误差初步理论资料分析李委明Word下载.docx

1、带着这样四个问题，我们先学习什么叫“相对误差率”一、绝对误差与相对误差率如果真实值为 10，经过估算得到的结果为 11，那么这个结果是 有误差的。 通过计算“11-10=1”可知：我们估算结果的误差为 “1”， 我们把这样的误差称为“绝对误差”，即估算值与真实值的差。然而，“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念，我们 更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异， 我们把“绝对误 差+真实值”称为估算的“相对误差率”，也常常简称为“相对误差”， 这是我们误差理论当中最重要的概念，也是我们研究和学习的重点。 譬如将“ 10”估算为“ 11”的相对误差即为：（11-10） - 10=10%在

2、资料分析的速算中，我们一定要分清“绝对误差”和“相对误 差（率）”的区别和联系，这是速算方法精度估计的重要基础。譬如 将“8%”估算为“9%”，绝对误差应该为“1%”，而相对误差不是“1%”， 而是“ 1%8%=12.5%。正因如此，如果两个选项分别为“9%和“8% , 那么在计算当中出现“1%左右”的相对误差并不会太影响最后的结果。我们在速算当中务必遵循以下两条最基本的原则：1.加减运算，考虑“绝对误差”；2.乘除运算，考虑“相对误差”。二、加减运算中的误差控制加减运算和“绝对误差”并不是我们误差理论的重点， 因为考生 一般已经具备在加减运算当中运用“绝对误差”分析和控制的能力。 我们仅仅举

3、两个简单的例子即可。例 12009 年 1-8 月，某地区对外出口额分别为 9951.23 、6776.89 、3119.86 、4250.48 、9137.21 、7417.93 、7300.68 、2678.17 万美元。请问该地区 2009 年前八个月对外出口总额为多少亿美元？A.4.76 B.5.06 C.5.36 D.5.66答案 B解析选项间的“绝对差异”为： 0.3 亿美元 =3000 万美元，那 么我们将八个数字相加的时候，每个数字取到“百万”量级，就不会 影响最后结果的判定，我们以“百万”为单位对这八个数字进行“截 位”相加（运用“四舍五入”）： 100+68+31+43+9

4、1+74+73+27=50（7 百万美元），结合选项，选择 B注释通过上面的分析我们知道，在多个数字进行的加减运算 中，如果各个数字近似产生的误差要比选项间的差距小一个量级， 这 样近似得到的值一般不会影响最后结果的判定。例 22008 年，某地区国内生产总值和第二产业产值分别为 673、384 亿元； 2009 年，该地区国内生产总值和第二产业产值分别达到803、427亿元。请问该地区第二产业产值在 GDP当中的比重下降了 几个百分点？答案C解析选项间的“絶对差异”为04那么我们在除法计算当中.症须糯确到01%-=50*%-5M*% = 3 9%63 803结舍选项，选择U曲I虽然我们主要进

5、疗的是h除法运算件但量后一步进行的却是”减法运算I所 以我们必须控制的逼“绝对谋差”而菲“相对误差初步理论（2）三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”， 而这是我们误差分析最为重要的内容。 那么，如果相乘或者相除的两 个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的 变化呢？我们首先先给出两个重要的结论：1.两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的 相对误差；2.两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的 相对误差。我们先举两个相乘的例子:59-19 121 汕顺 b0 = 5 川 （1）2349 924 250（1

6、8000 = 181 1 （2i在上面第（1）个式予中F前一个因于下矗了 F査右，后个医子下降了旳左右, 所以最16得到的结果合比真实值小罗査右（出卄（严43%入所以真实值釣为：注泌（1+3%左上面第（】）个式子中*前一个因子下降了潭査右、后一令因子上升了 1%左右, 所以最后得到的结果金比真实值小卩査右（芒卄卩尸1%）.所以真实值釣为：ft 1 S4 - 1O7 （1+1%）我们再举两个招除的例子：5049+10215000+1000 = 5 239寺7924砒揪kSOOO泄血5 （4）在上面第个丈子中，被除数下降了卩进右除数下降了如左右所炳后御到的结果会比真实值大1%右（出必2%同嚇.所以

7、真实值釣为：5 （1-P0在上面第个武子 osTier少进右除数上升了必左右所炳后得到的络果会比尊值小少査右（卅产皿所釀实酗为： 28 5叶曲 bl少也如仇涮WT10注：上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相 对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。四、近似误差与选项差异通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么 这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢？这就取决于近似误 差（“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差 异”进行大小比较时，指其绝对值）与选项差异之间的相对关系了， 通俗的讲就是：选项差别大，估算可大胆；选项差别小，估算需谨慎。但我

8、们需要的不仅仅是这样一句定性的描述， 我们更加需要的是定量 的结论。首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：我们 以两个数字当中较大的数字为真实值， 较小的数字为估算值， 这样计 算得到的“相对误差”的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相 对差异”。譬如“ 4”和“ 5”，我们以 5 为真实值，以 4 为估算值， 得到的“相对误差”为“ -20%”，那么我们就说“ 4和 5 之间的相对 差异为 20%”。再譬如说， 9 和 12 之间的相对差异为 25%，15 和 18 之间的相对差异为 16.7%等等。然后，我们对“选项差异”进行一个定义：所谓“选项差异”， 是指四个选项中任意

9、两个数值之间的“相对差异”的最小值。具体操 作时，我们仅需要考虑相邻数字之间 （是指大小相邻， 非而位臵相邻） 的相对差异即可。我们看下面这样的选项设臵：A.20 B.24 C.28 D.32 我们考虑相邻数字之间的相对差异： 20与 24 之间的相对差异为 16.7%，24与 28之间的相对差异为 14.3%，28与 32 之间的相对差异 为 12.5%。那么，这样设臵下的“选项差异”就是 12.5%。事实上， 我们对选项差异的计算也只需要得到一个大致的值， 并不一定需要计 算得非常的精确。当我们知道了“选项差异” 之后， 我们就可以在近似计算中控制 近似误差， 使其不至于影响最后结果的判定

10、。 下面我们再来看一个例 子：例 3 706.38 - 24.75二?A.20.5 B.24.5 C.28.5 D.32.5解析我们大致估算，“选项差异”高于 10%那么在近似计算中产生1%左右（或以下）的误差不会影响到最后结果的判定：706.38 - 24.75 700-25=28由“ 706.38 ”近似到“ 700”减小了 1注右，由“ 24.75 ”近似 到“25”增加了 1%左右，这样的近似不会影响到最后结果的判定， 因为“选项差异”在10%以上。因此，我们选择离28最近的数字“28.5 ”, 选择Co通过上面的分析我们知道，近似估算若要不影响最后结果的判 定，“近似误差”必须比“选

11、项差异”要小，但具体要小到什么程度 呢？我们大概给出下面这样的参考：选项差异十近似误差4倍以下49倍950 倍50倍以上估算建议不建议使用注意控制误差选择近似值忽略误差我们进行的乘除计算，一般是23个数字的计算，当“选项差异” 不到“近似误差”的4倍时，多个数字的“近似误差”就很可能影响 到最后结果的判定，这时候我们不建议使用这种精度的估算。当“选 项差异”为“近似误差”的49倍时，我们一般会进行“有向误差分 析”或者“误差抵消”以提高精度，后面我们将有专题进行讨论。当 “选项差异”为“近似误差”的 950 倍时，选择离估算结果最近的 值即可，正因如此，我们一般推荐大家将“近似误差”控制在选项

12、差 异的 1/10 左右（或以下），更高的精度计算一般是没有必要的。当 “近似误差”不到“选项差异”的“ 1/50 ”时，我们得到的结果完全 可以直接代表最终正确的答案。例 4 38716+ 84397=?A.35.37% B.40.74% C. 45.87% D.49.34%答案 C解析初步估算，选项差异在在 10%左右，我们可以对原数字进行1注右（或以下）的近似：38716- 8439739000- 8400046% 选择最接近的值，即 C。例 5 9.503 X 5.837= ?A.50.44 B.55.47 C.59.98 D.60.28解析 C 和 D 之间的相对差异很小，但我们知道

13、： 9.503 X5.83710 X 6=60,所以D选项可以直接排除不予考虑。而 A B、C之 间的“选项差异”在 7%以上，那么我们可以对原数字进行 0.7%左右（或以下）的近似：9.503 X 5.8379.5 X 5.8=55.1，选择最接近的 值,即 B。例 6 6405+ 79934=?A.4% B.6% C.8% D.10%解析6405- 799346400-80000=8% “选项差异”为 20%近似误差低于1%。，因此误差可以直接忽略，估算得到的值即可代表 最终的真实值。学到这里，我们把思路理清楚一下：我们在进行近似估算之前， 先分析“选项差异”，然后在近似中将“近似误差”控

14、制在“选项差 异”的“1/10”左右（或以下），然后选择与计算结果最接近的选项 即可。这样一来，似乎所有的近似估算都变得特别简单，然而，如果 有一个问题没有解决的话， 我们的计算仍然没有得到实质的简化， 那 就是：如何快速判断近似估算的“近似误差” （譬如说将 5.837 近似 为 5.8，“近似误差”到底是多少？），这个问题不解决，误差分析 无从谈起；这个问题掌握后，不仅“近似误差”的问题解决了，“选 项差异”的估算也同时得到解决，因为两者本质是相同的。误差初步理论（ 3）（ 选自资料分析模块宝典五版 ）五、近似误差的估算在学“近似误差”的估算之前，我们先强调两个重要的问题：1.我们对“近似

15、误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有必要也是不可行的，实际操作中我们只需要给出一个大概的值 即可；2. “近似误差”一般分成两档：“ 1-10%”与“ 1-10 %。”，明显 低于1%0很多的一般可以忽略，明显高于10%艮多的情形在近似中一般 也很难见到。我们一般运用“左移两位百分法”估算“ 1-10%”左右的“近似误差”。譬如，当我们判断将“ 42.83 ”近似为“ 42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差（不考虑正负号）“ 0.83 ”左移两位变为“83.00” ,再与原数“42.83 ”进行比较，大概是2倍的关系,那么这个近似的近似误差应该大约就是“ -2%”。如下图

16、所示:42-O.S3梅絶对淇差弓 原融戟彳比较 “42.830.83&移两位亠42.R383.00人达为卫借 得刮结果=2%运用上面同样的办法.我们来判斷将 7旷近似为 Foo“所产生的相对i吴差，7K7.7K（X）将绝対谋帚号787.7仝移两位-人致为1負侶 L5%+ 12.3原魏进冇比钱12.31230,0洛到蚪果我们再判断将”540”近似为勺切（T所产生的相对谋爰,4；刖1倍同样的道理.我们采用“左移三位千廿法務来估算左右的近似谋差我们来判断将近似为 所产生的相对误差:运用丄面冋样的舟法.我们来判断将旷“近似为強”所产生的相对课差:7K7.7-7902,3我们再判断将曲5464近似为所产

17、生的相对课差;通过上面六个例子的讲述， 相信大家已经掌握了“近似误差”估 算的要领。与此同时， “选项差异”的估算也是通过同样的方法进行 估算的，只是在具体操作的时候有这样两点特别之处：1. “选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，我们一 般截取前 12 位计算即可；2. “选项差异”很容易达到“相对误差”很难达到的 10%以上的差异，这时候一般通过计算“绝对误差是真实值的几分之一”或者运 用类似的“左移一位十分法”来进行估算。我们分析某题选项当中两个数值“ 784.31 ”、“ 768.45 ”之间 的相对差异，两个数相差约为“ 16.00 ”，将之与“ 784.31 ”做对比， 通

18、过“左移两位百分法”易知相对差异大约为 2%左右。我们再分析某题选项当中两个数值“ 6437.21 ”、“ 4829.32 ” 之间的相对差异，两个数相差约为“ 1600.00”，将之与“ 6437.21 ” 做对比，前者大概是后者的 1/4 ，得知相对差异大约为 25%。我们再分析某题选项当中两个数值“ 3158”、“ 1871”之间的 相对差异，两个数相差约为 “1300”，将之左移一位（变成“13000”） 与“3158”做对比，大概是后者的 4 倍左右，得知相对差异大约为十 分之 4，即 40%左右。至此，我们便真正掌握了“近似误差”和“选项差异”的估算，在精度范围允许的前提下，我们便

19、可以自由的进行截位估算了六、有向误差分析我们前面提到过，当“选项差异”为“近似误差”的 49 倍时， 对数字的近似有可能会在一定程度上影响到对最后结果的判定， 这时 候我们一般有两种办法来应对和修正， 我们先介绍第一种办法： 有向 误差分析。所谓有向误差分析， 指的是截位估算的时候， 通过对过程数字的 相对误差来判断最后估算结果相对误差的符号， 直白的说， 就是判断 估算结果是大于真实值还是小于真实值， 从而锁定答案的方法。 这是 一种定性的分析方法， 在后面的章节里，我们还可能碰到定量的分析。我们用一个简单的例子来阐明这个道理：例 7 5461+ 1483仁？A.33% B.35% C.37

20、% D.39%解析5461 - 14831 5400-15000=36%这时候问题来了，与 36%最接近的有两个选项，这时候应该怎么 选择呢？我们可以选用 “有向误差分析” 来判定。通过简单估算，“选 项差异”超过 5%（37%与 39%之间的相对差异） ，将“5461”、“14831” 分别近似为“ 5400”、“15000”的近似误差都在 1%左右，于是我们 可以确定，结果肯定在 36%的附近，也就是在 35%与 37%之间进行选 择。很明显，近似的过程缩小了分子而扩大了分母，导致估算值 36% 小于真实值，因此我们选择 C。例 8 3390.5 X 36.69%X 12.73%=?A.1

21、43 B.158 C.174 D.191解析3390.5 X 36.69%X 12.73%3333.333 X 36%X 12.50%=150“选项差异”在 10%左右，“近似误差”在 2%以内，算得结果肯 定在 1 50附近。由于近似过程中三个因子都被缩小， 所以近似结果肯 定小于真实值，那么答案就应该比 1 50要大，所以选择 B。七、误差抵消与精度提高我们前面提到过：两个数相乘（或相除），那么这两个数的相对 误差之和（或之差），近似为总体的相对误差（事实上，对于多于两 个数的数字的乘除也是近似满足的） 。那么，如果我们在近似的时候， 使得乘法中的相对误差保持相反的方向或者除法中的相对误差

22、保持 相同的方向，就能有效的抵消误差，从而提高精度。而这便是我们应 对“选项差异”不足够大时的另外一个有效方法。我们再来看这两个例子：例 9 5461 - 1483仁？解析5461 - 14831 5500-15000=36.7%,选择 G注释截位近似时，被除数提高了 1%左右，除数也提高了 1%左右，两者相减，误差将大大的被削减例 10 3390.5 X 36.69%X 12.73%=?解析3390.5 X 36.69%X 12.73% 3500X 36% 12.50%=157.5注释截位近似时，第一个因子提高了 3-4%，第二个因子降低 了 2%以内，第三个因子也降低了 2%以内，三者相加，误差将大大的 被削减。八、总结 至此，我们的“误差初步理论”就已经全部讲述完毕，有了这些 知识，我们就能科学而有效的对计算进行合理的“截位估算”，既能 简化计算，又不至于造成过大的误差。诚然，我相信绝大部分考生都是第一次接触这样的理论和方法， 所以在接受和理解上绝对不可能“一蹴而就”。因此，建议大家在看 完本章后面的“十大速算技巧” 之后，再把本节内容好好重新看一遍， 你一定会有更深层次的体会。 同样的道理， 当你完成大量资料分析练 习之后，建议你将本章速算的所有内容也好好重读一遍， 这样下来你 才能真正熟练的掌握资料分析的速算技巧，并且在考场之上轻松应 对。