行程问题小学六年级奥数教案.docx

1、行程问题小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案：行程问题第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度X时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量 .从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量X人数.工作量=工作效率X时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题当然，行程问题

2、有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味 .它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容 .因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的 思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他 .这就产生了 “追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之 差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离=甲的速度X时间-乙

3、的速度X时间=（甲的速度-乙的速度）X时间.通常，“追及问题”要考虑速度差例1小轿车的速度比面包车速度每小时快 6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门 9千米，问学校到城门的距离是多少千米 ?解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间 .此时，小轿车比面包车多走了 9千米，而小轿车与面包车的速度差是 6千米/小时，因此所用时间=9* 6=1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门 9千米，说明小轿车的速度是9 一鸟二54 （千米卜时）一60面包车速度是54-6=48

4、（千米/小时）.城门离学校的距离是 48X1.5=72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2小张从家到公园，原打算每分种走 50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走 75米.问家到公园多远?解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75 米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 X 10* （75- 50）= 20（ 分钟）?因此，小张走的距离是75X 20= 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.解二 小张加快速度后，每走1米，可节釣时间町）分钟，因此家到公园的距离是2霜待）=15G0 c米）一种解法好

5、不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便” .那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶 .如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上解一：自行车1小时走了自行车40分钟走了30 X 1-已超前距离,如果速度是35千米/小时，要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少?自行车多走20分钟，走了30-35X 空602060因此，自行车的速度是70= (30-y)X3= 90-70=20(千米卜时)答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离*速度差1小时与40分钟是3 : 2.

6、所以两者的速度差之比是2 : 3.请看下面示意图:速度35干米/小时P- 速J30千米/扌池时卜-斗马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35-15= 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4千米的地方追上了他 然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8千米，这时是几点几分?解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸骑的距离是4+ 8= 12（千米）.这就

7、知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 -4=3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8 X 3=24（千米）.但事实上，爸爸少用了 8分钟，骑行了4+12=16（千米）.少骑行24-16=8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离 .如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度X时间+乙的速度X时间=（甲的速度+乙的速度）X时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5小张

8、从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12分钟.他们同时出发，几分钟后两人 相遇?解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36 - 12=3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4段,小王走了 3段，小张走了 1段，小张花费的时间是36- （3+1）=9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.例6小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4千米.两人同时出发，然后在离甲、 乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.I-甲讦米中

9、 A 点-I乙解：画一张示意图离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1千米，小王走了两地距离的一半少 1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2*（5_4）=2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5+ 4） X 2=18（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少 ？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用 题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件 好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后

10、”就是“追及”请再看一个例子.例7甲、乙两车分别从A, B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C点12千米;如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5千 米，且两车还从A, B两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C点16千米.求A, B两地距离.解：先画一张行程示意图如下12 ie丄 N HL .; ?i设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速， 还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一

11、样的，这是 解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到 E点，而不加速，只能到D点.这两点距离是12+ 16= 28（千米），加速与不加 速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28-5= 5.6（小时）.比C点相遇少用6-5.6=0.4（小时）.甲到达D,和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是12-0.4=30（千米/ 小时）.同样道理，乙的速度是16-0.4=40（千米/ 小时）.A到B距离是（30+ 40） X 6= 420（千米）.答：A，B两地距离是420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇

12、问题”.例8如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下 坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问：（1）小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇 ?（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米 ?解： 小张从A到B需要1 -6X 60= 10（分钟）;小王从D到C也是下坡，需要2.5 -6X 60= 25（分钟）;当小王 到达C点时，小张已在平路上走了 25-10=15（分钟），走了4 X為二1 （千米）6Q因此在B与C之间平路上留下3-仁2（千

13、米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 - （4+ 4） X 60= 15（分钟）.从出发到相遇的时间是25+ 15= 40 （分钟）.（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点需要走1 -2X60=30分钟，即他再走60分钟到达终占八、小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走2X”（千米）小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.二、环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关 .例9小张和小王各以一定速度，在周长为 500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

14、（1） 小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步， 75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分?（2） 小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王 ?解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500- 1.25-180=220（米/ 分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈 （一个周长），因此需要的时间是500- （220-180）=12.5（分）.220X 12.5 - 500=5.5（圈）.答：（1）小张的速度是220米/分;（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.例10如图，A、B是圆的直

15、径的两端，小张在 A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在 C点第一次相遇，C离 A点80米;在D点第二次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长.n解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来 走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80X 3=240（米）.240-60=180（米）.180X 2=360（米）.答：这个圆的周长是360米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节例11甲村、乙村相距

16、6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走 （到达另一村后就马上 返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王 的速度各是多少?解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3倍，因此所需时间是40X 3-60=2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6X2-2=10（千米）.小王已走了 6+2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10 一 2=5（千米/小时），小王8 - 2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是 5千米

17、/小时和4千米/小时.例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村 2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）?解：画示意图如下.3.5 ?第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3倍，因此张走了3.5 X 3=10.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2=8.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3+2+2）倍的行程.其中张走了3.5 X 7=24.5（

18、千米），24.5=8.5+8.5+7.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休 息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇?解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：小王时闾1小时5分2小时10分3小时15分行程4千米8千米12千米小张时间1小时3小时分行程5千米10千米15千米12+15=27比24大，从表上可以看出

19、，他们相遇在出发后 2小时10分至3小时15分之间.出发后2小时10分小张已走了10 + 5X = 11 （千米），此时两人相距24-(8+11)=5(千米).由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这 5千米所需时间是5*(4+6)=0.5(小时).2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是出发后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A, B, C分别在这3个点上.它们同时出发，按 顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置 ?解：先考虑B与C这两

20、只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.30- (5-3)=15(秒).因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90- (5-3)=45(秒).B与C到达同一位置，出发后的秒数是15, 105，150, 195，再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30 - (10-5)=6(秒)，以后再要到达同一位置是 A追上B一圈.需要90 - (10-5)=18(秒)，A与B到达同一位置，出发后的秒数是6, 24, 42， 78, 96,对照两行列出的秒数，就知道出发后 60秒3只爬虫到达

21、同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.请思考，3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒 ?例15图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时,在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB上一点N处相遇.求ASN距离 B至N距离解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便, 取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.

22、根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出汽车行驶BC所需时间是蛊冷 汽车行驶AB所需时间是牛|- 汽车行驶AD所需时间是絆扌分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以 24.这样，汽车行驶CD BC, AB, AD所需时间分别是24, 12, 16,18.从P点同时反向各发一辆车，它们在 AB中点相遇P-XA与P-C-B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间=DA所需时间-CB所需时间= 18-12=6.而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得PC上所需时间是（24+6） - 2=15,PD上所需时间是24-15=9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而

23、行，M-P-D-A-N与M-C-B-N所用时间相等.M是PC中点P-D-A-N与C- B- N时间相等，就有BN上所需时间-AN上所需时间=PDiA所需时间-CB所需时间=(9+18)-12=15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间= 16.立即可求BN上所需时间是15.5 , AN所需时间是0.5.直至N距离_ AN所需时间-0 5 _ 1 B至N距离二BN所需时间=155 = 3?从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些 .三、稍复杂的问题在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：(1)在行程中能设置一个解题需要的点；(2)灵活地运用比例.例16小王

24、的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行 车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问: 小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?解：画一张示意图：王 张李I 1 1 1甲 B 人 乙图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与 小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了 B与A之间这段距离，它等于(4,8 + 10 8) X = 1.3 (千米)60这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是

25、（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3 - （5.4-4.8） X 60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小 李从A到甲地需要130- 2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是130+65=195（分钟）=3 小时 15 分.答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而 解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.例17小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地， 而

26、他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快” ？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4： 1,那么从公园门口到目的地的距离超过 2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距 离是多少米?解：先画一张示意图2千米一 I G 1 糜 公园 E 丸设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时 间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在 A点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速

27、度是步行速度的 4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的 距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是1+1.5=2.5（单位）.每个单位是2000 - 2.5=800（米）.因此，从公园到家的距离是800X 1.5=1200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是 1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的 .请再看一例.例18快车和慢车分别从A, B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了 12.5小时， 慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间 ?解：画一张示意图：设C点是

28、第一次相遇处.慢车从B到C用了 5小时，从C到A用了 12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1 个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了 .慢车从C到A,再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3 X 7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-仁14（单位）.现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14-（2+3）=2.8（小时）.慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8（

29、小时）.答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8千米，因此第二小时 比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了 B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是 C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶 8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了 .D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3

30、千米时间一样多.因此顺水速度：逆水速度=5 : 3.由于两者速度差是8千米.立即可得出逆水速度=8- = 12 （千米/小时）A至B距离是12+3=15（千米）.答：A至B两地距离是15千米.例20从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是 每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的 2倍.现有两辆汽车分别 从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的+处从甲到乙方向的+处）相遇，那么，甲*乙两市相距多少千米?第三段第一段解一：画出如下示意图:当从乙城出发的汽车走完第三段到 C时，从甲城出发的汽车走完第一段的到达D处，这样，D把第一段分成两部分两车在第二段的+处相遇，说明甲城汽车从D起到E走完第一段，与乙城汽车走完第二段的+从借蛀，所用时间相同.设这一时间为1份，1小时20分相当于|+1 + 心| （份）9一份有802|=30 （分钟）因此就知道，汽车在第一段需要230 X + 30 = 50分钟）；第二段需要30 X 3=90（分钟）;第三段需要30X = 20 （分钟）,曲彩沁竺+如岂60