域。20世纪70年代中期，大连理工大学研制出了JEFIX有限元软件，航空工业部研制了HAJIF系列程序。80年代中期，北京大学的袁明武教授通过对国外SAP软件的移植和重大改造，研制出了SAP-84；北京农业大学的李明瑞教授研发了FEM软件；建筑科学研究院在国家“六五”攻关项目支持下，研制完成了“BDP-建筑工程设计软件包”；中国科学院开发了FEPS、SEFEM；航空工业总公司飞机结构多约束

27、优化设计系统YIDOYU等一批自主程序。上世纪90年代以来，大批国外CAE软件涌入国内市场，遍及国内的各个领域，国外的专家则深入到大学、院所、企业与工厂，展示他们的CAE技术、系统功能及使用技巧，因此使得国内自主研发CAE软件受到强烈打压。同时，有关管理部门在对直接为先进装备制造业服务的CAE软件核心技术的认识上产生了偏差：CAE既不属于基础科学，又不属于科技攻关，故而失去了必要的支持，使其发展举步维艰，以至于在上世纪的最后十几年国内CAE自主创新的步伐已经非常缓慢，也逐渐的拉开了与国外CAE软件的距离。进入21世纪后，虽然国外CAE软件占据市场主流的现状短时间内已经无法撼动，但国内自主知识产

28、权CAE软件逐渐市场化，获得了一定的发展：北京飞箭软件有限公司推出的FEPG、郑州机械研究所推出的紫瑞CAE、大连的大工安道公司的CAE软件Adopt.Smart；湖南大学与吉林大学开发了针对汽车结构的KMAS分析系统；华中科技大学针对铸造成型开发的华铸CAE软件；清华大学、上海交大在注塑成型CAE领域也推出了相应的分析软件。虽然国内CAE自主研发之路历经艰辛，但是广大专家学者用锲而不舍的战斗精神顽强地生存下来。尤其是在近几年，数字化产品设计的概念逐渐深入人心，国内高校技术研究和应用水平不断提高，有限元技术已经为广大企业所认可。随着国家对发展自主CAE平台已经愈发重视，国内CAE的研究已经逐渐

29、走出低迷状态，获得了一定的发展，而且值得注意的是，有限元技术不再仅仅停留在高校中，而是更多的走向了企业。同时，更多使用方便、操作简单的专用分析软件也得到了广泛应用。2.4有限元技术的现状发展到今天，CAE软件不仅仅只有有限元法一种基本算法，目前已经发展出了包括有限差分法、有限元法、有限体积法等多种数学算法。而究其本质都是采用微积分的方法对离散方程进行求解，从而得出所求的结果。多种求解方法使CAE技术得到的长足的发展，而目前有限元法覆盖的领域已经非常广泛，并已大量的应用于结构力学，结构动力学，热力学，流体力学等仿真分析，并且向着多方向发展。三、有限元法的基本思想和建模技术3.1有限元方法的基本思

30、想有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本

31、求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分