1、元。它的解法显然可套用上述公式。)(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:(两次总脚数之和)(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差)2=鸡数;(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)2=兔数。例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?解 (52+44)(4+2)+(52-44)(4-2)2=202=10(只)鸡(52+44)(4+2)-(52-44)=122=6(只)兔(答略)鸡兔同笼目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法基
2、本问题 特殊算法 习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题一。大约在_年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔?算这个有个最简单的算法。(总脚数-总头数鸡的脚数)(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数(94352)2=12(兔子数) 总头数(35)兔子数(12)=鸡数(23)解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚,这样笼子里的脚就减少了头数2只,由于鸡只有2只脚,所以笼子里只剩下兔子的两只脚,再除以2就是兔子数
3、。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡:235=70(只)鸡脚比总脚数少:9470=24 (只)兔:24(4-2)=12 (只)鸡:3512=23(只)假设法(通俗)假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立的脚:94-35=59(只)然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只) 兔:2=12(只) 鸡:35-12=23(只)3方程法一元一次方程解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24x=12或 解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只。2x+4(35-x)=
4、942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只)答:兔子有12只,鸡有23只。注:通常设方程时,选择腿的只数多的动物,会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上,好算一些。二元一次方程设鸡有x只,兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入(x+y=35)x+12=35x=35-12(只)x=23(只)。兔子有12只,鸡有23只4抬腿法 法一假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1,这时,脚与头的总数之差47-35=12,就是
5、兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚,还剩下94352=24只脚 , 这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有242=12只兔子,就有3512=23只鸡5列表法腿数鸡(只数)兔(只数)6详解中国古代孙子算经共三卷,成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70(只),比题中所说的
6、94只要少94-70=24(只)。现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72(只),再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:2=12(只),从而鸡有35-12=23(只)。我们来总结一下这道题的解题思路:如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地,也可
7、以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法:设兔子的数量为x,鸡的数量为y那么:x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出:7详细解法基本问题鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着。现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是2442=122(只).在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次。因
8、此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34(只),有34只兔子.当然鸡就有54只。有兔子34只,鸡54只。上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子,那么就有488只脚,比244只脚多了884-244=108(只).每只鸡比兔子少(4-2)只
9、脚,所以共有鸡(884-244)(4-2)= 54(只).说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式鸡数=(兔脚数(兔脚数-鸡脚数).当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176(只),比244只脚少了244-176=68(只).每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,682=34(只).说明设想中的,有34只是兔子,也可以列出公式兔数=(总脚数-鸡脚数上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数。假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为.现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔
10、每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元。问红,蓝铅笔各买几支?以分作为钱的单位.我们设想,一种有11只脚,一种有19只脚,它们共有16个头,280只脚。现在已经把买铅笔问题,转化成问题了.利用上面算兔数公式,就有蓝笔数=(1916-280)(19-11)=248=3(支).红笔数=16-3=13(支).买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是,8只是,根据这一设想,脚数是8(11+19)=240(支)。比280少40.40(19-11)=5(支)。就知道设想中的8只应少5只,也就是
11、(蓝铅笔)数是3.308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如,设想16只中,兔数为10,鸡数为6,就有脚数1910+116=256.比280少24.(19-11)=3,就知道设想6只,要少3只。要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时。甲打字用了多少小时?我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时
12、打3010=3(份).现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成头数,总头数是7.的脚数是5,的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成问题了。根据前面的公式数=(30-37)(5-3)=4.5,数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时。甲打字用了4小时30分.例4 今年是_年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁。四年后(_年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作头数,弟
13、的年龄看作头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是(254-86)(4-3)=14(岁)._年,兄年龄是14-4=10(岁).父年龄是(25-14)4-4=40(岁).因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是(40-10)(3-1)=15(岁).这是_年。公元_年时,父年龄是兄年龄的3倍.例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成8条腿与6条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-618)(8-6)=5(只).因此就
14、知道6条腿的小虫共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。再利用一次公式蝉数=(132-20)(2-1)=6(只).因此蜻蜓数是13-6=7(只).有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。例6 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?对2道,3道,4道题的人共有=39(人).他们共做对181-17-56=144(道).由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚
15、数=144,总头数=39.对4道题的有(144-2.539)(4-2.5)=31(人).做对4道题的有31人。以例1为例 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?以简单的X方程计算的话,我们一般用设大数为X,那么也就是设兔为X,那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数,即(88-X)只。设兔为X只。则鸡为(88-X)只。4X+2(88-X)=244上列的方程解释为:兔子的脚数加上鸡的脚数,就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数,2(88-X)就是鸡的脚数。88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X2=68X=34即兔子为34只,总数是
16、88只,则鸡:88-34=54只。兔子有34只,鸡有54只。习题一1龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只 ?2学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副?3一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个 ?4某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多。那么2元,5元,10元各有多少张?5一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天
17、 ?6摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(),一段平路(),一段下坡路()和一段平路()组成的;有的是由一段上坡路(),一段下坡路()和一段平路()组成的。已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段?7用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张?二、两数之差的问题鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成,又应该怎样去解呢例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多
18、.(680-840)(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张。因此8分邮票有40+30=70(张).买了8分的邮票70张,4分的邮票30张。也可以用任意假设一个数的办法.解二:譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。作为计算单位,此时邮票总值是420+860=560.比680少,因此还要增加邮票。为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是(680-420-860)(4+8)=10(张).因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成。倘若下雨,
19、雨天比晴天多3天,工程要多少天才能完成类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有(150-83)(10+8)= 7(天).雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天).这项工程17天完成。请注意,如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个。这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的
20、脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是(100+28(2+1)=38(只).鸡是 100-38=62(只).鸡62只,兔38只。当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是(100-284)(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法。假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是50-250=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)(4+2)=12(只).兔只数是50-12=38(只).另外,
21、还存在下面这样的问题:总头数换成,总脚数也换成例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差1354+20=280(字).每首字数相差 74-54=8(字).因此,七言绝句有 280(28-20)=35(首).五言绝句有35+13=48(首).五言绝句48首,七言绝句35首。假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是2023=460(字),2810=280(字),五言绝句的字数,反而多了4
22、60-280=180(字).与题目中少20字相差180+20=200(字).说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25(首).五言绝句有23+25=48(首).七言绝句有 10+25=35(首).在写出公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设。现在来具体做一下,把列出的计算式子与公式对照一下,就会发现非常有趣的事.例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(8+4)=30(张).例9,假设都是兔,鸡的只数是(1004-28)(4+2)=62(只).
23、10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(2013+20)首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与公式比较,这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?如果没有破损,运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)(1+0.2)=17(只).这次搬
24、运中破损了17只玻璃瓶。请你想一想,这是同一类型的问题吗例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?如果小明第一次测验24题全对,得524=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是 86-2(15-6)=30(分).两次相差 120-30=90(分).比题目中条件相差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但
25、不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)(6+10)=5(题).因此第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).第一次得分519-1(24- 19)=90.第二次得分811-2(15-11)=80.第一次得90分,第二次得80分。答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9(题).第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去69.但两
26、次满分都是120分。比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此,第二次答错题数是(69+10)(6+10)=4(题)第一次答错9-4=5(题).(24-5)-15=90(分).(15-4)-24=80(分).习题二1买语文书30本,数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ?2甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克?3一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天。其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ?4某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1
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