最新工作文档高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料Word文档格式.docx

1、2222 9494（）925,，,，,xyxy229d（49）d25d,，,xy故 ,DDD229（49）d25,，,xy即 ,D2,24而 2236,，,（49）d100xy,所以 ,D3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值:22222（）d,（,）|;axyDxyxya,，,，,（1） ,D222222（2） axyDxyxya,，,d,（,）|.,D22解:（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶（）d,axy,，,D1223点的圆锥的体积，所以 axya,，,（）d,D3222（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球axy,d,D22

2、223的体积，故axya, d.,D312224. 设f（x，y）为连续函数，求.fxyDxyxxyyr,，,lim（,）d,（,）|（）（）002,Dr,0r因为f（x，y）为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得，,（,）,D2fxyfrf（,）d（,）,（,） ,Dr,0又由于D是以（x，y）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，（,）（,）,xy0000112lim（,）dlimfxyrff,（,）lim（,）22,Drrr,000rr于是:,ffxylim（,）（,）,00,xy（,）（,）00fxy（,）d,5. 画出积分区域，把化为累次积分:（1）; Dxyxyyxy,，,（,）|1

3、,1,02（2） Dxyyxxy,（,）|2,2（3） Dxyyyxx,（,）|,2,2 x（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.yxyy,11,0111,y所以 fxyyfxyx（,）dd（,）d,Dy01,2（2） 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为（1，-1），（4，2），区域D2可表示为 . yxyy,，,2,12图10-3 图10-4 22y，所以 fxyyfxyx（,）dd（,）d,2,Dy,12（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点（1，2），与x=2的交点为（2，y,x224）,曲线y,与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为,

4、yxx2,12.xx图10-5 22xfxyxfxyy（,）dd（,）d,所以. 2,D1x6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序:elnx22yd（,）dxfxyy（1）; （2） ;d（,）dyfxyx2,100ysinx132,y（3） ; （4） d（,）dxfxyy;d（,）dyfxyxx,0sin0y21233yy,d（,）dd（,）dyfxyyyfxyx，（5） . ,00102解:（1）相应二重保健的积分区域为D:如图10-6所示.02,2.,yyxy图10-6 xD亦可表示为: 04,.,xyx2224yx所以 d（,）dd（,）d.yfxyxxfxyy,x2,00y2（

5、2） 相应二重积分的积分区域D:如图10-7所示.1e,0ln.,xyx图10-7 yD亦可表示为: 01,ee,yxeln1exd（,）dd（,）dxfxyyyfxyx,所以 y,100e（3） 相应二重积分的积分区域D为:如图10-8所示.01,32,yyxy图10-8 D亦可看成D与D的和，其中 122D: 01,0,xyx1113,0（3）.,xyxD: 2212,yxx13213（3）2d（,）dd（,）dd（,）dyfxyxxfxyyxfxyy,，所以.,y00010x（4） 相应二重积分的积分区域D为:如图10-9所示.0,xyx,sinsin.2图10-9 D亦可看成由D与D两

6、部分之和，其中 12D: ,10,2arcsinyyx;1 01,arcsin,yyxyarcsin.2sin0xy1,arcsin所以d（,）dd（,）dd（,）dxfxyyyfxyxyfxyx,，x,0sin12arcsin0arcsin,yy2 （5） 相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中 12 D: 01,02,yxy13,03.,yxy12如图10-10所示. 图10-10 x02,3;,xyxD亦可表示为: 2123323yyx,所以d,dd（,）dd（,）dyfxyxyfxyxxfxyy，, ，x,0010027. 求下列立体体积:2222（1）旋转抛物面z=x+y,

7、平面z=0与柱面x+y=ax所围;222（2）旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围. 解:（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 2222（）ddxyxy，V=其中D: （,）|xyxyax，,D22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2， （）ddxyxy，,D1其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得 1acos,acos,11334444222Vrrraa,.2dd2dcosd,000042320（2） 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 22Vxyxy,，（）dd, ,D2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图

8、10-11所示.图10-11 2D可表示为: ,11,1.xxy112222所以Vxyxyxxyy,，,，（）ddd（）d 2,Dx,111111188，23246 ,，,，,xyyxxxxxd（）d.,112333105，x8. 计算下列二重积分:2x1（1） dd,:12,;xyDxyx,2Dyxxy2edd,xy（2） D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围;22xyxy,dd,（3） D是以O（0,0），A（1，-1），B（1，1）为顶点的三角形;,Dcos（）dd,（,）|0xyxyDxyxxy，,（4） . ,Dx222222xxxx3dddddd解:（1） xyxyxxxx,，

9、1,22111Dyyy1xx2119，42,xx. ,424，1（2） 积分区域D如图10-12所示. 12 图10- 01,0.,yxyxxx2211yyxyyy所示 edddedded（）xyyxyy,0000Dy2yx1111yyy ,yyyyyyyyed（e1）dedd,000001111111yyy2 ,yyyyyydedeed.,0000220（3） 积分区域D如图10-13所示. 图10-13 D可表示为: 01,.,xxyxx211x，xyy222222ddddarcsindxyxyxxyyxyx,，,所以,00Dx22x，,x11123 ,xxxd.,022360（4）cos

10、（）dddcos（）dsin（）dxyxyxxyyxyx，,，,，x,Dx00,，,sin（xxxxxx）sin2d（sinsin2）d ,0011，,.coscos2xx，,2，209. 计算下列二次积分:1ysinx（1）dd;yx,0yx yy1yy1xx2（2）dedded.yxyx，111,y224sinx解:（1）因为求不出来，故应改变积分次序。 dx,x积分区域D:0?y?1, y?x?，如图10-14所示。 y图10-14 2D也可表示为:1,x?x. 所以 111yxsinsinsinxxx2dddd（）dyxxyxxx,2,000yxxxx111 ,（sinsin）dsin

11、dsindxxxxxxxxx,000111,，,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,00yx（2）因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中edx,1111DyxyDyyxy:,:1,., 124222如图10-15所示:图10-15 积分区域D亦可表示为: 12,xxyx1,. 2于是:xyyy1y11yyx1xxx2xdeddeddeddyxyxxyx，,xe11111,2,yx222224x 113eee1x2xx,（ee）dxxx,x1xee,1,182222210. 在极坐标系下计算二重积分:222222（1） sindd,;xyxyD，,（,）|xyx

12、y,，,4,D22,，（）xy22（2）D为圆=1所围成的区域; edd,xyxy，,Dx2222（3）D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内arctandd,xyxy，xy，,Dy的闭区域;22（）dd,xyxy，（4）D是由曲线=x+y所包围的闭区域。 xy，,D（1）积分区域D如图10-16所示:图10-16 D亦可采用极坐标表示为:?r?2, 0?2 所以 2222sindddsindxyxyrrr，,D0 22,26.rrrcossin,（2）积分区域D可用极坐标表示为:1, 0?2. 所以:21122221,，,（）2xyrrxyrrr,eddded2ed（）

13、,D000,2 11,2,r,.1,e0e,（3）积分区域D如图10-17所示. 图10-17 D可用极坐标表示为:0?, 1?2. 4所以:2x4arctanddarctan（cot）ddxyrr,D01y 239,4,d.,0264,2（4）积分区域D如图10-18所示， 图10-18 D可用极坐标表示为:3,，, ,0cossinr 443cossin,，24（）ddd（cossin）dxyxyrr，,，,0D,4cossin，3,3r4,d（cossin），,304 3144,，（cossin）d,3434,44,sind.，,32,4411. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:

14、222aaxxax,2222（1）d（）d;（2）dd;xxyyxxyy， ,0000122,xaay,122222 （3）d（）d;（4）dd.xxyyyx， ，xy，2,x000（1）积分区域D如图10-19所示. 图10-19 D亦可用极坐标表示为: , 0,02cosra22cosa,24,2a22cosaxxa,r22322d（）ddddxxyyrr，,0000040 31344442,4cosd4aaa.,04224（2）积分区域D如图10-20所示. 图10-20 D可用极坐标表示为:, 0,0secra 4asec,33asecxa,ar2223444dddddsecd，,xx

15、yyrr,000000330 33aa4，,，,sectanln（sectan）.,2ln（21），,，066（3）积分区域D如图10-21所示. 图10-21 D也可用极坐标表示为:. , 0,0sectanr41,x,1sectan2,22144d（）dddsectandxxyyrrr，,2,x0000 4,sec21,0（4）积分区域D如图10-22所示. 图10-22 D可用极坐标表示为:, 0,0ra2a224aaya,r22342 d（）ddd.yxyxrra，,00002840*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分:22xyxydd（1）,其中D是由xy=2,xy=4,x=y

16、,y=3x在第一象限所围平面区域;222dd,1;xyD,，,（2） （,）xyy，xy，x,D12,x22d（）d,xxyy，（3）令x=v,x+y=u; ,01,x2222xy,xy（4） dd,:1;xyD，,，,2222Dabab,2222dd,;xyD,xy，,9（5） （,）xyxy，,4,D2222dd,.xyD,xy，,4（6） （,）xyxyy，,2,D（1）积分区域D如图10-23所示:图10-23 y令xy=u,则 ,vxuxyuvuv,（24,13） v111vvu,xx,2,（,）1xy22uvuv,uv J,.,yy,（,）2uvvvu,uv22uvuv于是:433

17、3411281u2222xyxyuuvvuuddddddln3., lnv,D12223vv231224,u13,v24所示。（2）积分区域D如图10- 图10-24 令x+y=u,x-y=v,则 uvuv，,xy, 22且 -1?u?1, -1?v?1. 11,（,）1xy22J, 11,（,）2uv,22于是:4224211uuvv，21224224（）ddddd（2）dxyxyuvuuuvvv，,，,D,1188,11u,11v111112121，,423542 ,dduuuvuvvuu，,11843535，,11114121，53,.uuu，,445595，,1（3）积分区域D: 0?

18、1, 1-x?2-x xy令x=v, x+y=u, 则y=u-v 积分区域D变为D: xyuv1, 1?2. 01,（,）xy且 J,111,（,）uv于是 212121,x1，2222223d（）dd（22）ddxxyyvvuvuuv，,，,vuvuu2,，,01010,x3，1 1137237,，232v,d.vvvvv23,，,，,023323,，0（4）令x=arcos, y=brsin则积分区域D变为 D:1, raarcossin,（,）xy Jabr,bbrsincos,（,）r,1222111,xy，234 ,xyrabrrabrrab,dddddd2abr，,22DD00r,

19、2，4ab,0（5） 令x=rcos，y=rsin. 即作极坐标变换， 则D变为:3, 0?2. 于是:232222ddddddxyrrrr,xy，,4rr,44,DD002333， ,2（4）d（4）drrrrrr,，,02，23,4111，2442,2.，22rrrr,2，4402,（6）积分区域D如图10-25所示:D可分为D,D?D,D四个部分.它们可分为用极坐标1234表示为。图10-25 D:, 0?2sin, 1D?, 2sin?2, 23 ?2 422222222ddddddddxyxyxyxy,，xyyxyyxyyxyy，,，,，,，,2222,DDDDD,1234,2sin

20、222222,，,，,d（2sin）dd（2sin）dd（2sin）drrrrrrrrrrrr,0002sin0,222sin2,322332rrrr，,d（2sin）d,，,d（2sin）dd（2sin）drrrrr,00002sin,2sin224442，222rrr333,，dddrrrsinsinsin,00344343，02sin0,2416416,44,，sinddd4sinsin4sin,，,003333,281616,4,dd，,，sind4sin,4sin,0033,32811631，,，,8sind,，sin2sin4,034328，023,，,809.3213. 求由下列

21、曲线所围成的闭区域的面积:2bb2yxyx,（1）曲线所围（a0,b0）; aa22（2）曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围（x0,y0）. 2bb2yxyxab,（0,0）解:（1）曲线所围的图形D如图10-26所示:aa图10-26 D可以表示为:aa,2yxy,2 bb,0,yb,所求面积为:abyb1aa,2b Sxyyxyab,ddddd.yy,a,200Dy62bb,b22（2）曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x（x0）所围图形D如图10-27所示:图10-27 所求面积为 Sxy,dd ,Dy,v令xy=u,则 xu22xyuvauav,（2,12） v,（,

22、）1xy J,（,）2uvv于是 222a22211aa, Sxyuvvuvdddddddln22,Da112222vvv22,aua2,v1214. 证明:byb1，1nnyyxfxxfxbxx,d（）（）d（）（）d;（1） ,aaan，11fxyxyfuu（）dd（）d，,（2）,D为|x|+|y|? ,1D122222faxbycxyufu（）dd21d，,（3）,其中D为x+y?1且，uabc，,1D22a+b?0. （1）题中所给累次积分的积分区域D为 a?b, a?y. 如图10-28所示:图10-28 D也可表示为a?b，x?b， 于是:bbybbb1nn，1nyyxfxxxy

23、xfxyx,d（）（）dd（）（）ddfxyx,（）（）,aaaxan，1x b1，1n,fxbxx（）（）d.,an，1（2）令x+y=u,x-y=v，则 uvuv，,xy,且-1?1,-1?1 22,（,）1xy,于是 ,（,）2uv11111 fxyxyfuuvufuvfuu，,（）dd（）ddd（）d（）d.,11122Du,11v,11aubvbuav,，（3）令,则 xy,2222abab，22faxbycfuabc（）（），,，ab,222222 ,（,）xyababab，J,，,12222ba,，（,）uvabab2222abab，22当x+y?1时， 22222222aubv

24、buav,，,（）（）abuabv，22，,，,uv1. ,222222ab，abab，,22faxbycxyfuv（）dddd，,，uabc，,22Duv，,12,u1122,ddufv，uabc，2,u11 2,u1122,fvud，uabc，2,1,u11222,21d.ufu，uabc，,122222215. 求球面x+y+z= y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。 解:如图10-29所示:图10-29 222zaxy,上半球面的方程为，由 ,zxzy , 222222,xyaxyaxy,得 22,za,z,1，, ,222,y,x,axy,由对称性知 22,za,z,Axyxy,，,41dd4dd,222DD,y,x,