高中数学同步导学新课标立体几何初步专题三 空间点线面之间的位置关系答案解析.docx

1、高中数学同步导学新课标立体几何初步专题三 空间点线面之间的位置关系答案解析学习目标1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力知识点梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内它的作用是可用来证明点在平面内或_(2)公理2：过_上的三点，有且只有一个平面

2、公理2的推论如下：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题2空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“

3、分别在两个平面内的两条直线”异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线所成角的范围是_若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线_，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和_3平行公理公理4：平行于_的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)它给出了判断空间两条直线平行的依据4等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_【自查自纠】1(1)两点直线在

4、平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条2(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)互相垂直异面垂直3同一条直线4相等或互补基础自测1在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1COB与O1B1不平行 DOB与O1B1不一定平行解：两角相等，角的一边平行且方向相

5、同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角故选D.3若点P，Q，R，m，且Rm，PQmM，过P，Q，R三点确定一个平面，则是()A直线QR B直线PRC直线RM D以上均不正确解：PQmM，m ，M.又M平面PQR，即M，故M是与的公共点又R，R平面PQR，即R，R是与的公共点MR.故选C.4给出下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线，则此四点必共面；空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中正确命题的序号是_解：易知正确故填.5在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF5，又AD6， BC8，则AD与B

6、C所成角的大小是_类型一基本概念与性质问题例一如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解：由线面垂直关系知ACSB.由线面平行判定知AB平面SCD.由图形对称性知C也正确对于选项D，AB与SC所成的角为SCD，DC与SA所成的角为SAB90，D错故选D.【评析】此题虽是小题，但对空间中的线与线和线与面的关系的考查却很深刻，除用常规的方法证明垂直与平行外，对运用线面角、异面直线所成角和二面角的定义证题的方法也要熟练掌握，否则此题若建系

7、求解，就会造成“小题大作”，浪费时间变式如图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？类型二点共线、线共点问题例二如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线证明：点E平面ABD，点H平面ABD，EH平面ABD.EHFGO，点O平面ABD.同理可证点O平面BCD.点O平面ABD平面BCDBD.即B，D，O三点共线【评析】(1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后

8、证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法(2)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.变式如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点求证：(1)EFD1C；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)连接A1B，则EFA1B，A1BD1C.EFD1C.类型三共面问题例三如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证

9、明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：GH是AFD的中位线，GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由：BE綊AF，【评析】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这

10、个平面内变式下列如图所示的正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号)解：易知中PSQR，四点共面在中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面在中，由点P，R，Q确定平面，由图象观察知点S在平面外，因此四点不共面综上知，故填.类型四异面直线问题例四如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成的角的余弦值解：(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，P

11、BO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60，且POOB.在RtAOB中，AB2，BOABsin301.在RtPOB中，POBOtan60，底面菱形面积S2，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连结EF，DF.E为PB中点，EFPA.DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtPOA中，PA，EF.异面直线DE与PA所成角的余弦值为.【评析】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于

12、底边，长方体对面上的平行线进行平移等这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题变式已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为()A. B. C. D. 解：设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角或其补角在A1AB内，由A1在底面ABC上的射影为BC的中点，得RtA1ADRtBAD，从而A1DBDAB，所以A1BAB，在A1AB中，设AB长为a，则A1Ba.由余弦定理得：cosA1AB.故选D.名师点睛1公理1，2，3是进一步学习和研究立体几何的

13、基石，也是解题中进行逻辑推理和演绎推理的基础，在这些公理基础之上，我们产生了直线和平面平行、垂直以及平面和平面平行、垂直的一些判定定理和性质定理，这些判定定理和性质定理是我们将立体几何转化为平面几何的桥梁，特别是公理2的三个推论，是实现立体问题平面化的重要工具2判断两条直线为异面直线的方法有：(1)定义法；(2)反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们既不相交，也不平行即可；(3)判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线3求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线

14、的平行线；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角度是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是.4证明“线共面”或者“点共面”问题时，运用同一法，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内5证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线6空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力主要表现为识图、画图和对图形的想象能力识图是指观察研究所给图形

15、中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志，我们在解决立体几何问题时，要养成勤画图、准确画图的好习惯，从而为解题提供直观的模型，提高解题速度针对训练1若空间中三条直线a、b、c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直2如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解：A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RPSQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条

16、件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线故选C.3设a，b是异面直线，那么()A必然存在惟一的一个平面同时平行于a，bB必然存在惟一的一个平面同时垂直于a，bC过a存在惟一的一个平面平行于bD过a存在惟一的一个平面垂直于b解：A错，可以存在无数个平面同时平行于a，b；B错，一定不存在平面和a，b同时垂直；D错，过a也不一定存在平面垂直于b.综上所述C正确故选C.4直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D905如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是(

17、)AA1C1平面ABCDBAC1BDCAC1与CD成45角DA1C1与B1C成60角解：由A1C1AC，AC平面ABCD，A1C1平面ABCD，知A1C1平面ABCD，A正确；由BD平面ACC1A1知BDAC1，B正确；由A1DB1C可知，DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又DA1C1为等边三角形，DA1C160.故选C.6过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4条解：显然正方体的体对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，将该正方体以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为坐标轴建

18、立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l有4条故选D.7已知a，b，c是直线，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直其中真命题是_(写出所有正确命题的序号)8长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解：如图，连接D1A，D1E，可知D1AE为两异面直线所成的角或其补角，可求得AD1，D1E，AE，据余弦定理易得：cosD1AE，故填

19、.9如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面证明：连接A1C1，GQ，EH，E，F，G，Q分别是A1D1，D1C1，C1C，A1A的中点，EFA1C1QG.同理FGEH.设E，F，G，Q确定平面，F，G，H，E确定平面，由于与都经过不共线的三点E，F，G，故与重合，所以E，F，G，H，Q五点共面同理可证E，F，G，P，Q五点共面所以E，F，G，H，P，Q共面10在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AA12，AB3，ADa(a0)(1)求异面直线B1C与BD1所成角的余弦值；(2)当a为何值时，使B1CBD1?B(a，

20、3，0)，D1(0，0，2)，B1(a，3，2)，C(0，3，0)，所以(a，3，2)，(a，0，2)从而cos，.所以异面直线B1C与BD1所成角的余弦值为(a0) .(2)由(1)知，当a2时，B1CBD1.11如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积解：(1)证明：由已知可得AE3，BF4，则折叠完后EG3，GF4，而EF5，所以可得EGGF.又因为CF底面EGF，可得CFEG，CFGFF，即EG面CFG，EG平面DEG，所以平面DEG平面CFG.(2)过G作GO垂直EF于点O，GO.因为平面CDEF平面EFG，得GO平面CDEF，所以所求体积为S长方形DEFCGO4516.12. 如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC边上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所成角的余弦值设ABa，由已知得ACa，ADa，BDa，DCa，EFBDa，AFa.在RtAEF中，AE，cosAEF.